Диссертация (Ренормализационная группа в некоторых моделях критического состояния и стохастической динамики)

ÑÀÍÊÒÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèËåáåäåâ Íèêèòà Ìèõàéëîâè÷ÐÅÍÎÐÌÀËÈÇÀÖÈÎÍÍÀß ÃÐÓÏÏÀ  ÍÅÊÎÒÎÐÛÕÌÎÄÅËßÕ ÊÐÈÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÈÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ01.04.02 òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêàÄèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüäîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÀíòîíîâ Í. Â.ÑàíêòÏåòåðáóðã 20182ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå125Ñòàíäàðòíàÿ òåõíèêà êâàíòîâîïîëåâîé ðåíîðìãðóïïû161.1Ââåäåíèå .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ïðàâèëà Ôåéíìàíà . . . . . . . . . . . .161.3Óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè è ïåðåíîðìèðîâêà . . . . .191.4Óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.5Ôèêñèðîâàííûå òî÷êè è êðèòè÷åñêèå ðåæèìû . . . . . . . .24Êðèòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìîäåëåé ñ àíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà302.1U (n)-ñèììåòè÷íàÿ ìîäåëü ñ ìàãíèòíûì ïîëåì .

. . . . . . .302.1.1Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.1.2Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà . . . . . . . . . .352.1.3Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êè. . . . . . . . .392.1.4Êðèòè÷åñêèé ðåæèì . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41O(n)-ñèììåòðè÷íàÿ ìîäåëü . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .432.2.1Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.2.2Ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .462.2.2.1Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà . . . . .462.2.2.2Ðà ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472.232.2.2.3Ôèêñèðîâàííûå òî÷êè . . . . .

. . . . . . . .522.2.2.4Àñèìïòîòèêà âûñîêèõ ïîðÿäêîâ . . . . . . .542.2.2.5Ïåðåñóììèðîâàíèå2.2.2.62.2.334ìåòîäîìêîíôîðìíîãîÁîðåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58Êðèòè÷åñêèå ðåæèìû . . . . . . . . . . . . .60Ðåíîðìèðîâêà â ôèêñèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .622.2.3.1Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà . . . . .622.2.3.2Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êè . . . .642.2.3.3Êðèòè÷åñêèå ðåæèìû . . . . . . . . . . . . .75Ðåíîðìãðóïïîâîé àíàëèç çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé äèíàìèêè773.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è âûáîð øóìà. . . . . .

. . . . . . . . .773.2Êâàíòîâîïîëåâàÿ ôîðìóëèðîâêà ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé . .813.3Àíàëèç ðàñõîäèìîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Ðåíîðìãðóïïîâîé àíàëèç ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñî ñòàòè÷åñêèì øóìîì904.1Ìîäåëü Êàðäàðà-Ïàðèçè-Çàíãà . . . . . .

. . . . . . . . . . .904.1.1Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . .904.1.2Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà . . . . . . . . . .924.1.3Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êè. . . . . . . . .944.1.4Êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè .

. . . . . . . . . . . . . . .94Áåñêîíå÷íî-çàðÿäíàÿ ìîäåëü ðîñòà. . . . . . . . . . . . . . .954.2.1Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . .954.2.2Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà . . . . . . . . . .974.244.34.44.2.3Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êè. . . . . . . . . 1004.2.4Êðèòè÷åñêèå ðåæèìû . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 101Íåïðåðûâíàÿ ìîäåëü ÑÎÊ Õóà-Êàðäàðà . . . . . . . . . . . . 1034.3.1Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.2Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà . . . . . . . . . . 1054.3.3Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êè4.3.4Êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè . . . . . . . . .

. . . . . . . 107. . . . . . . . . 107Áåñêîíå÷íî-çàðÿäíàÿ ìîäåëü ýðîçèè ëàíäøàôòîâ. . . . . . 1094.4.1Ìîäåëü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4.2Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà . . . . . . . . . . 1114.4.3Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êè4.4.4Êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . .

114. . . . . . . . . 113Çàêëþ÷åíèå116Áëàãîäàðíîñòè120Ëèòåðàòóðà1215ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü òåìû.Ìíîãî÷èñëåííûå ôèçè÷åñêèå ñèñòåìû îáíà-ðóæèâàþò èíòåðåñíîå ñèíãóëÿðíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå. Èõ òåðìîäèíàìè÷åñêèå è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè äåìîíñòðèðóþò ñòåïåííîå ïîâåäåíèå ñ óíèâåðñàëüíûìè êðèòè÷åñêèìè ðàçìåðíîñòÿìè [1, 2].  ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåïðèíÿòûìè âçãëÿäàìè, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ, êðèòè÷åñêèåðàçìåðíîñòè (ïîêàçàòåëè) çàâèñÿò òîëüêî îò íåñêîëüêèõ ãëîáàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû, òàêèõ êàê ñèììåòðèÿ èëè ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà.

