§ 4 . Классификация дифракционных явлений (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Глава IV. Дифракция волнIm = I0⋅ [(m + ½)π]-2.(4.15)Отметим, что центральный максимум в два раза шире, чемвсеостальные,аегомаксимальнаяинтенсивностьприблизительно в 25 раз больше, чем двух соседних. Поэтомупочти вся энергия светового потока, проходящего через щель,сосредоточена в области центрального (“нулевого”) максимума.Взаключениеэтогопараграфаподчеркнёмдваобстоятельства:1) положения минимумов и максимумов (кроме центрального)зависят от длины волны, т.е. щель является простейшимспектральным аппаратом;2) для наблюдения дифракции Фраунгофера использованиелинзы необязательно, необходимо лишь, чтобы экран находилсядостаточно далеко от щели (более строгое количественноеопределение условий наблюдения дифракции Фраунгофераобсуждается в следующем параграфе).§4.

Классификация дифракционных явленийПрирассмотрениидифракциисветавпредыдущихпараграфах (1–3) мы использовали исторически сложившуюсятерминологию–«дифракцияФренеля»и«дифракцияФраунгофера». Чем качественно отличается дифракционнаякартина в этих случаях? При дифракции Френеля на отверстияхразличной формы в центре дифракционной картины можетнаблюдаться как максимум, так и минимум интерференции –светлая или тёмная область (точка, полоса) в окружениичередующихся тёмных и светлых областей с затухающимконтрастом. Такую картину можно наблюдать, если экран110Колебания и волны. Волновая оптикаустановлен не слишком далеко запрепятствием, в т.н.

“ближнейзоне”. На достаточно большомϕ′расстоянии, в т.н. “дальней зоне”,наблюдаетсяϕlдифракционная21картина Фраунгофера – в центревсегда максимум освещённости, вокружении чередующихся тёмных-b -b/2 0Iи светлых областей с быстроуменьшающейся интенсивностьюaещё0, 00бКак видим, пока (§1–3) мывсёXIмаксимумов. Остальные отличия –количественные.используемвесьмах0Xвнестрогие критерии разграниченияXIXРис. 4.19видов дифракции. Кроме того,совершенно не обсуждался пока вопрос о том, когда дифракционные явления приводят к существенным для практических задачотклонениямотгеометрическойоптики.Длятогочтобывыработать количественные критерии, вернёмся к задаче опадении плоской волны на длинную щель в бесконечно большойпреграде – см.

рис.4.19.Как мы помним, интенсивность в любой точке экрана(координата которой x0) определяется результатом сложенияволн от вторичных источников, расположенных в открытой частипрепятствия (узкие полоски, параллельные краям щели). Лучи открайних вторичных источников (первого и n-ого), обозначены на111Глава IV. Дифракция волнрисунке цифрами 1 и 2; углы дифракции этих лучей – ϕ и ϕ ′ .Сохраняя принятые ранее обозначения, запишем:tgϕ =x0;ltgϕ ′ =x0 + b.l(4.16)При «дифракции Фраунгофера» экран находится настолькодалеко за препятствием, что все волны, интерферирующие вточке экрана х0, распространяются от вторичных источников впочти параллельных направлениях, а это означает, что ϕ ≈ ϕ ′ .Это возможно при условии:x0 >> b.(4.17)Ближайшая к центру особенность дифракционной картины –первый минимум, координата которого x01.

Будем считать, что мыимеем дело с дифракцией Фраунгофера, если условию (4.17)подчиняются координаты всех точек дифракционной картины впределах центрального максимума, т.е. если x01 >> b. Посколькудля первого минимума bsinϕ 1 = λ ,sin ϕ1 =λb≈x01lλ, т.е. x01 ≈lb(4.18)и с учётом условия (4.18) x01 >> b получаем:b2<< 1 .lλЭтоиестьколичественный(4.19)критерийнаблюдениядифракции Фраунгофера. Заметим, что в этом случае для точек,расположенных вблизи центра дифракционной картины,оказывается открытой только небольшая часть первой зоныФренеля*) (разность хода между лучами 1 и 2 гораздо меньше*)Величина в левой части неравенства (4.18) как раз и определяет порядок числа открытых зонФренеля для рассматриваемой “геометрии” дифракционной задачи.112Колебания и волны.

