§ 4 . Стоячие волны (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Глава III. Интерференция волн§ 4. Стоячие волныВозникновение стоячих волн – простейший случай интерференции. Пусть по оси Х распространяется плоская гармоническаяволна, частота которой ω, а волновое число k:ξ1(x,t) = A0⋅cos(ω t – kx),(3.28)На пути этой волны расположена непоглощающая, идеальноотражающая преграда (координата преграды х = 0). Уравнениеотражённой от преграды плоской волны аналогично (3.28), толькознакпередхнеобходимоизменить–направлениераспространения отраженной волны противоположное; крометого, нужно учесть возможное изменение фазы при отражении:ξ2(x,t) = A0⋅cos(ω t + kx + ϕ 0 ),(3.29)В результате сложения прямой и отраженной волн (этиволны когерентны) возникает так называемая «стоячая волна»ξ = ξ1 + ξ 2 = A cos  ω t −ϕ0 .2 (3.30)В соотношении (3.30) амплитуда колебанийϕ A = 2 A0 cos  kx + 0  ,2 (3.31)оказывается зависящей от координаты x: в точках, называемыхϕ «пучностями», где cos  kx + 0  = ±1, амплитуда максимальна (А = 2А0);2 ϕ в «узлах» cos  kx + 0  = 0 и амплитуда колебаний равна нулю.2 А = 2А0 (пучности), kx +А = 0 (узлы),76kx +ϕ0ϕ02= mπ , m = 0, 1, 2, ...1=  m + π , m = 0, 1, 2, ...2 2(3.32)(3.33)Колебания и волны.

Волновая оптикаНа границе раздела двух сред (х = 0) число m принимаетминимальное значение (m = 0), по мере удаления от неё трастёт. Найдём изменение фазы волны при отражении, пока неконкретизируя вид волн (упругие или электромагнитные).а) Пусть на границе раздела наблюдается пучность – см.рис.3.9,а. Подставляя х = 0 и m = 0 в (3.32), получимϕ 0 = 0.(3.34)В этом случае отражение волн происходит без изменения фазы.б) Если на границе раздела двух сред A = 0 (узел), то сучетом х = 0 и m = 0 из (3.33) получаем:ϕ0 = π.(3.35)Итак, если на границеобразуетсяузел3.9,б), то при отражениифаза волны изменяетсянаπ (в этом случаепринято говорить, что приотраженииξ(рис.0аξб0теряетсяXполволны).Дляупругихволнузел на границе раздела0Рис.

3.9двух сред возникает, если отражение происходит от болееплотной среды (пример – веревка, привязанная к стене; приобразовании на ней стоячей волны у стены всегда наблюдаетсяузел). В более плотной среде смещения колеблющихся частицменьше, чем в менее плотной.Для электромагнитных волн необходимо учесть их спецификуr rr– векторы E , B и V жёстко связаны между собой (векторное77Глава III. Интерференция волн[]r rпроизведение E , B всегда направлено по направлению распространения волны).

Поэтому при отражении электромагнитнойволныrErVrBrErBrVтолько один изrrвекторов ( E, или B ) долженrVизменить направление – см.rBrEРис.3.10рис.3.10.Соответственно,еслидляоднойсоставляющей электромагrнитной волны (например, E ) на границе будет узел, то для другойr(в данном случае B ) – пучность (см. рис.3.10). Если, наоборот, наrЕX0rВРис.3.11rгранице разделе двух сред наблюдается узел B , то обязательноrтам же должна быть пучность E – рис.3.11.Вдальнейшемнасвосновномбудетинтересоватьповедение электрического поля в электромагнитной волне,поскольку именно с электрическим полем связано воздействиеэлектромагнитных волн на атомы и молекулы окружающей среды(регистрацияэлектромагнитныхволнтакжебазируетсянаэлектрополевых эффектах).

Параметром среды, определяющимдействие на неё электрического поля, является диэлектрическаяпроницаемость ε. Аналогом более плотной среды в случае78Колебания и волны. Волновая оптикаэлектромагнитных волн следует считать среду с большойвеличиной диэлектрической проницаемости, так как в такой среденапряжённость электрического поля меньше (сравните смещениячастиц для упругой волны). В применении к световым волнамсреду с большими значениями ε и n называют оптически болееплотной.Итак, если электромагнитная волна распространяется всреде 1 и отражается от среды 2, то на границе разделапроисходит потеря половины волны в том случае, когдасправедливы неравенства:ε2 > ε1,v 2 < v1 ,λ2 < λ 1.(3.36)В этой ситуации на границе раздела двух сред наблюдается узелдля электрического поля и пучность – для магнитного – см.

рис.3.12. Обратим внимание, что в стоячей электромагнитной волнеобласти максимумов энергии электрического и магнитного полейпространственно разнесены (в отличие от бегущей волны).Заметим, что такое же соответствие наблюдается и в случаеупругих волн: для бегущей волны максимумы потенциальной икинетической энергии совпадают; в стоячей упругой волнемаксимумы кинетической энергии приходятся на пучности, апотенциальной – на узлы.rЕX0Рис.3.12rВ79.