§ 5 . Электромагнитные волны в однородной непроводящей среде (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаε, и магнитной проницаемостью µ :v=Здесь с =1ε0µ 01c= .εε 0 µ µ 0 n(2.44)= 3 ⋅ 108 м / с – фазовая скорость электромагнитнойволны в двухпроводной линии, помещённой в вакуум; n = εµ –параметр, зависящий от свойств среды.Так как величина заряда на верхней и нижней шинах в какомлибо месте двухпроводной линии q(x) пропорциональна напряжённости электрического поля в этом месте E(x), дифференциальное уравнение (2.38) можно записать следующим образом:2∂2E2 ∂ E=v ⋅ 2 .∂t 2∂x(2.45)Подчеркнём, что в распространяющейся по оси X электро-rмагнитной волне вектор E направлен вдоль оси Y, а векторrмагнитной индукции B – вдоль оси Z, т. е.

электромагнитнаяволна – поперечная.§ 5. Электромагнитные волныв однородной непроводящей средеДлявыводауравненияэлектромагнитнойволныводнородной непроводящей среде воспользуемся уравнениямиМаксвелла в интегральной форме. При выводе дифференциального уравнения волны нам понадобятся только два из них –обобщенные выражения закона электромагнитной индукции итеоремы о циркуляции (с учётом того, что ток проводимостиотсутствует):53Глава II. Волны−) ()r r∂ r r,BdS=E∫∫ , dl ,∂t ΣC(εε 0 µµ 0(2.46)) ()r r∂ r rE,dS=B∫∫С , dl .∂t Σ((2.47)Правые интегралы в (2.46) и (2.47) берутся по замкнутомуrконтуру С ( dl – элемент такого контура), левые – поповерхностям Σ, ограниченным соответствующими контурами.Необходимо помнить, что направление обхода по контуру инаправление нормали к поверхности связаны между собойправилом буравчика.Будем предполагать, что напряжённость электрического поляи индукция магнитного поля – функции только координаты х, – см.рис.2.8. Это означает, что рассматриваемая нами электромагнитная волна (если, конечно, мы докажем её существование)– плоская.Выберем прямоугольный контур в плоскости ХY и будемосуществлять обход по пути 1-2-3-4, предполагая величины dх иdy малыми.

Учтём, что на участке 1-2 перемещение происходитпо оси Y, поэтому(∫ Er , dl ) = E ( x + dx)dy ; на участке 3-4 перемещениеr2y1происходит против оси Y, поэтомуYy+dy32(∫ E,r dl ) = − E ( x)dy ;4ryz+dzZ14yz8x7Рис. 2.854x+dx56участки 2-3 и3X4-1 абсолютно одинаковы, нопроходятся в разные стороны,3 r1 rrrследовательно ∫ E , dl = − ∫ E , dl .(2)(4)Колебания и волны. Волновая оптикаВ итоге имеем:r∂E∫ (E , dl ) = [E ( x + dx ) − E ( x )]dy = ∂ x dxdy .ryyy(2.48)СЛевая часть соотношения (2.46) легко вычисляется, еслиrиметь в виду, что поверхность Σ мала, так что величина B вразных местах этой поверхности практически одинакова, анормаль к этой поверхности направлена по оси Z:r rB∫ , dS = Bz dxdy .()(2.49)ΣПодставив (2.48) и (2.49) в соотношение (2.46), получаем:∂E y∂x=−∂B z.∂t(2.50)Аналогичным образом выберем прямоугольный контур вплоскости XZ и осуществим обход по пути 5-6-7-8.

Правая частьуравнения (2.47) вычисляется точно так же, как и правая часть (2.46):r r∂Bz[]B,dl=B(x+dx)−B(x)dz=dxdz.(2.51)zz∫∂xC()При вычислении левой части нужно учитывать, что направлениенормали к контуру 5-6-7-8 противоположно оси Y:r rE∫ , dS = − E y dxdz.()(2.52)ΣПодстановка (2.51) и (2.52) в (2.47) приводит к уравнению∂E∂B z= −εε 0 µµ 0 y .∂x∂t(2.53)Дифференцируя (2.50) и (2.53) по координате x и, изменяяпорядок дифференцирования в правых частях (2.50) и (2.53),получаем55Глава II. Волны∂2Ey∂ ∂B z,∂ t ∂x(2.50,a)∂ 2 Bz∂  ∂E y =−εεµµ.00∂x2∂t  ∂ x (2.53,a)∂x2=−Наконец, подставляем в правую часть (2.50,а) равенство(2.53), а в правую часть (2.53,а) – соотношение (2.50); в итогеимеем два дифференциальных уравнения электромагнитнойволны:∂2Ey∂2Ey2=v,∂x2∂t 2(2.54)2∂ 2 Bz2 ∂ Bz=v.∂t 2∂x2(2.55)Естественно, что эти уравнения абсолютно одинаковы –измененияэлектрическогоэлектромагнитнойволнеистрогомагнитноговзаимосвязаны.полейвФазоваяскорость электромагнитной волны получилась такой же, как и вдвухпроводной линии – см.

