§ 5 . Дифракция Фраунгофера от системы щелей . Дифракционная решетка (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Глава IV. Дифракция волнS1S2*hd>*Lλ.h(4.23)Заметим, что неравенство (4.23) означаетпотерю когерентности волн, распространяющихсяLβот каждого из источников S1 и S2, в пределахвходного отверстия регистрирующего прибора,(см.(3.26)):lλ= rkhЕслибыd > rk .(4.24)выполнялосьнеравенство,⇒обратное (4.24), излучение от рассматриваемыхисточников было бы когерентным, а значит,Рис. 4.21неотличимым от излучения одного точечногоисточника.§ 5. Дифракция Фраунгофера от системы щелей.Дифракционная решеткаРассмотрим дифракционную картину от нескольких (N)параллельных щелей шириной b, расположенных на одинаковыхрасстояниях d друг от друга. Такую систему щелей называютдифракционной решёткой, расстояние d – периодом решётки (см.рис.4.22).

Пока будем считать, что падающий на решеткупараллельный пучок света перпендикулярен плоскости решетки.Для наблюдения дифракционной картины Фраунгофера зарешёткой поставим собирающую линзу. Все лучи, дифрагирующиепод определенным углом ϕ (угол ϕ, как и ранее, отсчитываем отнаправления падения падающего на решетку света) будутсфокусированы линзой в одной точке в фокальной плоскостилинзы – рис.4.22. Падающий на дифракционную решётку световойпоток будем считать когерентным.116Колебания и волны.

Волновая оптикаλFϕdsinϕOn′B1′n1Рис.4.22Наша задача – определить положения максимумов иминимумов дифракционной картины, найти интенсивность иугловую протяжённость максимумов.Дифракционнаякартинаврассматриваемомслучаекачественно иная, чем в случае одной щели – максимумов (и,соответственно, минимумов) больше, они ýже и имеют болеесложное распределение интенсивностей – см. рис.4.23.IР еш еткаО дна щ ель2И нтен сивн ость увели чен а в N = 25 разs in ϕ- 2 λ /b- λ /b- λ /d0λ /dλ /b2 λ /bР и с .4 .2 3 . Р е ш ё т к а с о д е р ж и т N = 5 щ е л е й ; d = 3 b .117Глава IV.

Дифракция волнПроще всего определить угловое положение так называемых“главных минимумов” – они будут там же, где расположеныминимумы в случае дифракции на одной щели:bsinϕ = ± m ′ λ,m ′ = 1, 2, …(4.25)Действительно, интенсивность светового потока, испускаемогокаждой щелью по этим направлениям (задаваемым углом ϕ)равна нулю, значит, будет наблюдаться минимум и от всейрешётки.Здесьпопричинам,которыестанутпонятныминесколько позже, для обозначения порядка дифракции вместо mиспользуется обозначение m ′. Обратим внимание, что в центредифракционнойкартины,какивслучаеоднойщели,наблюдается максимум интенсивности, поэтому m ′≠ 0.Чтобыопределитьдругиеособенностидифракционнойкартины, разобьём, как обычно, волновой фронт в каждой щели намного вторичных источников (i = 1, 2, …, n).

Для того чтобы найтиинтенсивностьколебанийвпроизвольнойточкеэкрана,необходимо провести сложение колебании в данной точке,возбуждённыхволнами,пришедшимиотвсехвторичныхисточников, расположенных во всех щелях.Сложим сначала колебания от вторичных источников каждойщели по отдельности и результат сложения изобразим в видеrrrвекторов E1 , E2 , …, E N .

В тех точках экрана, для которыхразностьходамеждулюбыми“эквивалентными”лучами,идущими от разных щелей (см. лучи 1 и 1′, n и n′ на рис.4.22),r rrкратна длине волны λ, изображаемые векторами E1 , E2 , …, E Nколебания происходят в одной фазе. На векторной диаграмме118Колебания и волны. Волновая оптикавсе эти векторы выстраиваются вдоль одной прямой, амплитударезультирующего колебания равна сумме длин этих векторов:rrrrE0 = NE1 = NE2 = …= NE N .Это – так называемые «главные максимумы». Их интенсивностьзначительно (∼ в N 2 раз) превышает интенсивность максимумовпри дифракции на одной щели. Запишем условие, определяющееугловое положение главных максимумов:d sinϕ = ± m λ,Число mm= 0, 1, 2, …(4.26)– порядок главного максимума.

Поскольку уголдифракции, очевидно, не может превышать 90°, число m неможет превышать d/λ.Наибольшаяинтенсивностьбудетнаблюдатьсядляцентрального максимума (m = 0), так как по мере удаления отr rцентра дифракционной картины амплитуды векторов E1 , E2 , …,rrEN будут уменьшаться (см.

