§ 2 . Интерференция волн от двух точечных источников (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаинтерференционного слагаемого (3.7), окажется равной нулю. Вэтом случае при сложении колебаний от двух источниковрезультирующаяинтенсивностьоказываетсяравнойпростосумме интенсивностей этих колебаний:I = I1 + I2.(3.8)Если же за время измерений изменение разности фаз будетменьше π, интенсивность волны в данной точке пространства может оказаться как больше, так и меньше суммы I1 и I2 (в зависимости от знака интерференционной добавки). При этом,очевидно,происходитпространстве(вперераспределениенекоторыхобластяхэнергиибудутволнвмаксимумыинтенсивности, в других – минимумы). Складывающиеся друг сдругом волны называются в этом случае когерентными, анаблюдаемое явление – «интерференцией волн».

Таким образом,интерференция – это сложение когерентных волн, сопровождающеесяперераспределением энергии волн в пространстве.§ 2. Интерференция волн от двух точечных источниковРассмотрим интерференцию волн в простейшем случае –будем предполагать, что гармонические волны испускают дваточечныхисточника,характеризующиесяодинаковымивеличинами частоты, начальной фазы и амплитуды. Поскольку вэтомслучаевлюбойточкепространстваразностьфазколебаний, возбуждаемых этими волнами, будет сохранятьсяпостоянной, колебания будут когерентными и, следовательно,будет наблюдаться интерференция волн.63Глава III. Интерференция волнОпределимвидинтерференционнойкартины в пространстве – см.

рис.3.2. Есливолны••r2распространяютсяводнороднойсреде, то величина ∆ϕ в любой точкеr1пространстваразностью0полностьюпутейr2иопределяетсяr1,пройденныхволнами от двух источников до даннойРис.3.2точки.Совершенноясно,чтогеомет-рическое место точек на плоскости, длякоторых одинакова разность фаз колебаний, приходящих от двухисточников–гипербола.Такимобразом,максимумыинтенсивности на рис.3.2 будут располагаться на гиперболах, вфокусах которых находятся источники. Между максимумамибудутнаходитьсяминимумыинтенсивности–такжегиперболические кривые (показаны на рисунке пунктирнымилиниями).Положениямаксимумовиминимумовинтерференционной картины в пространстве легко получитьвращениемрис.3.2относительнооси,проходящейчерезисточники – это семейство гиперболоидов вращения.

На плоскомэкране,показанноминтерференционнаянарис.3.2картина,внизу,будетнаблюдатьсяпредставляющаясобойпоследовательность светлых и темных гипербол – кривых, покоторым гиперболоиды вращения пересекаются с экраном.Рассмотрим подробнее результат сложения когерентныхволн от двух точечных источников на примере классическогоопыта Юнга, впервые наблюдавшего интерференцию света вначале XIX века.ВопытеЮнгамеждуточечныммонохроматическимисточником света S и экраном Э, на котором наблюдаетсяинтерференция, располагается преграда с двумя маленькими64Колебания и волны. Волновая оптика∗Sотверстиями (или узкими щелями),которыеиграютрольдвухвторичных когерентных источниковS2 d S1S1 и S2 (см.

рис. 3.3).Чтобыполучить∆rструктуруинтерференционной картины (т.е.r2зависимость освещенности экрана–рассмотримточки0нарезультатрис.3.3,сложенияволн от вторичных источников S1 иS2:E1 = E01⋅cos(ωt – kr1)источниковдо0и E2 =центральнойXЭxРис. 3.3= E02⋅cos(ωt – kr2). Так как расстоянияотr1lот координаты х) вблизи центраэкранаrчастиэкранапрактическиодинаковы, будем считать амплитуды этих волн одинаковыми:E01 = E02 = E0; I1 = I2 = I0. Тогда соотношение (3.6) упрощается:I = 2I0 + 2I0cos∆ϕ,(3.9)В максимумах интерференционной картины ∆ϕ = ±2π mиинтенсивность I = 4I0; в минимумах ∆ϕ = ± (2m +1)π, I = 0; (m = 0, 1, 2,… – любое целое положительное число).Если оба источника и экран находятся в однородной среде,то разности фаз, кратной 2π, соответствует разность хода волн отдвух источников∆r = r2 – r1 = ±mλ,(3.10)где λ – длина волны в данной среде.В тех точках экрана, где выполняется условие (3.10), будутнаблюдаться максимумы интерференционной картины.65Глава III.

Интерференция волнСоответственно, условие минимумов для однородной средытаково:∆r = r2 – r1 = ±(m + ½)λ,(3.11)Целое число m = 0, 1, 2, … в соотношениях (3.9)–(З.11),позволяющее выразить разность хода двух волн через длинуволны, называется порядком интерференции.В том случае, когда два источника расположены близко другот друга, но далеко от экрана, для центральной области экранавыполняются неравенства l ≈ r ≈ r1 ≈ r2 >> d, х; ∆r << d (см.рис.3.3).

При этом из подобия двух треугольников имеем∆r х хи, следовательно, максимумы и минимумы= ≅r ldинтерференционной картины вблизи центра экрана будутрасположены по оси Х в точкахмаксимумы: хmax ≅ ± mλминимумы:l;dхmin ≅ ± (m + 1 2 )λm = 0, 1, 2, …l;dm = 0, 1, 2, …(3.12)(3.13)Соотношения (3.12) и (3.13) замечательны тем, что позволяют,пользуясь результатами простого эксперимента, точно измеритьдлину световой волны (что и было сделано Юнгом).Подчеркнём, что условия (3.10)–(3.11) в однородной средесправедливывсегда, для когерентных волн любого типа (какэлектромагнитных, так и упругих); условия же (3.12)–(3.13)выполняются только вблизи центра экрана, удаленного от двухисточников.Иногда приходится рассматривать ситуации, в которых волныот двух источников распространяются в разных средах.

Есличастоты, на которых излучают источники 1 и 2, одинаковы, то вразных средах будут отличаться скорости распространения идлины волн, а значит, и волновые числа k.66Колебания и волны. Волновая оптикаПолагая, что волна от первого источника распространяется всреде 1, а от второго – в среде 2 (длины волн λ1 и λ2, соответственно) и, считая начальные фазы излучения для обоихисточников одинаковыми, получим:∆ϕ = k2r2 – k1r1 = 2π (r2 λ2 − r1 λ1 ) ,(3.14)Из (3.14) следует, что при распространении волн в различныхсредах нужно сравнивать не геометрические пути, пройденныекаждой волной от источника до рассматриваемой точки, арасстояния, измеренные в количестве длин волн.В оптике соотношение (3.14) принято использовать внесколько иной форме, вводя показатели преломления∆ϕ =2πλ0(n2r2 – n1r1) =2π ∆ оλ0,(3.15)где λ0 – длина волны в вакууме.

Величина, заключённая в скобки,называется оптической разностью хода двух лучей:∆о = n2r2 – n1r1.Произведениеn1r1(3.16)называютоптическимпутемлуча1,соответственно, n2r2 – оптический путь луча 2. Эти выражениялегко обобщаются на случай, когда каждый луч проходит черезнесколько разных сред:∆ о = ∑ n2i r2i − ∑ n1 j r1 j .i(3.17)jСуммирование здесь проводится по всем средам, по которымраспространяются лучи 1 и 2.Очевидно, что условие максимумов интерференционнойкартины двух световых волн∆о = ± mλ0,m = 0, 1, 2, …(3.18)Соответственно, минимумы должны наблюдаться в тех точкахпространства, где∆о = ± (m + ½)λ0,m = 0, 1, 2, …(3.19)67.