§ 6 . Представление о Фурье-спектроскопии (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаАYb/2ϕF(y)Xвб-2λ/b -λ/b-b/2-b/2 0 b/2 yаРис.6.18λ/b2λ/b sinϕ0-4π/b -2π/b0∆ky2π/b 4π/bПоложение минимумов дифракционной картины определяется соотношением(4.13), которое можно переписать так:2π2π.(6.60)sin ϕ = ± mbλ2πУчтём, что k =, а k sin ϕ = ∆k y – изменение составляющей волнового вектора вλрезультате дифракции по оси Y (амплитуда волнового вектора остаетсянеизменной). В итоге горизонтальную ось на рис.6.18,в можно проградуировать ввеличинах ∆k y .

Сопоставляя рис.6.18(б,в) и рис.6.16(в,г), убеждаемся в их сходстве.Положение ближайшего к центральному максимуму минимума на рис.6.18,всоответствует выполнению теоремы о ширине волнового пакета в форме:∆k y ⋅ b = ∆k y ⋅ ∆y = 2π .(6.61)Таким образом, дифракционная картина от щели может рассматриваться какФурье-образ (в ∆k y -пространстве) ограниченного по оси Y фронта плоской волны.Представление о дифракции как Фурье-преобразовании оказывается чрезвычайноплодотворным при рассмотрении дифракции на более сложных препятствиях –например, на прямоугольном отверстии.§6. Представление о Фурье-спектроскопииФурье-спектроскопия – современный метод оптической спектроскопии, вкотором спектры исследуемого объекта получаются в две стадии.

На первой стадиирегистрируется так называемая «интерферограмма» объекта, на второй – проводитсяматематическая обработка интерферограммы, в результате которой ивосстанавливается спектральный состав исследуемого излучения.Для получения интерферограммы используется интерферометр Майкельсона –необходимый элемент любого Фурье-спектрометра.

Устройство интерферометраМайкельсона схематически показано на рис.6.19. Параллельный пучок исследуемогоизлучения через входное отверстие спектрометра направляется на полупрозрачноезеркало З, плоскость которого составляет с пучком угол 45°. Половинасоставляющих пучок О волн проходит через полупрозрачное зеркало (луч 1), адругая половина – отражается от него (луч 2). Далее лучи 1 и 2 отражаются отзеркал 4′ и 4, соответственно; затем они вновь попадают на зеркало З, где опятьпроисходит разделение каждого из этих лучей на два (на рисунке показаны только лучи201Дополнительные главы.

Глава VI. Волновые пакеты и импульсы1′ и 2′, направления распространения которыхсовпадают). Если волны 1′ и 2′ когерентны,r2 2регистрирующийприбор5зафиксируетVрезультатинтерференции.Устройство301интерферометра Майкельсона таково, чтоВх1интенсивности интерферирующих лучей 1′ и 2′строго одинаковы.4′2′ 1′Сначала предположим, что на входинтерферометра попадает монохроматическое5Рис.6.19излучение частоты ω. После разделения исходного пучка на два, каждый из вновьобразованных пучков (1 и 2) проходит свой путь, после чего они вновь соединяются(лучи 1′ и 2′).

Ранее было показано (см. соотношение (3.9)), что, если интенсивностилучей 1′ и 2′ равны I(ω)/2, то интенсивность результирующих колебаний на входеприбора 5 будет равна:I (ω ) = I 0 (ω )(1 + cos ∆ϕ ) ,(6.62)4где ∆ϕ – разность фаз колебаний между лучами 1 и 2.В начальный момент времени зеркала 4 и 4′ установлены так, что величина∆ϕ = 0. Затем одно из них (например, зеркало 4′) начинает поступательноперемещаться вдоль луча 1 с постоянной скоростью V. Так как разность фаз ∆ϕсвязана с разностью хода лучей 1′ и 2′ ∆l соотношением ∆ϕ = k∆l, получаем:2Vω t.(6.63)∆ϕ =vЗдесь v – фазовая скорость распространения волн; множитель два отражает тообстоятельство, что ∆l изменяется со скоростью 2V.Поскольку величина ∆ϕ периодически изменяется со временем,регистрирующий прибор 5 зафиксирует присутствие в сигнале переменнойсоставляющей2V~где τ =.(6.64)I (τ ) = I 0 (ω ) cos ωτ ,vtЕсли на входе интерферометра присутствуют волны двух частот, топеременный сигнал регистрирующего прибора 5 получится сложением двухсоставляющих типа (6.64):~I (τ ) = I 1 (ω ) cos ω1τ + I 2 (ω ) cos ω2τ ,(6.65)Здесь I1(ω1), I2(ω2) – интенсивности волн соответствующих частот на входеинтерферометра.Очевидно, что если частотный спектр исследуемого сигнала непрерывный, топеременная составляющая отклика регистрирующего прибора 5 запишется в видеинтеграла202Колебания и волны.

Волновая оптика∞F (τ ) = ∫ I (ω ) cos ωτ dω .(6.66)0Легко видеть, что выражение (6.66) – не что иное, как Фурье-преобразованиечастотного спектра исходного сигнала I(ω).В частности, если исследуемый сигнал представляет собой наложение волнодинаковых амплитуд, равномерно заполняющих частотный диапазон от ω до ω +∆ω (прямоугольный частотный спектр), то прибор 5 зарегистрирует отклик,изменяющийся во времени так, как это показано на рис.6.16,в.В общем случае оптический спектр исходного сигнала может быть найден, какэто следует из предыдущего параграфа, с помощью обратного преобразованияФурье – и это составляет второй этап получения искомого спектра:∞I (ω ) = (π ) −1 ∫ F (t ) cos ωτ dτ .(6.67)−∞Идея Фурье-спектроскопия была высказана Майкельсоном сто лет назад(математический аппарат Фурье преобразований к тому времени был уже развит).Однако практическая реализация метода стала возможной лишь после появлениябыстродействующих компактных компьютеров, с помощью которых можно быстропроводить численное интегрирование (6.67).

В современных вариантах Фурьеспектрометровкомпьютериспользуетсянетолькодляобработкиэкспериментальныхданных,ноидляавтоматическогоуправленияэкспериментальной установкой.Принципиальным отличием Фурье-спектроскопии от традиционнойспектроскопии является то, что Фурье-спектрометр регистрирует сразу весь спектрисследуемого сигнала, а не его маленький участок, как обычный спектрометр с“диспергирующим” элементом (призмой иди дифракционной решеткой).Соответственно, на порядки возрастают объём получаемой в единицу времениинформации, а также разрешающая способность аппаратуры.

Например, винфракрасной области спектра Фурье-спектрометр позволяет получать спектральное разрешение линий, отличающихся на тысячные доли см - 1. Фурьеспектрометры для дальней инфракрасной области спектра (50–2000 мкм) находятширокое применение в химии.203.