рис.4.16,в – длина вектора Eϕуменьшаетсясростомϕ).Соответственно,интенсивность“боковых” максимумов будет тем меньше, чем дальше онирасположены от центра.Так как полная энергия света, проходящего через решетку,пропорциональна числу щелей N , а интенсивность главныхмаксимумов пропорциональна N 2 , ясно, что ширина главныхмаксимумов должна быть обратно пропорциональной числущелей (несколько позже это будет доказано более строго).Междулюбымирегистрируютсясоседнимиглавнымимаксимумамидополнительные максимумы и минимумы.Интенсивность дополнительных максимумов очень мала, однакоименно положение дополнительных минимумов, ближайших к119Глава IV. Дифракция волнглавномумаксимуму,определяетширинупоследних.Дополнительные минимумы возникают тогда, когда разность ходамежду“эквивалентными”лучами,идущимиот“первой”и“последней” щелей, кратна длине волны λ :Nd sinϕ = ± m 1 λ, m 1 = 1, 2, …, N-1, N+1, …*)(4.26)rrВ этих местах изображаемые векторами E1 и E N колебанияrпроисходят в одной фазе – на векторной диаграмме векторы E1 ,rrE2 , …, E N от всех щелей выстраиваются в замкнутую ломануюлинию(“почтиокружность”или“спираль”)–амплитударезультирующего колебания почти нулевая.В таблице 4.2 представлены векторные диаграммы длянесколькихдополнительныхминимумовимаксимумоввцентральной части дифракционной картины.Таблица 4.2.sinϕλ/2Ndλ/Nd3λ/2Nd2λ/Nd5λ/2Ndклассификацияплечо нулевогомаксимумапервый доп.минимумпервый доп.максимумвторой доп.минимумвторой доп.максимумбвгвекторныедиаграммыадОценить ширину главных максимумов проще всего напримере центрального (максимума “нулевого порядка”).

Егоширина ограничивается положениями первых дополнительныхминимумов (m1 = 1) – из соотношения (4.26) следует, что онапропорциональна 1/N :sinϕ 1 = ± λ/Nd,*)Там где m 1 = N, 2N, 3N, … наблюдаются главные максимумы!120(4.27)Колебания и волны. Волновая оптикаОбратим внимание, что между любыми двумя главнымимаксимумами расположено N – 1 дополнительных минимумов. Напредставленной на рис.4.23 дифракционной картине междусоседними главными максимумами располагаются по четыредополнительныхминимума.Этохарактернодлярешётки,состоящей из пяти одинаковых щелей.

Поскольку период решёткиd может быть кратен ширине щели b (в данном случае d = 3b) наместе некоторых главных максимумов наблюдаются минимумы:sinϕ = ± 3λ/d, ± 6λ/d, …Междудополнительнымидополнительныемаксимумы.минимумамиОбщеерасполагаютсяусловиенаблюденияm1′ = 1, 2, …, N-2, N+2, …(4.28)дополнительных максимумов:Nd sinϕ = ± ( m1′ +½) λ,Такимобразом,междусоседнимиглавнымимаксимумамирасполагается также N – 2 дополнительных максимумов. Длядифракционной решётки, состоящей из пяти щелей, числодополнительных максимумов между двумя главными равно трём– см. рис.4.23. Как мы уже отмечали, интенсивность дополнительных максимумов для дифракционной решётки с большимчислом щелей чрезвычайно мала, поэтому соотношение (4.28)представляет скорее “академический” интерес.В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний.1.

Почти вся энергия света, проходящего через решётку,сосредоточена в области центрального максимума дифракционной картины от одной щели – см. рис.4.23 (т.е. наиболее важнаячасть дифракционной картины ограничена углами ± arcsinλb).121Глава IV. Дифракция волн2. С увеличением числа щелей интенсивность главныхмаксимумов растёт пропорционально N 2 , ширина максимумовуменьшается обратно пропорционально N .3. Положение главных максимумов (кроме центрального)зависит от длины волны света λ, поэтому максимумы для разныхдлинволнбудутрасположенывразныхместахэкрана.Следовательно, дифракционная решётка является спектральнымаппаратом.4. Проведённое выше рассмотрение легко может бытьраспространено на случай наклонного падения лучей света нарешётку.

Из рис.4.24 видно, что в этом случае дифракционнаякартина будет приблизительно такой же,Iкак при нормальном падении на решёткуIIθθdcosϕс периодом d1 = d cosθ, где θ – уголпадения лучей света на дифракционнуюрешётку с периодом d. Дифракционные,картины от рёшеток I и II на рис.4.24будутРис. 4.24122практическиидентичнымивыполнении условия d >> λ.при.