§ 2 . Характеристики волнового пакета (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Дополнительные главы. Глава VI. Волновые пакеты и импульсы§2. Характеристики волнового пакетаРассмотрим прямоугольный волновой пакет – дискретный набор плоскихмонохроматических волн одинаковых амплитуд, частоты которых равномернораспределены в интервале от ω1 до ω1 + ∆ω ; соответствующие волновые числа –k1 ÷ k1 + ∆k (волне с частотой ω1 соответствует волновое число k1). Будем полагать,что всего имеется N волн, так что разница частот и волновых чисел “соседних” волнδω = ∆ω/(N – 1) и δ k = ∆k/(N – 1), соответственно – см. рис.6.2. Волна с«номером» n – описывается соотношением:ξ n = a cos(ωn t − k n x ) .(6.1)aω1ωω1+∆ωaЗдесь a – амплитуда волны (в прямоугольномпакете одна и та же для всех волн),ω n = ω 1 + ( n − 1)δω ;(6.1,а)k n = k 1 + ( n − 1)δ k .Наша задача – выяснить, что получится врезультате суперпозиции всех волн пакета:Nkk1k1+∆kξ = a ∑ cosϕ n , ϕ n = ωn t − k n x .(6.2)n =1Воспользуемся для этого методом векторныхдиаграмм.

Пусть в некоторый момент времениРис. 6.2вектор длиной а, соответствующий колебанию впервой волне для какой-то точки пространства, расположен горизонтально (см.вектор АВ на рис.6.3). Этот вектор должен вращаться в плоскости рисунка противчасовой стрелки с угловой скоростью ω1. Вектор, соответствующий колебаниям втой же точке, возбуждаемым второй волной (ω2 = ω1 + δω, k2 = k1 + δ k ), нарисунке нужно повернуть относительно первого на величину сдвига фаз между ξ1и ξ2: δϕ = δω ⋅t – δk⋅x.

Направление этого сдвига (опережение или отставание пофазе) зависит от величин δω ⋅t и δk⋅x. Для определенности мы будем считать, чтоδϕ < 0 (колебания ξ2 отстают по фазе от колебаний ξ1), соответственно, вектор ВСповернут относительно АВ по часовой стрелке на угол δϕ. Суммируя аналогичнымобразом колебания от всех волн, получимравносторонний многоугольник (число сторонABравно N, стороны равны благодаря тому, чтоδϕϕ0равны амплитуды колебаний разных частот).CОпуская перпендикуляры из середин отрезковδϕAВ, ВС, ... находим центр окружности (точка O),в которую вписан многоугольник.

Радиус этойокружности, как легко видеть – рис. 6.3, равенOaR=.(6.3)2 sin(δϕ / 2)Здесь угол δϕ между радиусами ОА и ОВ точноDравен углу между векторами АВ и ВС, т.к.треугольник ВОС может быть полученповоротом треугольника АОВ на угол δϕ.Рис.6.3184Колебания и волны. Волновая оптикаОбозначим амплитуду результирующего колебания (длину вектора АD) черезА, из равнобедренного треугольника АОD получаемА= R sin( Nδϕ / 2) .(6.4)2Сопоставляя (6.3) и (6.4), получаем выражение для амплитудырезультирующего колебания, пригодное для прямоугольного пакета, состоящего излюбого количества монохроматических волнsin( Nδϕ / 2)A=a.(6.5)sin(δϕ / 2)Сдвиг фаз между результирующими колебаниями и колебаниями, возбуждаемымипервой волной пакета, равен углу ВАD на рис.6.3 (обозначим этот угол ϕ0).Поскольку угол ОАB равен (π – δϕ)/2 угол ОАD равен (π – Nδϕ)/2, получаем1ϕ 0 = ∠OAB − ∠OAD = ( N − 1)δϕ / 2 = ( N − 1)(δω ⋅ t − δk ⋅ x ) .(6.6)2∆ϕϕ 0 ≈ N δϕ / 2 =,(6.6,а)Отметим, что при N >>12где ∆ϕ – сдвиг фаз между колебаниями “крайних” волн пакета.Выразим теперь результирующее колебание ξ, учитывая, что первая волнаописывается уравнением (6.1) c n = 1, а сдвиг по фазе между ξ и ξ1 – соотношением(6.6):ξ = A cos(ω1t − k1 x + ϕ 0 ) = A cos(< ω > t − < k > x ) .(6.7)В уравнение волны (6.6) введены средние для волнового пакета частота < ω >и волновое число < k > :k + kNω + ωN(6.8)<ω > = 1= ω1 + ( N − 1)δω / 2; < k > = 1= k1 + ( N − 1)δk / 2) .22Существенно, что амплитуда результирующей волны А, которая описываетсяравенством (6.5), непостоянна как во времени, так и в пространстве, посколькувеличина ϕ0 зависит от t и x.

