tul9 (Лекции по теории управления)

Лекция 9.Критерий НайквистаМихайлова. Рассматривается система управления (см.рис.1), замкнутая отрицательной единичной обратной связью.Критерий Найквиста  Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системыпо частотной характеристике W (i) разомкнутой системы.W(s)gxРис. 1Передаточная функция разомкнутой системы имеет видM (s ) bm s m  ...  b0W (s ) ,D (s )an s n  ...  a0причем многочлены M ( s ) и D ( s ) не имеют общих корней и порядок m числителя небольше порядка n знаменателя.Для решения задачи найдем передаточную функцию замкнутой системы (с отрицательной единичной обратной связью):M (s )W (s )M (s )D (s )W oc (s ) .M (s ) D (s )  M (s )1  W (s )1D (s )Характеристический многочлен замкнутой системы имеет видM (s ) D (s )  M (s )  D ( s )   1   D (s )   1  W (s )  .D (s ) Воспользуемся критерием Михайлова: Arg D (i)  M (i)   Arg D (i)  (1  W (i))   Arg D (i)   Arg 1  W (i) .0    0    0    0     (  ).

Поскольку при m  n20    степень многочлена D (i)  M (i) определяется числом n , то критерий устойчивостиимеет вид  Arg D (i)  M (i)   n. Отсюда находим20    По формуле принципа аргумента  Arg D (i) 1 Arg  1  W (i)  0     n       .22Так как   n    H , то окончательно получаем Arg  1  W (i)  0     n   n    H      2    H  .222Заметим, что при m  n степень многочлена D (i)  M (i) равна m , тогда критерий устойчивости принимает форму  Arg  D (i)  M (i)    m и20     Arg 1  W (i) 0     m         m   m    H    2222 m  n  2   H  .2Утверждение. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики W (i) разомкнутой системы при изменении частоты  от 0 до   охватывал точку z  1  i 0 на угол (2  H ) :2 Arg (1  W (i))  (2  H ) .20   АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти передаточную функцию W (s ) разомкнутой системы. Определить количество корней знаменателя передаточной функции W (s ) , лежащих в правой полуплоскости (  ) и на мнимой оси ( H ).2. Построить на комплексной плоскости годограф функции W (i) при изменениичастоты  от 0 до   .3. Подсчитать величину  угла, на который построенный годограф охватываетточку z  1  i 0 . Для этого нужно построить вектор с началом в критической точке1  i 0 , конец которого перемещается по годографу W (i) , и вычислить величину угла,на который поворачивается вектор при изменении частоты  от 0 до   .4. Проверить выполнение условия   (2  H ) . Если условие выполняется, то2система устойчива, в противном случае  неустойчива.З а м е ч а н и я.1. Критерий НайквистаМихайлова представляет собой необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы как по входу, так и по начальным данным.В приведенной формулировке критерий применим, если разомкнутая система строго физически реализуема, т.е.

когда порядок числителя передаточной функции W (s ) не боль-2ше порядка знаменателя. Если разомкнутая система не является строго физически реализуемой, т.е. m  n , то замкнутая система будет физически реализуемой и для ее устойчивости необходимо и достаточно выполнения условия Arg (1  W (i)) 0  ( m  n  2  H ) .22. Рассмотрим особенности применения критерия НайквистаМихайлова для различных разомкнутых систем.А. Если разомкнутая система устойчива (   0 и H  0 , т.е.

все корни характеристического уравнения D ( s )  0 имеют отрицательные действительные части), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики W (i) при изменении частоты  от 0 до   не охватывал критическуюточку 1  i 0 (рис. 2, а), т.е. Arg 1  W (i)  0 .0    Б. Если передаточная функция W (s ) разомкнутой системы имеет полюсы, лежащие на мнимой оси, то годограф частотной характеристики W (i) будет достигать бесконечно удаленной точки.

В этом случае, как было указано выше, следует разбить годограф на непрерывные участки, вычислить величину приращения аргумента (3.43) на каждом участке, а затем сложить найденные величины (рис. 2,б). 1000W (i)  11  00W (i) 1 0абРис. 23НАХОЖДЕНИЕ ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИИз критерия НайквистаМихайлова следует, что для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годографчастотной характеристики разомкнутой системы при изменении частоты  от 0 до  не охватывал критическую точку 1  i 0 .Запас l устойчивости замкнутой системы по модулю определяется расстоянием от критической точки 1  i 0 до точки пересечения годографа W p (i) с действительной осью. Запас  устойчивости замкнутой системы по фазе определяется аргументом точки пересечения годографа W p (i) с окружностью единичного радиуса (рис.3,а).

