tul5 (Лекции по теории управления)

Лекция 5.Глава 2. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ2.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ2.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания сигналов используются функции времени(см. разд. 1.1.1). Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие в видедельта-функции и единичную ступенчатую функцию. Им соответствуют две системныехарактеристики: импульсная переходная и единичная переходная функции.2.

Описание систем. Рассматривается поведение линейной одномерной нестационарной системы управления, описываемой дифференциальным уравнениемan (t ) x (n) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  bm (t ) g (m) (t )  ...  b0 (t ) g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1),где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; n и m – порядки старших производныхвыходного и входного сигналов соответственно; an (t ),..., a0 (t ) , bm (t ),..., b0 (t ) – коэффициенты, зависящие от времени t ; t0 – начальный момент времени (как правило, моментподачи входного сигнала).Импульсной переходной (весовой) функцией линейной системы называется реакция k (t , ) системы на воздействие в виде дельта-функции g (t )  (t  ) при нулевыхначальных условиях.

Мгновенное значение k (t , ) импульсной переходной функции зависит от момента t наблюдения реакции системы и от момента  приложения импульсного воздействия (рис. 1,а). Импульсная переходная функция k (t , ) , рассматриваемаякак функция аргумента t при фиксированном значении  , называется нормальной импульсной реакцией системы (рис. 2). При фиксированном значении t функция k (t , ) аргумента  называется сопряженной импульсной реакцией.(t  )kk(t  )k (t , )t0k (t  )tа0tбРис. 11Единичной переходной функцией линейной системы называется реакция h(t , )системы на воздействие в виде единичной ступенчатой функции g (t )  1 (t  ) при нулевых начальных условиях.З а м е ч а н и я.1. Поскольку следствие – появление ненулевого выходного сигнала – не можетопережать по времени причину – приложение входного воздействия – переходные функции удовлетворяют условию физической реализуемости (рис.

2):k (t , )  0 при t   ;h(t , )  0 при t   .k (t , )Нормальная импульснаяреакцияСопряженная импульснаяреакцияtt Рис. 22. Для линейных стационарных систем, описываемых уравнениемan x (n ) (t )  ...  a0 x (t )  bm g (m) (t )  ...  b0 g (t ) ,где an ,..., a0 , bm ,..., b0 – постоянные коэффициенты, мгновенное значение k (t , ) импульсной переходной функции зависит только от промежутка времени   t   , прошедшего после приложения импульсного воздействия (рис.1,б):k (t , )  k (t  ) илиk (t , )  k () ,   t   .Единичная переходная функция h(t , ) стационарной системы также зависит только от разности своих аргументов:h(t , )  h(t  ) или2h(t , )  h() ,   t   .2.1.2.

Связи вход-выходПусть импульсная переходная функция k t ,  системы известна. Получим формулу, позволяющую находить реакцию x t  системы на воздействие g t  при нулевых начальных условиях.По определению импульсная переходная функция k t ,   , рассматриваемая какфункция аргумента t (нормальная импульсная реакция), является решением дифференциального уравнения при воздействии g t   t    , где  – фиксированный моментприложения дельта-функции:an t d n k t , dt n   a0 t  k t ,   bm t d m t  dt m   b0 t  t    ,с нулевыми начальными условиямиk t , t  t0d k t ,  0,dtt t0d n k t ,  dt nt0 bm t t  t0 0.g  d    a0 t   k t ,  g   d t0d m t   dt mt0d t n 1на функцию g   и проинтегрируем по Умножим обе части уравнения( t 0      ):an t  0 , ...

,d n 1 k t ,  g   d    b0 t  t   g  d .t0Поменяем порядок операций дифференцирования и интегрирования, так как онивыполняются по разным аргументам:an t  bm t dndt ndmdt mt0t0 k t,  g  d    a0 t   k t,  g  d t0t0 g  t   d    b0 t   g  t   d .Используя определение дельта-функции, имеемan t dndt nt0k t ,  g   d    a0 t   k t ,   g  d  bm t  g m  t   ...

 b0 t  g t  .t0Заметим, что правая часть полученного уравнения совпадает с правой частьюуравнения исходной системы. Следовательно, решение x t  уравнения имеет видx t   k t,  g d .t03Учитывая условие физической реализуемости ( k t ,   0 при t   ), интервал интегрирования можно уменьшить:x t  t k t,  g d .(*)t0Формула (*) – это связь вход-выход, которую устанавливает импульсная переходная функция. Реакция x t  представляет собой вынужденное движение системы, т.е. решение исходного уравнения с нулевыми начальными условиями:x (t 0 )  0, x (t 0 )  0,..., x (n 1) (t 0 )  0 .Рассмотрим случай стационарной системы, которая описывается уравнением с постоянными коэффициентами.

Свойства такой системы, разумеется, не меняются с течением времени. Поэтому в качестве начального момента времени t 0 выбирают равный нулю. С учетом свойства k (t , )  k (t  ) стационарной системы формула (*) связи входвыход принимает видx t  tt k t   g d   k  g t  d .0(**)0Связь (*) показывает, что реакция системы в момент времени t определяетсявходным сигналом не только в этот момент времени, но и во все прошлые моменты.Памятью системы называется отрезок времени, отсчитываемый от настоящегомомента времени t в прошлое, за пределами которого значения входного сигнала практически не влияют на значение выходного сигнала в момент t .