Òåì ñàìûì, çà÷àñòóþ ìîæíî ãîâîðèòü î òèïàõ êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ (êëàññàõ óíèâåðñàëüíîñòè) áåçîòíîñèòåëüíî ê êîíêðåòíîé ïðèðîäåèçó÷àåìîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû.Ïîäîáíîå ïîâåäåíèå, â ÷àñòíîñòè, äåìîíñòðèðóþò ñèñòåìû íàõîäÿùèåñÿ â îêðåñòíîñòè ñâîèõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê (òî÷åê ôàçîâîãî ïåðåõîäà âòîðîãî ðîäà). Íàèáîëåå èçó÷åííûå ôàçîâûå ïåðåõîäû (æèäêîñòüïàð, áèíàðíûå ñìåñè, ôåððî- è àíòèôåððîìàãíåòèêè) îïèñûâàþòñÿ O(n)ñèììåòðè÷íûìè ìîäåëÿìè ñî âçàèìîäåéñòâèåì òèïà φ4 è n-êîìïîíåíòíûìâåêòîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà.

Íà äàííûé ìîìåíò êðèòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïîäîáíûõ ìîäåëåé ñ÷èòàåòñÿ õîðîøî èçó÷åííûì: â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé óäàåòñÿ íàäåæíî óñòàíîâèòü ê êàêîìó êëàññó óíèâåðíñàëüíîñòèïðèíàäëåæèò ìîäåëü, à ðàçëè÷íûå äîïîëíèòåëüíûå òåõíèêè ïåðåñóììèðîâàíèÿ ðÿäîâ ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü íàäåæíûå ÷èñëåííûå îöåíêè êðèòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé [17].6Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îïèñàíèå ñ ïîìîùüþ ïîäîáíûõ, ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ, ìîäåëåé îêàçûâàåòñÿ íåàäåêâàòíûì è ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü áîëåå ñëîæíûå ñèììåòðèè èëè áîëåå ñëîæíûå òèïû ïàðàìåòðîâ ïîðÿäêà ñ ìàòðè÷íîé èëè òåíçîðíîé ïðèðîäîé.

Ñþäà îòíîñÿòñÿ ñèñòåìû ñîñëîæíîé êðèñòàëëîãðàôè÷åñêîé ñòðóêòóðîé, ñî ñëó÷àéíî ðàñïðåäåëåííûìè ïðèìåñÿìè, æèäêèå êðèñòàëëû, ñèñòåìû ôåðìèîíîâ ñ âûñøèìè ñïèíàìè è ìíîãèå äðóãèå [818]. Êàê ïðàâèëî, ñîîòâåòñòâóþùèå ìîäåëè âêëþ÷àþò íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ òèïîâ âçàèìîäåéñòâèé è ñîîòâåòñòâåííî íåñêîëüêî êîíñòàíò ñâÿçè (çàðÿäîâ), à èõ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå îêàçûâàåòñÿíåóíèâåðñàëüíûì, â òîì ñìûñëå, ÷òî îíî çàâèñèò îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿèçó÷àåìîé ñèñòåìû.  òàêîì ñëó÷àå äàæå çàäà÷à íàäåæíîãî îïðåäåëåíèÿâîçìîæíîñòè ôàçîâîãî ïåðåõîäà â ñèñòåìå è åãî òèïà îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé.

Ïîýòîìó èçó÷åíèå ïîäîáíûõ ìîäåëåé äî ñèõ ïîð ïðîäîëæàåòîñòàâàòüñÿ àêòóàëüíûì.Ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî è äëÿ ìíîãî÷èñëåííûõ ìîäåëåé îïèñûâàþùèõ ðîñò, è êèíåòè÷åñêîå îãðóáëåíèå ðàçëè÷íûõ ãðàíèö [19]. Òàêèåìîäåëè ñòðîÿòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ìîäåëÿìè êðèòè÷åñêîé äèíàìèêè íà îñíîâå ðàçëè÷íûõ ôåíîìåíîëîãèñêèõ ñîîáðàæåíèé, ó÷èòûâàþùèõ ðàçëè÷íûåñèììåòðèè ñèñòåìû è ñâîéñòâà àíèçîòðîïèè [20, 21]. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåíîðìèðóåîñòè ìîäåëè òðåáóåòñÿ âêëþ÷åíèå â íåå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà êîíñòàíò âçàèìîäåéñòâèÿ [22,23].