Волновая оптикадлины волны). Это можно считать вторым, полуколичественнымспособом определения дифракции Фраунгофера.Если неравенство (4.19) не выполняется, интерферирующиелучи 1 и 2 нельзя считать параллельными, величина x01соизмерима с b, т.е. x01 ∼ b.Вместо неравенства (4.19) получаем условие наблюдениядифракции Френеля в виде:b2∼ 1.lλ(4.20)Это означает, что из центра дифракционной картины "видно",что щель оставляет открытыми лишь несколько (“порядкаодной”) зон Френеля.Наконец, явление дифракции проявляется слабо, когдакоордината первого дифракционного минимума находится вблизипроекции на экран края щели, т.е. x01 << b.

Отсюда, используясоотношение (4.20) получаем условие того, что можно сдостаточной степенью точности пользоваться представлениямигеометрической оптики:b2>> 1 .lλ(4.21)В этом случае открыто очень много зон Френеля.Качественный вид дифракционных картин для случаевдифракции Фраунгофера, Френеля и малой роли дифракции(геометрическаяоптика)показаннарис.4.19(а,б,в–соответственно).Несмотря на то, что в последнем из рассмотренных случаевдифракция относительно несущественна, полностью пренебрегать113Глава IV. Дифракция волнею нельзя – именно дифракционные эффекты ограничиваютразрешающую способность оптической аппаратуры.Действительно, предположим, что источник волн, который мыхотимзарегистрироватьспомощьюкакого-тооптическогоприбора (глаза или фотообъектива), находится достаточно далекоот нас (источник можно считать точечным).

Если бы законыгеометрической оптики выполнялись совершенно точно, тоотверстие объектива просто ограничивало бы размеры световогопучка; направление световых лучей не изменялось бы.Дляиллюстрации на рис.4.20 показаны крайние лучи этого пучка – 1 и2 (из-за того, что расстояние до источника волн много большеразмера отверстия объектива, лучи 1 и 2 почти параллельны).Послепрохожденияпараллельными,фокусируютсяотверстиязатемводнойвселучисобирающейточкепучкалинзойфокальнойостаютсяэтилучиплоскостиВ(чувствительный элемент оптической аппаратуры, например,фотоплёнка, находится в фокальной плоскости линзы; сама желинза может смещаться по вертикали как угодно и, в частности,располагаться непосредственно в отверстии). Таким образом, приидеальномгеометрической21выполненииоптикизаконовлинзаотобразила бы точечный источник волн вϕ1Fвиде точки на фотоплёнке.На самом деле всегда будет присутствовать некоторое “уширение” пучкаB1 r BРис.

4.20114за отверстием из-за дифракции. УгловоеотклонениекрайнихлучейпучкаКолебания и волны. Волновая оптикаопределяется положением первого дифракционного минимума. ВслучаедифракцииФраунгоферанакругломотверстиисдиаметром d угол, под которым наблюдается первый минимум,определяется условием d sinϕ 1 ≈ λ*). Т.е. крайние лучи пучкаволн в результате дифракции отклоняются на угол ϕ1:ϕ1 ≈λd.(4.22)Лучи, идущие под углом ϕ1 к направлению падающего пучка,сфокусируются на экране в точке B1 (рис.4.20) – т.е.

дифракцияприведёт к “расплыванию” изображения источника на экране. Врассматриваемом случае вместо точки на фотоплёнке будет пятнорадиусом r ≈ Fλ/d. Поэтому, чем меньше размер отверстия, тембольше полученное изображение будет отличаться от точечного.Из сказанного выше ясно, что дифракция будет ограничиватьвозможностипространственногоразрешениянаблюдаемыхобъектов оптической аппаратурой. Два отдельных точечныхобъектамогутбытьразрешеныоптическимприбором,находящимся на расстоянии L, только в том случае, когдаугловое расстояние β между ними больше, чем угловой размеризображения от одного точечного источника ϕ 1 (см.

рис.4.21), т.е.β > ϕ 1 . Если входное отверстие объектива прибора d, арасстояние между объектами h, то из оценочных соотношенийβ≈λh, ϕ 1 ≈ , получаем условие различимости удалённых объектов:dL*)Точный расчет дифракционной картины Фраунгофера для круглого отверстия приводит к условиюпервого минимума в виде: dsinϕ1 = 1,22λ. В дальнейшем коэффициентом 1,22 мы будемпренебрегать.115Глава IV. Дифракция волнS1*S2hd>*Lλ.h(4.23)Заметим, что неравенство (4.23) означаетпотерю когерентности волн, попадающих воLβвходное отверстие регистрирующего прибора отисточников S1 и S2 (см.(3.26)):lλ= rkhЕслибыd > rk .(4.24)выполнялосьнеравенство,⇒обратное (4.24), излучение от рассматриваемыхисточников было бы когерентным, а значит,Рис. 4.21неотличимым от излучения одного точечногоисточника.116.