Проведем анализ этой зависимости для случая, когдаполное число волн N в пакете достаточно велико (N >> 1), а фазовый сдвиг междуотдельными волнами – мал (δϕ << 1). В этих условиях в знаменателе (6.5) синусмалого угла можно заменить его радианной мерой δϕ/2, а в числителе – вместоNδϕ/2 использовать ϕ0 (см. (6.6,а)). В итоге соотношение (6.5) переписывается вследующей форме:sin ϕ 0A ≅ Na; N >> 1 .(6.9)ϕ0АЗависимость амплитуды А от угла ϕпри N >> 1 показана на рис.6.4.При ϕ0 = 0 амплитуда максимальна иравна N⋅а.

Физический смысл этогорезультата очевиден – при таком условиифазы всех колебаний совпадают (δϕ = 0 –см.(6.6,а))и“ломаная”векторнаяАм = Naϕ0-3π -2π -π0 π2 π 3πРис. 6.4185Дополнительные главы. Глава VI. Волновые пакеты и импульсыдиаграмма, показанная на рис.6.3, превращается в прямую линию, длина которойN⋅a. Ясно, что в некоторой точке пространства х0 амплитуда результирующегоколебания достигает максимального значения только в момент времени t0, когдавыполняется условие:δϕ = δω ⋅t0 – δ k⋅x0 = 0.(6.10)В другие моменты времени синфазность колебаний ξ1, ξ2 , ..., ξN нарушена иамплитуда колебаний меньше максимальной. При постепенном увеличенииразности фаз δϕ между колебаниями “соседних” волн пакета растет также ϕ0 – уголповорота результирующего вектора АD (см. рис.6.3). Когда ϕ0 достигает π, векторАD изменяет направление на обратное (по сравнению с его положением при ϕ0 = 0).Обратим внимание, что при этом разность фаз между колебаниями “крайних” волнпакета ∆ϕ = Nδϕ = 2π.На рис.6.5 показана зависимость амплитуды результирующего колебания внекоторой фиксированной точке х0 отвремени t.

Максимальная амплитудаААм = Naколебанийбудетзарегистрировананаблюдателем, находящимся в точке х0, вt0-2π/∆ωt0Рис. 6.5момент t0 = х0 ⋅δk/δω. Выполнению условийt0+2π/∆ωϕ0 = ± π соответствуют моменты времениt(t1 − t0 ) = ± 2π / ∆ω . (За время (t1 – t0) междуколебаниями“крайних”волнпакета“набегает” разность фаз ∆ϕ = 2π).Поскольку переносимая волной энергия пропорциональна квадрату амплитудыколебаний, практически вся энергия волнового пакета будет зарегистрировананаблюдателем в период времени отt0 − 2π / ∆ω до t0 + 2π / ∆ω – рис.6.5.

Такимобразом, наблюдатель зарегистрирует импульсный сигнал на несущей частоте< ω > – см. соотношение (6.7.). Принимая условно за длительность импульса ∆tполовину протяженности центрального максимума, т.е. полагая ∆t = 2π / ∆ω ,получим, что длительность импульса и частотный диапазон, занимаемый волновымпакетом, связаны соотношением∆t ⋅ ∆ω ≅ 2π или ∆t ⋅ ∆ν ≅ 1 .(6.11)Это соотношение часто называют теоремой о ширине частотной полосы.

