tul15 (Лекции по теории управления)

Лекция 15.8.3. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙЛИНЕАРИЗАЦИИ8.3.1. Постановка задачиРассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом.gF ()zW (s )xРис. 1Изучается свободное движение системы, т.е. движение при ненулевых начальныхусловиях в отсутствии входного сигнала ( g (t )  0 ).При отсутствии внешних воздействий свободное движение линейной системыможет быть периодическим, если корни характеристического уравнения чистомнимые. Однако практически такие движения не реализуются, так как малейшееизменение параметров системы приводит к тому, что колебания становятся либозатухающими, либо расходящимися, поскольку появляются отрицательные илиположительные действительные части у корней характеристического уравнения.В отличие от линейных систем в нелинейных системах управления приотсутствии внешних воздействий возможны устойчивые периодические движения,которые принято называть автоколебаниями.На фазовой плоскости автоколебаниям соответствует устойчивый предельныйцикл, где x , y  x – выходной сигнал и его производная.Пусть известны:а) характеристика F () нелинейного элемента;б) передаточная функция W ( s ) линейной части системы.Требуется определить:а) возможны ли в системе автоколебания?б) параметры автоколебаний: амплитуду ao и частоту  o предельногоцикла, если ответ на первый вопрос положительный.Анализ периодических движений систем управления с одним нелинейнымэлементом будем проводить методом гармонической линеаризации ее единственногонелинейного звена.8.3.2.

Гармоническая линеаризация нелинейных элементовРассмотрим нелинейный элемент с характеристикой z  F () , на входкоторого подается гармонический сигнал (t )  a sin t с амплитудой a  0 ичастотой   0 . Выходной сигнал z (t )  F (a sin t ) нелинейного звена будет1периодическим, но не гармоническим. Разложение в ряд Фурье этого сигнала имеетвидz (t )  q 0 (a)  q (a) a sin t  q1 (a) a cos t  ... ,гдеq (a) q1 (a) 1a21aF (a sin ) sin  d,02F (a sin ) cos  d.0Предположим, что:– постоянная составляющая q 0 (a ) сигнала отсутствует (для нечетнойхарактеристики F () это всегда выполняется);– линейная часть системы (устойчивая) обладает свойствами фильтра низкихчастот: W (i)  W (ik) при k  1 , поэтому учет высших гармоник не являетсясущественным (гипотеза фильтра).Тогда приближенное выражение выходного сигнала будет иметь видz (t )  q (a ) a sin t  q1 (a ) a cos t .Такой же выходной сигнал можно получить, подав гармонический сигналнавходлинейногозвена(t )  a sin tспередаточнойфункциейq (a)W H (a, s )  q (a)  1s .

Частотная характеристика W H (a , i) этого эквивалентногозвена зависит только от амплитуды а и не зависит от частоты  :W H (a)  W H (a, s )s i  q (a)  i q1 (a) .Функцию W H (a ) называют комплексным коэффициентом усилениянелинейного элемента, а коэффициенты q (a) и q1 (a ) – коэффициентамигармонической линеаризации.Таким образом, нелинейный элемент z  F () может быть заменен линейным,частотная характеристика которого зависит от амплитуды входного сигнала.

Этотприем получил название гармонической линеаризации нелинейностей.8.3.3. Алгоритм анализа автоколебанийС помощью гармонической линеаризации нелинейного элемента система содним нелинейным элементом приводится к виду, изображенному на рис.2.2gW m (a , s )zW (s )xРис. 2Применяя преобразование Фурье к линеаризованной системе, получаем:X ()  W H (a) W (i ) () ,()  G ()  X () .Эти уравнения связывают изображения X () , () , G () сигналов x ,  , g ичастотные характеристики W H (a) и W (i) звеньев системы.

При отсутствиивнешних воздействий ( g (t )  0 ) получим соотношение 1  W H (a) W (i)  ()  0 ,которое выполняется для периодического (не равного нулю) сигнала (t ) ( ()  0 )только тогда, когда амплитуда a и частота  удовлетворяют уравнениюгармонического баланса:W H (a )W (i)  1 .(*)Это уравнение можно рассматривать как условие наличия чисто мнимого корняi характеристического уравнения линеаризованной системы, что связано, какотмечалось выше, с существованием периодических движений линейных систем.Уравнение гармонического баланса можно записать с учетом в виде системыдвух уравнений относительно двух неизвестных a и  :q (a) ReW (i)  q1 (a) Im W (i)  1,q1 (a) Re W (i)  q (a) Im W (i)  0,где q (a) и q1 (a ) – коэффициенты гармонической линеаризации нелинейногоэлемента.Применяются также и другие формы записи уравнения (*):11W H (a)  ; W (i)  M H (a), где M H (a)  .W H (a)W (i)При решении задач удобно пользоваться следующей графоаналитическойсхемой (диаграммой Гольдфарба).1.

