§ 3 . Дифракция Фраунгофера на щели (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Глава IV. Дифракция волнколебаний соединяет точки М 2′ и М2**)(рис.4.13), длина этоговектора минимальна и меньше, чем в отсутствии преграды.Дальнейшееприближениеэкранаведёткзатухающимосцилляциям освещённости в центре дифракционной картины.Очевидно, что качественно все происходит так же, как и придифракции Френеля на круглом отверстии (см.

§1), только теперьсимметрия дифракционной картины иная.Характер пространственного распределения интенсивностипо всему экрану (справа и слева от центральной полоски)качественно такой же, как и от круглого отверстия. На экраненаблюдается система светлых и темных областей, симметриякоторыхсоответствуетсимметриипрепятствия.Вслучаедифракции на щели дифракционная картина представляет собойсемейство светлых и темных полос, параллельных щели.

Точныеположениямаксимумовиминимумовинтерференциипридифракции света на щели зависят от длины световой волны,шириныщелиирасстоянияотщелидоэкрана.Соответствующие соотношения для одного наиболее важногочастногослучаядифракциинащелибудутполученывследующем параграфе.§ 3. Дифракция Фраунгофера на щелиТермин «дифракция Фраунгофера» принято использовать,когдаисточниксветаиэкран,накоторомнаблюдаетсядифракционная картина, находятся на большом расстоянии отпрепятствия.Вэтомслучаенапрепятствиепадаютпараллельные лучи света, а освещённость в каждой точке**)При этом щель “вмещает” приблизительно по две “правых” и две “левых” зоны Френеля–Шустера,104b ≈ 2h2 = 2 2lλ ; расстояние до экрана l = b2/8λ.Колебания и волны. Волновая оптикадифракционнойкартиныестьрезультатсложенияволн,распространяющихся в одном направлении. В этом смыслеговорят, что дифракция наблюдается “в параллельных лучах”.

НапрактикедлянаблюдениядифракцииФраунгоферапрепятствием обычно ставят собирающую линзу, азаэкранрасполагают в её фокальной плоскости – см. рис. 4.15.Рассмотримсначаладифракцию Фраунгоферана щели шириной b, накоторую перпендикулярнокнейпадаетϕλOплоскаяволна, длина которой λ. Изсоображенийочевидно,чтоЭFbsinϕB•B1симметрииинтерфе-ренционная картина придифракции монохромати-Рис. 4.15ческого света на щели будет представлять собой семействотёмных и светлых полос, параллельных щели. Для того чтобыопределить точный вид дифракционной картины, воспользуемсяметодомвекторныхдиаграмм.Разобьёмволновойфронт,совпадающий с плоскостью щели, на много (n) одинаковых узкихполосок, параллельных краям щели.

В соответствии с принципомГюйгенса-Френеля, каждая такая полоска может рассматриватьсякак самостоятельный источник “вторичных” волн (в данномслучае вторичные волны не сферические, как для точечныхисточников, а цилиндрические).Рассмотрим семейство лучей, соответствующих волнам,распространяющимся от всех вторичных источников в одномнаправлении, составляющем угол ϕ с нормалью к плоскости щели105Глава IV. Дифракция волн(и с направлением падающего на щель света).

Поскольку всеполоски, на которые разбит волновой фронт в области щели,имеют одинаковую площадь, интенсивность вторичных волн,испускаемых каждой полоской, одинакова. В центральную точкуэкрана В (ϕ = 0) все n волн приходят, пройдя одинаковый путь,поэтомуихамплитудыивточкеВодинаковы.векторовамплитудrнапряженности электрического поля Еi от каждой полоски вrцентре экрана и все векторы Еi “выстраиваются” вдоль однойСоответственно,прямой–одинаковафазырис.4.16,а.длинаРезультирующееколебаниеn rrамплитуду, равную длине суммарного вектора E0 = ∑ Еi .имеетi =1Будем постепенно удаляться от центра дифракционнойкартины, т.е. рассматривать лучи, распространяющиеся отвторичных источников под всё большими углами дифракции ϕ.Теперь между колебаниями, приходящими от разных вторичныхисточников (полосок) в данную точку экрана, будет “набегать”определённая разность фаз.

В частности, на рис.4.16,б показанавекторная диаграмма для достаточно малого угла дифракции ϕ,когда разность фаз колебаний от первой и последней полосокrr(угол между первым и последним векторами – Е1 и Еn ) равнаприблизительно π/4. Длина результирующего вектора при этомменьше величины Е0, задающей длину дуги. Рис.4.16,в помогаетпонять,какимобразомможнорезультирующего вектора колебанийrЕϕопределитьдлинуи, следовательно,освещённость, при произвольном значении угла дифракции ϕ впределах центрального максимума (чуть позже мы определим егоrграницы). Длину вектора Еϕ можно найти, например, по теореме106Колебания и волны. Волновая оптикаrЕ0аrЕiвдлина дугиE0rЕϕ∆αnбrЕ1∆αnrЕn∆αn = π/4Рис.4.16косинусов из треугольника, показанного на рисунке.

