tul13 (Лекции по теории управления)

Лекция 13.Часть II. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ7. ФОРМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМУПРАВЛЕНИЯ7.1. ОПИСАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИДля решения задач анализа и синтеза системы управления прежде всего необходимо построить ее математическую модель, которая характеризует связь выходных сигналов системы, описывающих поведение системы, с входными сигналами, отражающимиприложенные к системе воздействия. В системах управления движением, как правило,выходными сигналами являются изменяющиеся во времени координаты пространственного положения объекта управления (обобщенные координаты), а также компонентывектора скорости движения (обобщенные скорости).

Входные сигналы порождаются действующими на объект управляющими и возмущающими силами.Для описания поведения нелинейных систем используются общие теоремы динамики или уравнения Лагранжа второго рода. Преобразовав эти дифференциальные уравнения второго порядка к системе уравнений первого порядка, разрешенных относительнопроизводных обобщенных координат и обобщенных скоростей, получим уравнениедвижения системы управления:d x i (t )dt f i (t , x1 (t ),  , x n (t ), g1 (t ),  , g m (t )) , xi (t 0 )  xi 0 , i  1,  , n ,(1)где x1 (t ),  , xn (t ) – выходные сигналы; g1 (t ),  , g m (t ) – входные сигналы системыуправления, t 0 – момент начала движения, xi 0 – начальные значения выходных сигналов.Вектор-функцию x (t )  (x1 (t ),  , xn (t ))T , удовлетворяющую уравнениям (1), называют траекторией движения, а ее мгновенное значение при фиксированном времениt – состоянием системы управления в данный момент времени.

Вектор-функциюg (t )  ( g1 (t ),  , g m (t ))T называют внешним воздействием (возмущением, управлением). Поскольку система уравнений (7.1) описывает эволюцию состояния системы управления, то уравнения (7.1) или их векторную записьx (t )  f (t , x (t ), g (t )) ,x (t 0 )  x 0 ,(2)называют также уравнениями состояния системы управления.7.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНИМ НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМДля исследования линейных систем управления были разработаны удобные формыматематического описания и эффективные методы анализа.

Применение этих методов1для нелинейных систем общего вида невозможно. Однако среди нелинейных системможно выделить такой класс систем управления, для которых разработанный аппаратприменим с незначительными изменениями. Это класс систем управления с одним нелинейным элементом.Структурные схемы замкнутой и разомкнутой системы с одним нелинейным элементом (звеном) изображены на рис. 2,3, где g – входной сигнал, x – выходной сигнал, , z – промежуточные сигналы, F () , F ( g ) – функции, устанавливающие связь входвыход нелинейного элемента, W ( s ) – передаточная функция линейной части разомкнутой системы. Заметим, что входной сигнал в общем случае может быть как детерминированным, так и случайным.gF ()Рис. 2zzW (s )xgF (g )W (s )xРис.

3Нелинейный элемент задается функцией z  F () , которая значению (t ) входного сигнала ставит в соответствие значение z (t ) выходного сигнала звена:z (t )  F ((t )) . Встречаются также звенья, в которых значение z (t ) выходного сигналазависит не только от значения (t ) входного сигнала, но и от скорости  (t ) его изменения. В этом случае нелинейный элемент задается функцией z  F (,  ) .Широкое применение на практике получили нелинейные элементы с негладкой характеристикой F () . Приведем примеры типовых нелинейных звеньев.1. Релейный элемент (рис. 4).2. Релейный элемент с зоной нечувствительности (рис. 5).3.

Элемент с зоной нечувствительности (рис. 6).4. Элемент с петлей гистерезиса (рис. 7) имеет зону неоднозначности, т.е. выходной сигнал z (t ) зависит при (t )  [ b; b ] от знака скорости (возрастания или убывания)входного сигнала.5. Элемент с зонами нечувствительности и неоднозначности (рис.

7.8).Для негладких характеристик z  F () обычно отмечают наличие следующих характерных зон:зоны нечувствительности, если имеется промежуток значений входного сигнала , при которых выходной сигнал z  F () равен нулю;участков насыщения, если имеются промежутки (конечные или бесконечные)значений  , на которых функция F () постоянна;зоны неоднозначности, если имеются промежутки значений  , на которых выходной сигнал может принимать различные значения в зависимости от некоторых параметров или от знака скорости  изменения входного сигнала;2участков линейности, если на некоторых промежутках функция F () являетсялинейной.z  F ()zc c,   0,F ()   0 ,   0 , c ,   0 .cРис. 4z  F ()zcbcb c,   b ,F ()   0,  b    b ,  c,    b .Рис.

