§ 4 . Волновые пакеты и импульсы произвольной формы (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Дополнительные главы. Глава VI. Волновые пакеты и импульсыdv гd 2ω(6.25)∆k =⋅ ∆k .dkdk 2Учитывая равенства (6.23) и (6.24), легко понять, что полученные ранеесоотношения (6.11) и (6.12) справедливы совершенно строго только внедиспергирующих средах. Использование этих соотношений возможно наначальном этапе распространения пакета (при малых t1 – t0 “расплыванием” пакетаможно пренебречь, (∆x)1 ≈ (∆x)0); а также в том случае, когда мала величина ∆vг впределах пакета. В противном случае вместо (6.11) и (6.12) нужно писать∆t ⋅ ∆ω ≥ 2π , ∆t ⋅ ∆ν ≥ 1;(6.26)∆x ⋅ ∆k ≥ 2π , ∆x ⋅ ∆ (1 / λ ) ≥ 1 .(6.27)∆v г =§ 4.

Волновые пакеты и импульсы произвольной формыДо сих пор мы имели дело только с “прямоугольным” волновым пакетом. Намудалось установить, что такому пакету соответствует импульсный сигнал, формакоторого показана на рис.6.5 и рис.6.6. Таким образом, если наблюдательзарегистрировал сигнал, имеющий такую форму, можно сразу сделать вывод оспектральном составе волнового пакета (с учетом соотношений (6.11) и (6.12)).Очевидно, что если изменять вид волнового пакета, варьируя амплитудуотдельных составляющих, то будет также изменяться форма соответствующегосигнала. Важно установить, насколько широк диапазон сигналов, которые можнополучать, создавая различные по форме волновые пакеты (т.е.

задавая разныезависимости амплитуд гармонических компонент от частоты и изменяяспектральный состав пакета).Некоторые соображения на этот счет можно привести, основываясь только наклассическом волновом уравнении (2.5).Ранее упоминалось, что любая достаточноплавная функция вида f(t – x/v) удовлетворяет этому уравнению. С другойстороны, решениями уравнения (2.5) являются также гармонические функции вида:А⋅sin[ω(t – x/v)] или В⋅cos[ω(t – x/v)](6.28)Логично предположить, что любая плавная функция может быть представлена ввиде некоторого набора гармоник (6.28).Для того чтобы точно определить этот набор для какой-то функции f(t),воспользуемся методом разложения функций в ряд Фурье.

Сначала рассмотримпериодическую функцию времени F(t), полагая, что она удовлетворяет условиямДирихле. Приведенное ниже рассмотрение автоматически переносится на функциюкоординаты, если провести замену t → x.Ряд Фурье для функции F(t) выглядит так:∞∞n =1n =1F (t ) = B0 / 2 + ∑ An sin ωn t + ∑ Bn cos ωn t .Здесь Аn и Bn – коэффициенты, определяемые соотношениями:192(6.29)Колебания и волны. Волновая оптика.An =Bn =2Tt +T2Tt +T∫ [F (t ) sin ω t ]dt ,Fant∫ [F (t ) cos ω t ]dt ,n0t бtt +T20F (t )dt .(6.30)t∫T tвКоэффициент B0 отличается от нуля дляфункций, среднее значение которых за период не0tравно нулю (см.

рис.6.11,а). Если функция F(t) –чётная (рис.6.11,б), то все Аn = 0; для нечётныхРис.6.11функций В1 = В2 = … = Вn = 0 (рис.6.11,в).В качестве примера, на рисунке 6.12показаны три периодические функции (верхняя – чётная, средняя и нижняя –нечётные), приведены ряды Фурье для этих функций, а также соответствующиечастотные спектры (по горизонтали – частоты, по вертикали – амплитуды гармоник).Видно, что для периодических функций основной вклад в разложение Фурье вносятнизкочастотные гармонические составляющие.

Чем более плавной является функция,тем быстрее убывают амплитуды гармоник с возрастанием номера n в разложениипериодической функции (6.29).B0 =aaa-π -π/2 0 π/2 πωtAnF (t ) =4a 11 cos ωt − cos 3ωt + cos ωt π 35F (t ) =4a 11 Bn sin ωt + sin 3ωt + sin 5ωt + ... π 358a  sin ωt sin 3ωt sin 5ωtF (t ) = 2  2 −++ ...