Всоответствии с этой теоремой импульсный сигнал длительностью ∆t получаетсясложением пакета волн, частоты которых лежат в диапазоне ∆ω = 2π / ∆t . Чем болеекороткий импульс требуется получить, тем шире должен быть частотный интервал,занимаемый волновым пакетом. Одной монохроматической волне соответствует ∆ω =0 и, следовательно, ∆t → ∞ (бесконечно большая длительность сигнала).186Колебания и волны. Волновая оптикаЗаметим, что в момент времени t = t0 колебания всех составляющих пакетасинфазны, через время tk = 2π / ∆ω эта синфазность полностью “расстраивается”.Очевидно, что время tk – не что иное, как введенное нами ранее (см. гл.III, § 3)время когерентности.Интересно теперь зафиксировать момент времени t0 и сделать “мгновеннуюфотографию” сигнала – см.

рис.6.6.x0x0-2π/∆kx0+2π/∆kУсловиям ϕ0 = ± π соответствуюткоординаты( х − х0 ) = ± 2π / ∆k .•Почти вся энергия волнового пакетаXсосредоточена в ограниченной областиРис. 6.6пространства. Как и ранее, принятосчитать пространственной протяжённостью волнового пакета величину ∆x = 2π / ∆k . Эта величина равна половинерасстояния между минимумами ( x0 − 2π / ∆k ) и ( x0 + 2π / ∆k ) .

Определенная такимобразом протяжённость волнового пакета связана с интервалом составляющих пакет длинволн соотношением, являющимся другой формой теоремы о ширине частотной полосы:∆x ⋅ ∆k ≅ 2π или ∆x ⋅ ∆ (1 / λ ) ≅ 1 .(6.12)Чем меньше протяжённость волнового пакета ∆х, тем шире должен быть набордлин волн, составляющих пакет. Монохроматической волне соответствует ∆k = 0,следовательно, такая волна описывается бесконечно длинным цугом. Из (6.12) следует, вчастности, что представление о плоской волне строго применимо только дляпространственно неограниченных пучков волн. Если же размер пучка волн (впоперечном сечении) ограничен, то это означает, что этот пучок нужно характеризоватьrнекоторым набором волновых векторов ∆k (т.е.

волна не является плоской).На мгновенной фотографии волнового пакета (рис.6.6) в точке х0 всекомпоненты пакета возбуждают синфазные колебания. После прохождениярасстояния lk = 2π / ∆k когерентность колебаний различных волн, составляющихпакет, нарушается. Поэтому расстояние lk = 2π / ∆k = λ2 / ∆λ точно равно длинекогерентности, определенной ранее (см.

гл. III, §3).В заключение этого параграфа отметим, что соотношение (6.9) можноиспользовать для количественных расчетов дифракционной картины от щели илисистемы щелей (решетки), понимая под N число интерферирующих пучков волн (вслучае дифракционной решетки N – число щелей).Для иллюстрации в таблице 6.1 показаны векторные диаграммы сложенияколебаний компонент волнового пакета в зависимости от угла ϕ0 (и,соответственно, сдвига фаз между “крайними” компонентами Nδϕ = 2ϕ0).Сопоставляя таблицу 6.1 с табл.4.1 и 4.2, легко видеть эквивалентностьсоответствующих векторных диаграмм.187Дополнительные главы. Глава VI. Волновые пакеты и импульсыТаблица 6.1.ϕ0∆ϕ001sinϕ0/ϕ0π/2π2/ππ2π03π/23π2/3ππ4π05π/25π2/5πвекторныедиаграммыНеобходимо при этом учитывать, что в случае дифракции от одной щелиb ⋅ sin ϕ, а при рассмотрении дополнительных максимумов и минимумовNδϕ = 2πλдифракционной картины от решётки Nδϕ = 2πNd ⋅ sin ϕλ.Несколько забегая вперед, отметим, что в современной физике теорема оширине частотной полосы переходит в принцип неопределенности Гейзенберга.

Вквантовой механике каждой частице соответствует волна, параметры которойопределяются энергией W и импульсом р частицы:Whν= , λ= ,(6.13)hpгде h – постоянная Планка. Подставляя в равенства (6.11) и (6.12) величины∆W 1  ∆p, получим:∆ν =и ∆  =hλ h∆W ⋅ ∆t ≅ h или ∆p ⋅ ∆x ≅ h .(6.14)Точные формулировки принципа неопределенности в квантовой механикезаписываются несколько иначе:∆W ⋅ ∆t ≥ h / 2π или ∆p ⋅ ∆x ≥ h / 4π .(6.15)188.