5z  F ()zbb  b, c (   b ),F (  )   0, b    b, c (   b ),  b ,tg   c .Рис. 6zz  F (,  )cbbc b    b ,c ,   b ,ë, ,   0 F (,  )  c ,    b ,ë,  b    b  . ,   0 Рис. 73z  F (, )zc b  rbrbcbrb    b ,c,   b или 0иrb    b 0,  rb    rb или ,и   0 F (,  )   или  b    rb ,и   0  b    rb , c,   b или  и   0 0  r  1.Рис. 8Линейная часть системы задается передаточной функциейW (s ) bm s m  ...  b0an s n  ...  a0(4)или эквивалентным дифференциальным уравнениемan x (n ) (t )  ...

 a0 x (t )  bm z (m) (t )  ...  b0 z (t ) ,(5)связывающим входной z (t ) и выходной x (t ) сигналы системы.Наличие нелинейного звена придает системе управления свойства, присущие только нелинейным системам (например, автоколебания, рассмотренные в гл.8). С другойстороны, поскольку нелинейный элемент один, то для упрощения анализа той или инойособенности поведения системы его можно заменить тем или иным эквивалентным линейным звеном. При этом необходимо использовать различные методы линеаризации.7.3. ОПИСАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧЕСКИМИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИПоведение нелинейных систем при случайных входных воздействиях формальноможет быть описано стохастическим дифференциальным уравнениемd X (t ) f (t ,X (t ))  (t ,X (t )) G (t ) ,dt(7)где X – n-мерный вектор состояния; f (t ,x ) , (t ,x ) – соответственно векторная( n  1 ) и матричная ( n  k ) функции; G (t ) – k-мерный стандартный гауссовский белыйшум, удовлетворяющий условиям M [G (t )]  0 , M [G (t1 )G T (t 2 )]  (t1  t 2 ) .4Начальные условия задаются в видеX (t 0 )  X 0 ,(8)где X 0 – либо известный вектор, либо векторная случайная величина с известной плотностью вероятности.Чтобы придать (7) строгий смысл, это уравнение сначала переписывают в дифференциальной форме:dX  f (t ,X (t )) dt  (t ,X (t )) dW (t ) ,(9)где W (t ) – k-мерный стандартный винеровский случайный процесс, удовлетворяющий условиям: W (t 0 )  0 , M [W (t )]  0 для всех t  t 0 , вектор W (t ) для любых t  t 0распределен по гауссовскому закону, процесс является однородным с независимымиприращениями.

Ковариационная функция стандартного винеровского процессаRW (t1 , t 2 )  E  min (t1 , t 2 ) , а производная формально равна стандартному белому шуму:dWG (t ) .dtЗатем уравнение записывается в интегральной форме:tX (t )  X (t 0 ) tf (, X ()) d t0(, X ()) dW () ,(10)t0где первый интеграл представляет собой среднеквадратический интеграл, а второй – стохастический интеграл.Наиболее часто применяется стохастический интеграл Ито, который определяется как предел сходящихся в среднеквадратическом смысле интегральных сумм:N 1 (i ,X (i )) [W (i 1 )  W (i ) ] ,i 0где t 0   0  1 ...   N  t – такая последовательность точек разбиения интервала интегрирования [t 0 ,t ] на N частей, что   max (i  i 1 )  0 при N    .i 1,,NТак же применяются интеграл Стратоновича и более общий  -интеграл.Уравнение (10), в котором используется интеграл Ито, называется интегральнымуравнением Ито, а уравнение (9) – стохастическим дифференциальным уравнениемИто.Случайный процесс X (t ) , удовлетворяющий уравнению (10), в котором интегралыпредставляют собой среднеквадратические пределы соответствующих интегральныхсумм, называется средним квадратическим решением стохастического дифференциального уравнения.При решении проблем анализа и синтеза систем управления удобно исходную стохастическую задачу свести к соответствующей детерминированной задаче.

Для этогорассмотрим уравнение (9) на некотором промежутке времени T  [t 0 , t1 ] и предположим,что:а) функции f i (t , x ) , i  1,..., n ;  i j (t , x ) , i  1,..., n , j  1,..., k кусочно непрерывны по t для всех x  R n ;5б) для любых t  T функции f i (t , x )  C 1 (R n ) , i  1,..., n и имеют ограниченныепервые производные по x ; функции  i j (t , x )  C 2 (R n ) , i  1,..., n , j  1,..., k и имеютограниченные первые и вторые производные по x ;в) существует c1  const  0 такая, чтоnn  ai j (t , x ) zi z ji 1 j  1где ai j (t , x )  c1 z2(t , x )  T  R n , z  R n ,k i l (t , x )   j l (t , x ) .l 1Тогда решение стохастического дифференциального уравнения (9) существует,единственно и является непрерывным марковским процессом.

Если плотность вероятности этого процесса p(t , x )  C 1,2 (T  R n ) , где C 1,2 (T  R n ) – пространство непрерыв p(t , x )  p(t , x )  2 p(t , x )ных функций вместе с производными,,, i  1,..., n , j  1,..., n , x i x jt xiто она удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова:n1 n n p t , x 2 [ f i t , x  p t , x  ]   [ ai j t , x  p(t , x ) ] t2 i 1 j  1  x i  x ji 1  x i A [ p t , x ](t , x )  T  R n(11)с начальным условиемp(t 0 , x )  p0 (x ) ,(12)где p0 (x ) – начальная плотность вероятности, характеризующая начальное состояниеX 0 ; A  – дифференциальный оператор, f (t , x )  ( f1 (t , x ),..., f n (t , x ))T - вектор сноса;a(t , x ) – матрица диффузии.В задаче анализа выходных процессов требуется по заданным начальной плотности вероятности p0 (x ) , вектору сноса f (t , x ) и матрице диффузии a(t , x ) найти законизменения плотности вероятности p(t , x ) . Решая уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова (ФПК), являющееся уравнением в частных производных параболическоготипа, можно получить наиболее полную информацию о поведении динамической системы.