§ 3 . Распространение волновых пакетов (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Глава VI. Волновые пакеты и импульсыТаблица 6.1.ϕ0∆ϕ001sinϕ0/ϕ0π/2π2/ππ2π03π/23π2/3ππ4π05π/25π2/5πвекторныедиаграммыНеобходимо при этом учитывать, что в случае дифракции от одной щелиb ⋅ sin ϕ, а при рассмотрении дополнительных максимумов и минимумовNδϕ = 2πλдифракционной картины от решётки Nδϕ = 2πNd ⋅ sin ϕλ.Несколько забегая вперед, отметим, что в современной физике теорема оширине частотной полосы переходит в принцип неопределенности Гейзенберга.

Вквантовой механике каждой частице соответствует волна, параметры которойопределяются энергией W и импульсом р частицы:hWν= , λ= ,(6.13)hpгде h – постоянная Планка. Подставляя в равенства (6.11) и (6.12) величины∆W 1  ∆p, получим:и ∆  =∆ν =hλ h∆W ⋅ ∆t ≅ h или ∆p ⋅ ∆x ≅ h .(6.14)Точные формулировки принципа неопределенности в квантовой механикезаписываются несколько иначе:∆W ⋅ ∆t ≥ h / 2π или ∆p ⋅ ∆x ≥ h / 4π .(6.15)§ 3. Распространение волновых пакетовАнализируя условие максимума волнового пакета (6.10), легко понять, что стечением времени пакет перемещается по оси X со скоростьюxδω dωvг = 0 ==.(6.16)t0 δk dkИменно с такой скоростью, называемой групповой скоростью волнового пакета,распространяется энергия пакета и, следовательно, информация, которую мы можемпередавать с помощью волн.Учитывая, что ω = v⋅k, где v – фазовая скорость волн (см. стр. 42), можнозаписать выражение для групповой скорости несколько иначе:dvdv=v − λ ⋅.(6.17)vг = v + k ⋅dkdλ188Колебания и волны.

Волновая оптикаДля электромагнитных волн в вакууме (см. гл. II, §5)3фазоваяскорость–постояннаявеличина ω1v = c = 1  , не зависящая от длины волны λ. В2ε 0 µ0 этом случае групповая скорость равна фазовой. Ввакууме информация может быть передана с помощьюэлектромагнитных волн со скоростью, равной с.0kОднаковбольшинствеслучаевприраспространении как электромагнитных, так иРис. 6.7упругих волн в различных веществах фазоваяскорость волн оказывается зависящей от λ .

В принципе возможны три видазависимостей ω(k) – т.н. «дисперсионных кривых» – см. рис.6.7. Прямая 1,проходящая через начало координат, соответствует среде, в которой vг = v =const (принято говорить в этом случае об отсутствии дисперсии волн). Кривая 2 характерна для сред, в которых фазовая скорость растёт с ростом длины волны:dv> 0; v г < v .(6.18)dλДисперсия (т.е. зависимость ω от k, или v от λ) для таких сред называетсянормальной.Дисперсия волн называется аномальной для веществ, в которых фазоваяскорость уменьшается с ростом длины волны:dv< 0; v г > v .dλРассмотрим качественно характердисперсии электромагнитных волн вдиэлектрике.

При прохождении электромагнитной волны через диэлектрикэлектрическое поле волн создает вынуждающую переменную силу, вызывающуюсмещение заряженных частиц (электронов и ионов). Поскольку диэлектрическаяпроницаемость вещества определяетсяего способностью поляризоваться вэлектрическом поле, вид зависимостиε ( ω) качественно должен повторятьзависимость амплитуды дисперсии отчастоты вынуждающей силы (см. гл. II, §5).Нарис.6.8показанхарактерзависимостей амплитуды поглощения(а), амплитуды дисперсии (б) идиэлектрической проницаемости ε(ω) (в)отчастотывынуждающейсилы.Величина εс равна диэлектрическойпроницаемости вещества в постоянномэлектрическом поле. При резонансной(6.19)Амплитуда поглощенияAпωAдАмплитуда дисперсииωεДиэлектрическаяпроницаемостьεc1IIωIIω0Рис.

6.8189Глава VI. Волновые пакеты и импульсычастоте ω0 диэлектрик не поляризуется (нет смещения заряженных частиц в фазе свынуждающей силой), поэтому ε = 1. На высоких частотах заряженные частицывообще не успевают реагировать на переменное электрическое поле, следовательно,при ω → ∞, также ε ≅ 1. Учитывая, что фазовая скорость распространенияcэлектромагнитных волн v =, а магнитная проницаемость µ для большинстваεµвеществ – постоянная порядка единицы, получаем:dv dv dεv dε=⋅=−.(6.20)dλ dε dλ2ε dλОтсюда групповая скорость электромагнитных волн может быть записана в форме:λ dε (6.21)v г = v 1 +. 2ε dλ Из соотношения (6.20) следует, что во всем спектральном диапазоне, кроме областивблизи полосы поглощения, дисперсия электромагнитных волн нормальная,(соответствующие области спектра обозначены на рис.6.8 цифрой I).

