§ 1 . Наложение волн (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаГЛАВА III. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН§1. Наложение волнПусть в данную точку пространства приходят две волны(упругие или электромагнитные). Пока будем рассматриватьслучай, когда обе волны вызывают в этой точке колебания,направленные по одной оси (смещения частиц в упругих волнах,rили колебания вектора напряжённости Е в электромагнитныхволнах).Будем предполагать, что выполняется принцип суперпозиции(принцип наложения волн), т.е. допустим, что результирующийэффект от наложения двух волн есть просто сумма эффектов,вызываемых каждой волной (иначе говоря, предположим, чтоотсутствует влияние волн друг на друга). В этом случае,предполагая для простоты, что в рассматриваемую точкуприходятдвемонохроматическиегармоническиеволнысчастотами ω1 и ω 2 , результирующее колебание можно найтисложением двух колебаний:ξ = ξ1 + ξ2,где(3.1)ξ1(t) = A1cos(ω1t + ϕ 0 1); ξ2(t) = A2cos(ω2t + ϕ 0 2),(3.2)Здесь A1, A2 и ϕ01, ϕ02 – амплитуды иξначальные фазы соответствующихколебаний.Сложениепровестиколебанийметодомудобновекторныхдиаграмм (см.

стр.29). Сопоставимгармоническимколебаниям(3.2)ξ2А20π –∆ϕАϕ2ϕ1А1ξ1Рис.3.161Глава III. Интерференция волндва вектора, вращающиеся против часовой стрелки с угловымискоростями ω1 и ω 2 – см. рис.3.1. На рисунке приведена“мгновенная фотография” векторов в произвольный моментвремени t. Углы ϕ 1 , ϕ 2 равны фазам колебаний в этот момент:ϕ 1 = ω 1 t + ϕ 01,ϕ 2 (t) = ω 2 t + ϕ 02.(3.2)Обозначая ∆ϕ = ϕ 2 – ϕ 1 и используя теорему косинусов,получаем выражение для квадрата амплитуды результирующегоколебания:A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ .(3.2)Нас в первую очередь интересует интенсивность волны врассматриваемой точке пространства, которая, как было показаноранее (см.

(2.27), (2.66)), пропорциональна средней по временивеличине квадрата амплитуды колебаний1τA 2 = ∫ A 2 dt = A 12 + A22 + 2 A 1 A 2 cos ∆ϕ .τОтсюда(3.5)0следует,чтоинтенсивностьрезультирующегоколебания равнаI = I1 + I2 + ∆I,(3.6)где третье слагаемое называется “интерференционным”.∆I = 2 I1 I 2 ⋅ cos ∆ϕ .(3.7)Пусть в точке, которую мы рассматриваем, находится какойлибо аппарат, регистрирующий воздействие пришедших волн (длясветовых волн – фотоплёнка, глаз; для звуковых – микрофон,ухо).

Необходимо учитывать, что любой аппарат осуществляетизмерение интенсивности колебаний в течение некоторогоконечного интервала времени τ. Если за это время разность фаз∆ϕ будет беспорядочно изменяться, то средняя величина62Колебания и волны. Волновая оптикаинтерференционного слагаемого (3.7), окажется равной нулю. Вэтом случае при сложении колебаний от двух источниковрезультирующаяинтенсивностьоказываетсяравнойпростосумме интенсивностей этих колебаний:I = I1 + I2.(3.8)Если же за время измерений изменение разности фаз будетменьше π, интенсивность волны в данной точке пространстваможет оказаться как больше, так и меньше суммы I1 и I2 (взависимости от знака интерференционного слагаемого). Приэтом, очевидно, происходит перераспределение энергии волн впространстве(внекоторыхобластяхбудутмаксимумыинтенсивности, в других – минимумы). Складывающиеся друг сдругом волны называются в этом случае когерентными, анаблюдаемое явление интерференцией волн.

Таким образом,интерференция – это сложение когерентных волн, сопровождающеесяперераспределением энергии в пространстве.63.