 ðåçóëüòàòå äàæå îäíîïåòëåâûå âû÷èñëåíèÿâ ïîäîáíûõ ìîäåëÿõ òðåáóþò ñïåöèàëüíîãî ïîäõîäà, à ñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé, ïðåäñêàçûâàåìîå â ðàìêàõ òàêîãî àíàëèçà,îêàçûâàåòñÿ õîòü è âîçìîæíûì, íî íåóíèâåðñàëüíûì. Äðóãèì èíòåðåñíûì7ïðèìåðîì ÿâëÿþòñÿ ìîäåëè, îïèñûâàþùèå âîçíèêàþùóþ â íåêîòîðûõ ñèñòåìàõ ñàìîîãðàíèçîâàííóþ êðèòè÷íîñòü (ÑÎÊ).  òàêèõ ìîäåëÿõ ïðèíöèïèàëüííî îòñóòñòâóþò ïàðàìåòðû êîíòðîëèðóþùèå êîððåëÿöèîííóþ äëèíó, âðåìÿ êîððåëÿöèé, à òàê æå âûõîä â êðèòè÷åñêèé ðåæèì [24]. îòëè÷èå îò ðàâíîâåñíûõ ìîäåëåé êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ, äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè ðîñòà çàâèñÿò íå òîëüêî îò ñâîèõ âíóòðåííèõ õàðàêòåðèñòèê, íî è îò òèïà ñëó÷àéíîãî âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.

Èçâåñòíî, ÷òî îäíàè òà æå ìîäåëü ïîä äåéñòâèåì øóìîâ ðàçëè÷íîãî âèäà ìîæåò ïðîÿâëÿòüàñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, ïðèíàäëåæàùåå ðàçëè÷íûì êëàññàì óíèâåðñàëüíîñòè [25, 26].Òàêèì îáðàçîì, àêòóàëüíûì îêàçûâàåòñÿ èçó÷åíèå íå òîëüêî ðàçëè÷íûõ ìîäèôèêàöèé óæå ñóùåñòâóþùèõ ìîäåëåé ðîñòà, íî è âîïðîñ î âûáîðåñëó÷àéíîãî øóìà, íàèáîëåå ïîëíî è òî÷íî îïèñûâàþùåãî ðàçëè÷íûå àñïåêòû ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì, à òàê æå èçó÷åíèå çàâèèìîñòè ïîâåäåíèÿñèñòåìû îò êîíêðåòíîãî âûáîðà.Ñòåïåíü ðàçðàáîòàííîñòè òåìû èññëåäîâàíèÿ. Íàèáîëåå óñïåø-íîå ïîñëåäîâàòåëüíîå êîëè÷åñòâåííîå îïèñàíèå êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ òåîðåòèêî-ïîëåâîé ðåíîðìãðóïïû. Ïðè òàêîìïîäõîäå âîçìîæíûå òèïû êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ íàëè÷èåì è õàðàêòåðîì íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåòèêî-ïîëåâîéìîäåëè, à êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè âû÷èñëÿþòñÿ â ðàìêàõ ðåãóëÿðíîé òåîðèè âîìóùåíèé.Ïðèìåíåíèå äàííîãî ïîäõîäà ê ðàçëè÷íûì ìîäåëÿì ðàâíîâåñíîãîêðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïîçâîëèëî íàäåæíî óñòàíîâèòü ïðèíàäëåæíîñòüê òîìó èëè èíîìó êëàññó óíèâåðñàëüíîñòè ìíîæåñòâà ðàçëè÷íûõ ñèñòåì8ñ n-êîìïîíåíòíûì âåêòîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà è ðàçëè÷íûìè òèïàìèñèììåòðèè, à òàêæå íåêîòîðûõ ñèñòåì ñ òåíçîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà.Êðèòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè â íåêîòîðûõ ìîäåëÿõ áûëè âû÷èñëåíû âïëîòü äîøåñòîãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé âêëþ÷èòåëüíî.Èçó÷åíèå ôåíîìåíîâ ñâÿçàííûõ ñ ýâîëþöèåé ãðàíèö ïîçâîëèëî ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî ïîëóôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé, óñòàíîâèòü â íèõíà÷èëèå êðèòè÷åñêîãî ñêåéëèíãà è âû÷èñëèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïîêàçàòåëè, ÷àùå âñåãî â ãëàâíîì (îäíîïåòëåâîì) ïðèáëèæåíèè.