В интервале II,соответствующей полосе поглощения электромагнитных волн в данномматериале, дисперсия аномальна.Обсудим теперь некоторые особенности распространения волновыхпакетов в диспергирующих средах. На рис.6.9 показан волновой пакет в трипоследовательных момента времени (t3 > t2 > t1).Поскольку в диспергирующей средегрупповая скорость (характеризующаяскорость переноса вдоль оси Х огибающейволнового пакета) не равна фазовойXскорости волн (которая характеризуетt1скоростьперемещенияпоосиХмаксимумов «несущей» частоты <ω>),волновой пакет при его перемещении будетXпостоянно видоизменяться.

В частности, вt2случае нормальней дисперсии (vг > v) влевой части пакета будет все время как бы“нарождаться” волна частоты <ω> и,перемещаясь быстрее огибающей пакета,t3Xисчезать на его правой границе.Рис. 6.9Если волны, составляющие пакет,занимают достаточно узкий диапазончастот ∆ω, так что соответствующий участок дисперсионной кривой можно считатьdωлинейным, то производнаяодинакова во всем интервале ∆ω, и вопрос об опреdkделении групповой скорости, характеризующей перемещение максимумаогибающей волнового пакета (см. формулу (6.16)), не требует специальногоdωобсуждения.

Однако если величинав диапазоне частот ∆ω претерпеваетdkзаметные изменения, то определение скорости перемещения максимума огибающей190Колебания и волны. Волновая оптикаволнового пакета требует некоторого уточнения. Так как основной вклад вформирование максимума вносят волны средней частоты <ω> (именно таковачастота “несущей гармоники”), очевидно, что скорость перемещения максимумаdωнужно вычислять по величине производнойвблизи частоты <ω>, т.е.:dkdω.(6.22)v max ≡ v г (< ω >) =dk ω =<ω >Остановимся вкратце на вопросе об изменениях формы волнового пакета прираспространении его в диспергирующих средах.

Для этого проделаем мысленноследующую процедуру – разобьём интервал ∆ω на несколько (например, на пять)равных частей ∆ω ′ = ∆ω/5 – см. рис.6.10. Каждая такая частьaможет рассматриваться как отдельный волновой пакет (будемназывать такой пакет “пакетиком”). Каждый “пакетик” даст∆ω ′волновой импульс, показанный на рис.6.6, толькодлительность ∆t ′ и пространственная протяженность ∆x ′“пакетика” будут, в соответствии с теоремой о ширинеω∆ωчастотной полосы, в 5 раз больше, чем целого пакета. Еслигрупповые скорости, соответствующие средним частотамРис.

6.10всех “пакетиков”, одинаковы, то волновые импульсы пяти“пакетиков” будут распространяться вместе. Междуколебаниями в этих импульсах будет происходить интерференция, и в итоге ширинасуммарного волнового импульса уменьшится в 5 раз (точно так же, как уменьшается в5 раз ширина главного дифракционного максимума при увеличении количества щелейв 5 раз – см.

стр. 120).Ситуация коренным образом меняется, если частотный диапазон, занимаемыйпакетом (∆ω), не очень мал, а среда, в которой распространяется пакет –диспергирующая. Тогда величины производной для частот, соответствующихсерединам разных “пакетиков”, будут разными. Поэтому волновые импульсы от пяти“пакетиков” будут распространяться с различными скоростями, и с течением временибудут постепенно расходиться. В результате условия интерференции волновых“пакетиков” нарушатся, что неминуемо приведет к “расплыванию” результирующеговолнового пакета.

Подчеркнём вместе с тем, что скорость распространениярезультирующего волнового пакета может быть определена по формуле (6.22).Если в момент времени t0 волновой пакет характеризовался длительностью (∆t)0 ипространственной протяженностью (∆x)0, то в диспергирующей среде из-за разбросавеличин групповых скоростей волн ∆vг в пределах пакета параметры,характеризующие протяженность волнового пакета во времени и пространстве вмомент t1 > t0, будут с учетом “расплывания” таковы:t −t( ∆х )1 = ( ∆х ) 0 + ∆v1 ⋅ 1 0 ,(6.23)vгt −t( ∆t )1 = ( ∆t ) 0 + ∆v1 ⋅ 1 0 .(6.24)vгВеличина разброса групповых скоростей по пакету ∆vг может быть записана в виде:dvd 2ω(6.25)∆v г = г ∆k =⋅ ∆k .dkdk 2191Глава VI.

Волновые пакеты и импульсыУчитывая равенства (6.23) и (6.24), легко понять, что полученные ранеесоотношения (6.11) и (6.12) справедливы совершенно строго только внедиспергирующих средах. Использование этих соотношений возможно наначальном этапе распространения пакета (при малых t1 – t0 “расплыванием” пакетаможно пренебречь, (∆x)1 ≈ (∆x)0); а также в том случае, когда мала величина ∆vг впределах пакета. В противном случае вместо (6.11) и (6.12) нужно писать∆t ⋅ ∆ω ≥ 2π , ∆t ⋅ ∆ν ≥ 1;(6.26)∆x ⋅ ∆k ≥ 2π , ∆x ⋅ ∆ (1 / λ ) ≥ 1 .(6.27)192.