Память системы определяется сопряженной импульсной реакцией. Пусть, например, две системы имеют импульсные переходные функции k1 t ,   и k 2 t ,  , причем сопряженные импульсные реакции при фиксированном t имеют вид, изображенный на рис. 3. Тогда можно сказать, чтопамять у первой системы меньше, чем у второй.kk 2 (t , )k1 (t , )tРис. 3Поясним, почему импульсная переходная функция также называется весовой.Для этого запишем приближенное равенство для выходного сигнала, заменив интеграл в(*) интегральной суммой. Разбивая отрезок интегрирования точками k  t0  k   ,t  t0k  0, 1,..., m , на m интервалов длиной  , получаемm4x t  m 1 k t, k  g k   .k 0Величина k t , k  определяет, с каким весом входит значение входного сигналаg k  в реакцию x t  .

В этом смысле импульсную переходную функцию называют весовой функцией системы.2.1.3. Нахождение переходных функцийНАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙПО УКОРОЧЕННОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮРассмотрим случай, когда система управления описывается укороченным дифференциальным уравнением:an (t ) x (n ) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  g (t ) .Импульсную переходную функцию k (t , ) системы можно искать несколькимиспособами.Первый способ. Пусть 1 t  , 2 t  ,..., n t  – фундаментальная система решенийоднородного уравнения.1 t  1n 1k t ,  an    n t 1 1 1n  2    n  n  t  .  nn  2   где  – определитель Вронского:  1  1  n n  .1n 1    nn 1 Заметим, что при t   согласно условию физической реализуемости k t ,   0 .Второй способ.Начальными значениями импульсной переходной функции и ее производных называются правосторонние пределы этих функций при t    0 .5Импульсная переходная функция k t ,   является решением однородного дифференциального уравненияan (t ) x (n ) (t )  ...

 a0 (t ) x (t )  0при ненулевых начальных значениях:jtjk (t , )t 0 0, j  0,1,..., n  2 , 1 a () , j  n  1 . nТретий способ..1. Сначала найти единичную переходную функцию ht ,  системы как решениенеоднородного уравненияa n (t )nh(t , )  ...  a 0 (t ) h(t , )  1t nпри нулевых начальных условияхh(t , )t  0, h(t , )t2. Используя связь k t ,   t  0,..., n 1h(t , ) t n 1t  0,ht ,   , найти импульсную переходную функцию.НАХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ОБЩЕГО ВИДА1. Определяется импульсная переходная функция k0 (t , ) системы, описываемойукороченным дифференциальным уравнением. Это можно сделать одним из трех рассмотренных выше способов.2. Находится искомая импульсная переходная функция по формулеk t ,    1m6mm k0 t,  bm    ...  k0 t,  b0 при t   .НАХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫРассмотрим особенности нахождения импульсной переходной функции стационарной системы управления, описываемой уравнениемan x (n ) (t )  ...

 a0 x (t )  bm g (m) (t )  ...  b0 g (t ) .Переходные функции k t ,  и ht ,  стационарной системы зависят только от разности аргументов   t   , т.е. k   k t   и h  ht   .Связь между переходными функциями принимает видk  dh .dПервый способ.1.

По корням 1 ,...,  n характеристического уравнения an n  ...  a0  0 определить фундаментальную систему решений 1 (t ),...,  n (t ) . При этом каждому действительному корню  кратности p соответствует p линейно независимых решенийe t , t e t ,..., t p 1e t , а каждой паре     i  комплексных сопряженных корней кратно-стиpотвечают2pлинейно независимых решенийe t sin t ,..., t p 1e t sin  t ;e t cos t ,..., t p 1e t cos  t .2. Определив n линейно независимых решений 1 (t ) ,..., n (t ) однородного урав-нения, получить импульсную переходную функцию k0  системы, описываемой укороченным дифференциальным уравнениемk 0 () 1an 1 (0)1 (0) n (0)n (0)1(n  2) (0)(nn  2) (0)1 () n (), 1 (0)1 (0)n (0)n (0).1(n 1) (0)  (nn 1) (0)3.

Найти импульсную переходную функцию k () системы, учитывая ее связь симпульсной переходной функцией k0 () соответствующего укороченного дифференциального уравнения:k ()  bm k 0m  ()  ...  b0 k 0 () .Пример. Найти импульсные переходные функции элементарных звеньев. Усилительное звено. Подставляя в уравнение входной сигнал g (t )  (t  ) ,получаем k (t , )  K (t ) (t  ) .Дифференцирующее звено. Подставляя в уравнение входной сигнал g (t )  (t  ) ,получаем k (t , )   (t  ) .Интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение при g (t )  (t  ) имеетрешение k (t , )  1 (t  ) .7Второй способ.1. Решить задачу Коши:an h0(n ) ()  ...  a0 h0 ()  1,h (0)  h (0)  ...