На практике, задавая l и  , можно выделить запретную область, которую не долженпересекать годограф (рис. 3,б).VV11l2lUUW p (i)W p (i)абРис. 3Используемый здесь критерий устойчивости можно переформулировать следующим образом. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутомсостоянии, необходимо и достаточно, чтобы всем точкам годографа частотной характеристики разомкнутой системы до его пересечения с окружностью единичногорадиуса соответствовали значения фазовой характеристики () , большие   .4.

ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ4.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ4.1.1. Описание сигналов и системПредставление процессов рядами является довольно универсальной формой ихописания. Эту форму можно рассматривать как промежуточную между описанием процессов во временной области и интегральными преобразованиями. К первому способу этаформа тяготеет в тех случаях, когда оперируют собственно рядом как функцией времени;ко второму – когда коэффициенты ряда отрывают от ряда и во всех вычислительных опе-4рациях используют лишь совокупность этих коэффициентов. Последний подход привел кформированию спектральной формы описания процессов. В этой форме временные процессы рассматриваются на конечных, в общем случае нестационарных, интервалах времени.

Спектральный метод расчета систем управления, являясь аналитическим, в то жевремя хорошо приспособлен к применению цифровых вычислительных машин, так какрешение задач сводится к алгебраическим операциям с матрицами. Практическое использование спектрального метода обеспечено развитой библиотекой стандартных программ.Для описания сигналов используются базисные системы функций.Базисная система в общем случае комплексных функций { p(i , t , ), i  0,1,...} , определенная на отрезке [ 0, t ] , называется ортонормированной, если все функции этойсистемы удовлетворяют условиюt0 1,p * (i, t , ) p( j , t , ) d    0,i  j,i  j,(1)где  – текущее время, 0    t ; p * (i , t , ) – комплексная сопряженная функция; t –правый конец отрезка времени, на котором решается задача анализа.Широкое применение нашли следующие базисные системы функций:нестационарные полиномы Лежандра:pˆ(i , t , ) 2i  1 ik lik t k , i  0,1,...

,t k 0(2)где lik  (1)i  k C ii  k C ii  k ;1pˆ(0, t , ) ,tpˆ (1, t , ) 3  2   1 ,t  tpˆ(2, t , ) 5t 6 2 61 , t2t32 20   30   12   1  и т. д.;tt3t2нестационарные косинусоиды:pˆ(3, t , ) 7t 1,i  0,tC (i , t , )  i 2 t cos t ,C (0, t , ) 1t,C (1, t , ) C (3, t , ) 2cos,tt(3)i  1,2,...,C (2, t , ) 22cos,tt23cosи т. д.;ttа также функции Уолша и другие.51. Описание сигналов. Нестационарной спектральной характеристикой(НСХ) функции g () по заданному ортонормированному базису { p(i , t , ), i  0,1,...} называется функцияtG (i , t )  S [ g ()] ppp * (i , t , ) g () d,i  0,1,2,... .(4)0Она представляется бесконечной матрицей-столбцомG (0, t )   G (1, t ) G (t )   G (i, t )  ,p p G (2, t )   а при численных расчетах  конечной матрицей-столбцом.Индекс базисной системы пишется под знаком спектральной характеристики, указывая, относительно какой базисной функции она определена.Для перехода от спектральных характеристик к функциям времени, используетсяформула обращения:g ()  S 1[ G (t ) ] pp Gp (i, t ) p(i, t , ),0    t.(5)i2.

Описание систем. Рассматривается поведение нестационарной линейной системы, описываемой дифференциальным уравнениемan () x (n) ()  ...  a0 () x ()  bm () g (m) ()  ...  b0 () g (),(6)где g() – входной сигнал; x() – выходной сигнал; n и m – порядки старших производных выходного и входного сигналов; an (),... , a0 () ; bm (),... b0 () – коэффициенты,зависящие от времени  . Система исследуется на отрезке времени [0,t], правый конец tкоторого может быть подвижен или задан.Двумерной нестационарной передаточной функцией W (t , t ) (ДНПФ) линейнойpp *системы (6) называется двумерная нестационарная спектральная характеристика импульсной переходной функцииtW (h, i , t , t ) pp *0tdp * (h, t , ) p(i , t , ) k (, ) d , h, i  0,1,2...