 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïîäðîáíûé àíëèç ñèììåòðèé ñèñòåìû ïîçâîëèë ïîëó÷èòü òî÷íûå ðåçóëüòàòû.Öåëüþíàòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿðàâíîâåñíûõ ìîäåëåé ñ àíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà: O(n)-ñèììåòðè÷íîé ìîäåëè ñ ÷èñòî âåùåñâåííûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêàè U (n)-ñèììåòðè÷íîé ìîäåëè ñ êîìïëåêñíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà â ïðèñóòñòâèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òàêæå ïðîâîäèòñÿ èçó÷åíèå ñêåéëèíãîâûõ ðåæèìîâ íåñêîëüêèõ íåðàâíîâåñíûõ ìîäåëåé: èçîòðîïíîé ìîäåëè ðîñòà è ååáåñêîíå÷íî-çàðÿäíîãî îáîáùåíèÿ, íåïðåðûâíîé àíèçîòðîïíîé ìîäåëè ÑÎÊè áåñêîíå÷íî-çàðÿäíîé ìîäåëè ýðîçèè ëàíäøàôòîâ. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ ñòàòè÷åñêàÿ ôîðìà ñëó÷àéíîãî øóìà, êîððåëÿòîð êîòîðîãîíå çàâèñèò îò âðåìåíè. ñîîòâåòñòâèè ñ öåëüþ èññëåäîâàíèÿ áûëè ïîñòàâëåíèû ñëåäóþùèåîñíîâíûå çàäà÷è:(1) Ïîñòðîèòü êâàíòîâîïîëåâóþ ôîðìóëèðîâêó èçó÷àåìîé ìîäåëè,èññëåäîâàòü òèï è ñòðóêòóðó óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé, ïîêàçàòüìóëüòèïëèêàòèâíóþ ðåíîðìèðóåìîñòü ìîäåëè.9(2) Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè óðàâíåíèé ðåíîðìãðóïïû è óñòàíîâèòüèõ õàðàêòåð.(3)  ñëó÷àå, åñëè â ìîäåëè âîçìîæíî ñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå, ïîëó÷èòü ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ åìó êðèòè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.Âñå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïîëó÷åíûâïåðâûå, ÷òî ïîäòâåðæäàåòñÿ èõ ïóáëèêàöèåé â âåäóùèõ îòå÷åñòâåííûõ èìåæäóíàðîäíûõ æóðíàëàõ, è âêëþ÷àþò ñëåäóþùåå:(1) Èññëåäîâàíî êðèòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñèñòåì, ðîëü ïàðàìåòðà ïîðÿäêà â êîòîðûõ èãðàåò âåùåñòâåííûé àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð.(2) Èññëåäîâàíî êðèòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñèñòåì ñ êîìïëåêñíûì àíòèñèììåòðè÷íûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà, âçàèìîäåéñòâóþùèì ñ ìàãíèòíûìïîëåì.(3) Ïîêàçàíî, ÷òî ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü êèíåòè÷åñêîãî îãðóáëåíèÿ Êàðäàðà-Ïàðèçè-Çàíãà (ÊÏÇ), åå áåñêîíå÷íî-çàðÿäíîå îáîáùåíèå,áåñêîíå÷íî-çàðÿäíàÿ ìîäåëü ýðîçèè ëàíäøàôòîâ è íåïðåðûâíàÿ ìîäåëüÑÎÊ Õóà-Êàðäàðà ñî ñòàòè÷åñêèì ñëó÷àéíûì øóìîì ìîãóò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàííû â âèäå ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìûõ òåîðåòèêîïîëåâûõ ìîäåëåé, à òàêæå èññëåäîâàíî èõ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.Ïîëó÷åííûå â äàí-íîé ðàáîòå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ñèñòåì ôåðìèîíîâ ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû,à òàêæå æèäêèõ êðèñòàëëîâ è ôåððîýëàñòèêîâ.