Построить годограф W (i) при   [ 0;   ) .1при a  [ 0;   ) .2. Построить годограф M H (a)  W H (a)33. Найти значения частоты  o и амплитуды ao периодического движения,соответствующие точкам пересечения годографов (решить уравнение (*) ).14. Если при движении по годографу M H (a)  , соответствующемW H (a)увеличению амплитуды a от значения ao , окажемся в точке, которая не будетохватываться годографом W (i) (рис.3 , точка 2), то амплитуде ao будутсоответствовать устойчивые автоколебания, а в противном случае (рис.3 , точка 1) –неустойчивые.VW (i)  a  U2M H (a)1a00Рис. 3З а м е ч а н и я.1. Метод гармонической линеаризации является приближенным.

Поэтомуотсутствие решений уравнения (*) гармонического баланса означает, чтоиспользуемый метод не позволяет выделить периодических движений у исследуемойсистемы.2. После нахождения частоты периодического движения следует проверитьвыполнение гипотезы фильтра: W (i  П )  W (i k  П ) при k  1 .8.4. АНАЛИЗ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ8.4.1. Постановка задачиРассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом.

Изучаетсясвободное движение системы, т.е. движение при ненулевых начальных условиях вотсутствии входного сигнала ( g (t )  0 ).Система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевыхограниченных начальных условиях свободное движение x (t ) ограничено приt  [0;  ) и lim x (t )  0 . Если окажется, что это свойство выполняется для любыхt нелинейных элементовабсолютной.изнекоторогокласса,тоустойчивостьназывается48.4.2. Условия абсолютной устойчивостиУтверждение 1 (достаточные условия абсолютной устойчивости, теоремаВ.М. Попова). Пусть выполняются условия:1) все полюсы передаточной функции линейной части системы имеютотрицательные действительные части (т.е. линейная часть разомкнутой системыустойчива);2) характеристика нелинейного элемента принадлежит сектору [0; k ] , т.е.F (0)  0 ,0F () k при всех   0 ;3) существует действительное число q такое, что при всех   [0;  )выполняется неравенство1Re  1  i  q  W (i)    0 .kТогда при любых ограниченных начальных отклонениях от нулевого значения функция(t ) остается ограниченной при t  0 и (t )  0 при t   (т.е.

система будет(t ) следует,асимптотически устойчивой, так как из ограниченностиограниченность x (t ) , а из стремления (t ) к нулю следует, что x (t )  0 приt   .z kzz  F ()0Рис. 4Заметим, что условие принадлежности характеристики сектору [0; k ] означает,что график функции z  F () лежит между осью абсцисс и прямой z  k (рис. 4).При этом конкретный вид функции в формулировке критерия не играет никакой роли.Можно сказать, что рассматривается сразу целый класс систем с различныминелинейными элементами, характеристики которых принадлежат сектору [0; k ] , икритерий определяет абсолютную устойчивость указанного класса.

В частности, вданный класс входят и линейные системы, получающиеся заменой нелинейногоэлемента усилительным звеном с коэффициентом усиления, не превышающим k .5Утверждение 2 (необходимые условия устойчивости). Если система снелинейнойхарактеристикойF () ,принадлежащейсектору[0; k ] ,асимптотически устойчива, то:1) линейная часть разомкнутой системы – устойчива (т.е.

полюсыпередаточной функции W (s ) лежат в левой полуплоскости ( Re s  0 ));2) годограф модифицированной частотной характеристики~ (i)  ReW (i)  i Im W (i)Wлинейной части системы при  (0;  )(*)не пересекает луча1  ;  kдействительной оси.Приведем также условие абсолютной устойчивости для часто встречающегосяслучая, когда передаточная функция W ( s ) имеет один нулевой полюс, а нелинейныйэлемент F () имеет зону нечувствительности .Утверждение 3.

Пусть все полюсы передаточной функции W (s ) линейнойчасти системы лежат в левой полуплоскости ( Re s  0 ), за исключением одного,равного нулю, причем lim s W (s )  0 . Пусть, кроме того, характеристика F ()s 0нелинейного элемента удовлетворяет условиям: F ()  0 при 1     2 ;0  F ()  k (   2 ) при    2 ; k (  1 )  F ()  0 при   1 ; причем00[ k  F () ] d   , [ F ()  k ] d   (т.е.график функцииz  F ()неприближается "плотно" к границе секторов, изображенных на рис.

5).Тогда, если существует такое действительное число q  0 , что 1неqявляется полюсом W (s ) , и для всех   [ 0,  ) выполняется неравенствоRe [ (1  i q )W (i) ] 1 0,kто при любых ограниченных начальных условиях процессы в системе останутсяограниченными и (t ) при t    стремится к одной из точек отрезка покоя[1 ;  2 ] .6z  k (   2 )zz  F ()12z  F ()z  k (  1 )Рис.

58.4.3. Алгоритм анализа абсолютной устойчивости1. Найти все полюсы передаточной функции W (s ) линейной части системы ипроверить, имеют ли все из них отрицательные действительные части. Если хотя быодин полюс не лежит в левой полуплоскости ( Re s  0 ), необходимое условиеабсолютной устойчивости (п.1 утверждения 2) не выполняется и система не являетсяабсолютно устойчивой.2. Найти параметр k (лучше наименьший из возможных), удовлетворяющийусловию в п.2 утверждения 1.3.