22π  1351Рис.6.12Для приближенного описания периодическихфункций, как правило, достаточно небольшого числапервых членов ряда (6.29). Это хорошо видно изрис.6.13, на котором показаны графики суммы первыхтрех (а) и пяти (б) членов ряда Фурье дляпрямоугольной волны.Перейдём теперь к обсуждению возможностипредставления в виде суперпозиции гармоникнепериодических функций.Пусть в некоторую точку х0, приходитнепериодический сигнал ξ(t), имеющий формуимпульса ограниченной длительности (т.е.

функцияAn3F5natFбРис.6.13t193Дополнительные главы. Глава VI. Волновые пакеты и импульсыξ(t) равна нулю за пределами интервала времени t0 < t < t0+T0 – см. рис.6.14,а).Для того чтобы иметь возможность использовать результаты, полученные прирассмотрении периодических функций, воспользуемся следующим приёмом.Построим функцию f(t), точно равную функции ξ(t) в интервале t0 < t < t0+T0, авне этого интервала представляющую собой периодическое повторение функцииξ(t) с периодом Т0, так что f(t) = f(t+T0) – см. рис.6.14,б. Будем считать, чтофункция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле и её можно разложить в ряд Фурье(6.29). Если среднее значение функции ξ(t) равно нулю, т.е.

отсутствует постоянный“сдвиг” сигнала (см. рис.6.11,а), то коэффициент B0 в разложении (6.29) равеннулю. Очевидно, что чётная функция f(t), как и ранее, будет содержать вразложении (6.29) только косинусы, нечётная – только синусы. В обоих случаяхпервые члены соответствующих рядов Фурье – гармоники с частотой ω0 = 2π/Т0.Поскольку выбор периода Т0, в общем, произволен, его можно выбрать стольбольшим, что частота ω0 = 2π/Т0 будет очень малой.

При этом отличие частотсоседних гармоник (с близкими номерами n) будет тоже малым (δω = ω0δn).ξfatt0+T0t0бt0+T0t0t0+2T0tРис.6.14В итоге суммирование отдельных гармоник в ряду (6.29) можно заменитьинтегрированием по частоте:∞∞00f (t ) = ∫ [A(ω ) sin ω t ]dω + ∫ [B(ω ) cos ω t ]dω ,(6.31)А(ω) = А(nω0) = Аn/ω0, B(ω) = B(nω0) = Bn/ω0.(6.32)Нижние пределы в интегралах (6.31) взяты равными нулю, так при бесконечномвозрастании T0 частоты самых низкочастотных составляющих ряда (6.29) стремятся кнулю. Детальный анализ трансформации частотного спектра периодической функцииF(t) при увеличении периода и перехода в пределе к одиночному, сигналу ξ(t) будетпроведён в следующем параграфе (п.3).Амплитуды гармоник можно определить, воспользовавшись соотношениями(6.30) и (6.31):t +T∞21[][ξ (t ) sin ω t ]dt ,A(ω ) =f(t)sinωtdt=ω0T0 ∫tπ −∫∞где0002B (ω ) =ω0T0194t0 +T01∞∫ [ f (t ) cos ωt ]dt = π ∫ [ξ (t ) cos ωt ]dt ,t0−∞(6.32)Колебания и волны.

Волновая оптика.В последних равенствах учтено, что ω0Т0 = 2π, а величина интеграла на интервале,равном одному периоду от искусственно сформированной периодической функцииf(t) точно равна интегралу в интервале времени от –∞ до +∞ от одиночногонепериодического импульса ξ(t).Резюмируя вышесказанное, запишем представление непериодической функциивремени в виде т.н. “интеграла Фурье”:∞∞00ξ (t ) = ∫ [A(ω ) sin ω t ]dt + ∫ [B (ω ) cos ω t ]dt ,(6.33)где коэффициенты А(ω) и В(ω) определяются равенствами (6.32).Мы уже неоднократно убеждались в полной идентичности описания функцийвремени и пространства, поэтому очевидно, что “пространственный импульс” –зафиксированная в какой-то момент картина распространяющегося по оси Ходиночного сигнала – также может быть представлена в виде совокупностигармонических волн, аналогично (6.33), только ωt при этом нужно заменить на kx.Соотношения (6.32), таким образом, позволяют определять спектральныйсостав сигналов произвольной формы.

Процедура, описываемая формулами (3.32),называется Фурье–анализом сигнала или волнового пакета. В следующем параграфемы проиллюстрируемвозможности Фурье–анализа на примере несколькихсигналов, с которыми довольно часто приходится встречаться на практике.195.