tul13 (1014488), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

По плотности вероятности находятся любые статистические характеристики процесса X (t ) . Уравнение ФПК наряду с исходным стохастическим дифференциальным уравнением (9) служит математической моделью системы управления.68. МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ8.1. АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ8.1.1. Постановка задачиОсновная задача анализа выходных процессов нелинейной детерминированнойсистемы управления состоит в нахождении выходного сигнала x (t ) (траектории движения) на отрезке времени t [t 0 ,t1 ] по заданному на этом отрезке входному сигналу g (t )и начальному состоянию x (t 0 )  x 0 . Как и в случае линейных систем, движение системыпри отсутствии внешних воздействий ( g (t )  0 ) называют свободным движением, а приналичии ненулевых воздействий ( g (t )  0 ) – вынужденным.

Однако в отличие от линейных систем, в которых выполняется принцип суперпозиции, движение нелинейной системы нельзя представить в виде суммы свободного и вынужденного движений.Для решения задачи анализа обычно используются численные или численноаналитические методы решения систем дифференциальных уравнений, поскольку аналитическое решение этих нелинейных уравнений удается найти крайне редко.Применение широко развитых методов анализа линейных систем к данному классузадач является весьма привлекательным и становится возможным после процедуры линеаризации.8.1.2. Линеаризация нелинейных системПредположим, что задана опорная траектория x  (t ) , являющаяся решением уравненияx (t )  f (t ,x (t ),g (t ))(1)при некотором входном сигнале g (t )  g  (t ) и начальном условии x (t 0 )  x 0 , т.е.x  (t )  f (t ,x  (t ),g  (t )) , x  (t 0 )  x 0 .(2)Поведение x (t ) нелинейной системы в окрестности опорной траектории можетбыть представлено с помощью отклонений (вариаций) x (t ) от опорной траектории:x (t )  x  (t )  x (t ) .(3)x  (t )  x (t )  f (t ,x  (t )  x (t ),g  (t )  g (t )) ,(4)Подставляя (3) в (1), имеемгде g (t ) – вариация внешних воздействий, g (t )  g (t )  g  (t ) .

Раскладывая функциюf в ряд Тейлора в окрестности опорной траектории, ограничиваясь членами только первого порядка (линейными членами) и вычитая (2) из (4), получаем, что вариации x (t )описываются уже системой линейных уравнений:7x (t )  f x (t ,x  (t ),g  (t )) x (t )  f g (t ,x  (t ),g  (t )) g (t ),x (t 0 )  x (t 0 )  x 0 ,(5)где f x , f g – матрицы частных производных вектор-функции f (t ,x ,g ) по соответствующим аргументам, f x  fixj, fg  fi gk, i  1, ,n ; j  1, ,n ; k  1, ,m .Поэтому дальнейший анализ нелинейной системы (1) в окрестности опорного режима проводится методами анализа линейных систем, применяемыми к уравнениям в вариациях (5).

Такой прием приближенной замены нелинейной системы линейной называется линеаризацией уравнений движения (1) относительно опорной траектории.З а м е ч а н и е. Аналогичная процедура линеаризации применима и для систем,описываемых уравнениями n -го порядка. Рассмотрим ее на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка:F x,x,x,g,g   0,(6)где F – нелинейная функция своих аргументов.Предполагается, что задана опорная траектория x * t  , которая получается в результате решения уравнения (6) с начальными условиями x * t 0   x 0* , x t 0   x 0* и известным входным сигналом g * t  , т.е. F x* t ,x * t ,x * t ,g * t ,g * t   0 .Обозначим x t   x t   x * t , g t   g t   g * t  – отклонения от опорного режима, где x t  – решение уравнения (8.6) с начальными условиями x t 0   x 0 , x t 0   x 0и входным сигналом g t  (рис.

1).Для проведения линеаризации разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестностиопорной траектории, ограничиваясь членами только первого порядка (линейными членами): F  F  F    F    F  g   g  0 .F x* t ,x * t ,x * t ,g * t ,g * t    x   x   x  gg x * x * x ***Знак*отражает факт, что все производные подсчитываются на опорной траекто-рии. Первый член обращается в нуль, так как опорная траектория x * t  удовлетворяетуравнению (6).Введем обозначения: F  F  F  F  F  ; b0 t     .a2 t    ; a1 t    ; a0 t    ; b1 t     x  * x  * x  * g  * g  *Тогда последнее соотношение можно переписать в формеa2 t  x  a1 t  x  a0 t  x  b1 t  g  b0 t  gс начальными условиямиx t 0   x 0  x 0* ,8x t 0   x 0  x 0* .Его решение определяет отклонение x t  от опорной траектории (см.

рис. 1).x x (t )  x (t )  x  (t )x  (t )x (t )x0x 0t0tРис. 18.1.3. Алгоритм анализа выходных процессовВ задаче анализа требуется найти выходной сигнал x (t ) , t 0  t  t1 , системы повходному сигналу g (t ) и начальному состоянию x (t 0 )  x 0 . Для этого нужно выполнитьследующие операции:1. Задать начальное состояние x 0 , опорный входной сигнал g  (t ) и найти опорную траекторию x  (t ) , удовлетворяющую уравнению (2).2. Определить отклонения начального состояния x (t 0 )  x 0  x 0 и входного сигнала g (t )  g (t )  g  (t ) .3. Записать уравнение (5) для вариации x (t ) и найти его решение при начальныхусловиях x (t 0 )  x 0 и сигнале g (t ) , полученных в п. 2.4.

Найти выходной сигнал x (t ) нелинейной системы по формуле (3). Полученноеприближенное решение x (t ) отличается от точного решения уравнения (1) на величину,имеющую второй порядок малости по сравнению с x 0 и g (t )  max g (t ) .t0  t  t19.

Характеристики

Список файлов лекций