Две другиестороны этого треугольника (радиусы окружности) легко выразитьчерез Е0 и угол ∆αn. В свою очередь ∆αn – это фазовоезапаздываниеколебаний,приходящихотn–гоисточникаотносительно первого. На рис.4.15 показана разность хода междуволнами, испускаемыми“крайними” вторичными источниками∆ = bsinϕ. При этом нужно иметь в виду важное свойство линзы,называемое таутохронизмом – линза не вносит дополнительнойразности хода между отдельными лучами проходящего сквозьнеё параллельного пучка света.

Значит, искомый сдвиг фазмежду крайними лучами, идущими от щели под углом ϕ кнормали, равен∆α n = 2πb sin ϕλ.Например, при выполнении условия bsinϕ = λ/2 разность фазrrмежду колебаниями Е1 и Еn равна π – на векторной диаграммедуга имеет вид полуокружности. Амплитуда результирующегоrвектора Е (π ) при этом вычисляется особенно простоЕ (π ) =2 Е0π≈ 0,64 Е0 .107Глава IV. Дифракция волнИнтенсивность света пропорциональна квадрату амплитудыπнапряжённости, поэтому I( ) ≈ 0,4 IВ, т.е. освещённость в данномслучае(на“плече”центральногомаксимума)составляетпримерно 40% от освещённости в самом центре дифракционнойкартины.Придальнейшемувеличенииугладифракцииϕинтенсивность монотонно уменьшается, пока нестановится минимальной при выполнении условияrbsinϕ = λ.

Разность фаз между колебаниями Е1 иrЕn достигает при этом 2π – векторная диаграммапервый минимумsinϕ = λ/bРис.4.17имеет вид, представленный на рис. 4.17.При ещё больших углах дифракции наблюдается чередованиевсё более слабых максимумов и минимумов освещённости –векторная диаграмма будет “свиваться” в спираль, длинарезультирующего вектора то возрастает до размеров диагонали,то убывает почти до нуля – см. табл.4.1.Таблица 4.1.bsinϕ0классификациянулевоймаксимумвекторныедиаграммыАмплитудаИнтенс.rЕ0E0I0 ∼ Е02±λ/2±λплечо нул.

первыймаксимум минимум±2λ±5λ/2первыймаксимумвторойминимумвтороймаксимумrЕ1rЕ0′2E00≈ 0,4 I00Е 0′ =±3λ/2π2 E03π00,045 I00Е0′ =Е 0′ =2 E05π0,016 I0Над каждой векторной диаграммой приведена величинаразности хода для крайних лучей; под каждой диаграммой –длина результирующего вектора и интенсивность света. Надопомнить, что неизменной остаётся полная длина спирали – Е0,следовательно постепенно уменьшается её “диаметр”.108Колебания и волны. Волновая оптикаIs in ϕРис.4.18- 2 λ /b - λ /bСоответствующая0зависимостьλ /b2 λ /bизмененияосвещённостиэкрана от синуса угла дифракции представлена на рис. 4.18.Точное аналитическое описание зависимости интенсивности отугла дифракции мы приводим в разделе «Дополнительныеглавы» – см.

соотношение (6.9,а).Минимумыосвещённостинаэкраненаблюдаютсяпривыполнении условия:bsinϕ = ± mλ,m = 1, 2, …(4.13)Как мы увидим в дальнейшем, угловое положение первогодифракционного минимума sinϕ 1 = λ/b является наиболеехарактерным параметром дифракционной картины от щели.Именно этот параметр определяет протяжённость центральной,наиболее освещённой, области экрана.Запишемусловиянаблюдениявсехмаксимумовm = 1, 2, …(4.14)дифракционной картины от щели:bsinϕ = 0, ± (m + ½)λ,Число m в условиях (4.13) и (4.14) называется порядкомсоответствующего минимума или максимума в дифракционнойкартине. Используя метод векторных диаграмм, можно показать,что интенсивность “боковых” максимумов Im связана с интенсивностью в центре дифракционной картины I0 (ϕ=0) соотношением:109Глава IV. Дифракция волнIm = I0⋅ [(m + ½)π]-2.(4.15)Отметим, что центральный максимум в два раза шире, чемвсеостальные,аегомаксимальнаяинтенсивностьприблизительно в 25 раз больше, чем двух соседних.

Поэтомупочти вся энергия светового потока, проходящего через щель,сосредоточена в области центрального (“нулевого”) максимума.Взаключениеэтогопараграфаподчеркнёмдваобстоятельства:1) положения минимумов и максимумов (кроме центрального)зависят от длины волны, т.е. щель является простейшимспектральным аппаратом;2) для наблюдения дифракции Фраунгофера использованиелинзы необязательно, необходимо лишь, чтобы экран находилсядостаточно далеко от щели (более строгое количественноеопределение условий наблюдения дифракции Фраунгофераобсуждается в следующем параграфе).110.