формулу (2.44). Следовательно,двухпроводнаялинияпростонаправляетэлектромагнитнуюволну в нужную сторону, присутствие линии не являетсянеобходимым условием существования волны.Из уравнений (2.54)–(2.55) следует, что электромагнитнаяволна, в отличие от упругой, может распространяться в вакууме сфазовой скоростью с =1ε 0 µ0≈ 3 ⋅ 108 м / с. Получив это число изсвоих уравнений, Максвелл сделал фундаментальный вывод –свет представляет собой электромагнитную волну (к томувремени скорость света была уже измерена экспериментально с56Колебания и волны. Волновая оптикадостаточнобольшойточностью,хотяприродасветаокончательно не была установлена).

Для световой волныn = εµпараметрскоростьсветавназываетсясредеспоказателемпоказателемпреломления;преломленияnопределяется соотношением v = c/п.Изуравненийпринципиальный(2.54)вывод–и(2.55)следуетэлектромагнитнаяещёволнаодинвсегдаявляется поперечной. Действительно, задавшись только однимограничением – предполагая, что волна плоская, мы в итогеавтоматически получили, что в уравнениях (2.54) и (2.55)присутствуют только компоненты напряжённости электрическогополя и индукции магнитного поля, направленные по осям Y и Zсоответственно.Поэтому в дальнейшем мы не будем использовать индексы“y”, “z” при обозначении напряжённости электрического поля Е ииндукции магнитного поля В.Анализ полученных нами уравнений позволяет получитьдополнительные сведения о взаимосвязи между амплитудами иrфазами колебаний векторов Erи B . Пусть напряжённостьэлектрического поля в плоской волне изменяется по закону:E(x,t) = E0 cos(ω t – kx ),(2.56)Предполагая возможность сдвига по фазе между колебаниямиrrвекторов E и B , запишем:B(x,t) = B0 cos(ω t – kx +ϕ),(2.57)Далее подставляем (2.56) и (2.57) в уравнения (2.50) и (2.53):kE0sin(ω t – kx) = ωB0 cos(ω t – kx +ϕ),(2.58)57Глава II.

ВолныkB0sin(ω t – kx + ϕ) = ωE0 εε0µµ 0 sin(ω t – kx).(2.59)Совершенно очевидно, что равенства (2.58) и (2.59) могутвыполняться,толькоеслиравныамплитудыифазыгармонических функций в левых и правых частях этих равенств.rrОтсюда получаем, что фазы колебаний векторов E и Bодинаковы (ϕ = 0); перемножив перекрёстно амплитуды (2.58) и(2.59) и приравняв результаты перемножения, имеем:εε 0 E =20B02µµ 0(2.60).rrПоскольку фазы колебаний векторов E и B совпадают,соотношение (2.60) выполняется для величин напряжённостиэлектрического поля и индукции магнитного поля в произвольныемоменты времени (не только для амплитудных значений):εε 0 E =2B2µµ 0, B=E.v(2.61)На рис.2.9 показана “мгновенная фотография” плоскойэлектромагнитной волны, распространяющейся по оси X.

Стечением времени волна движется по оси со скоростью v = c/п.rrОбратим внимание, что тройка векторов E , B иY rЕoZXrВРис.2.958rvКолебания и волны. Волновая оптикаориентированасовершенноопределеннымобразом–направление скорости волны всегда совпадает с направлениемвекторного произведенияr r[ E , B] . Максимумы напряжённостиэлектрического поля в электромагнитной волне совпадают смаксимумами индукции магнитного поля – рис.2.9.§6. Энергия электромагнитной волныЭнергия электромагнитной волны складывается из энергииэлектрического поля и энергии магнитного поля. Ранее былиполучены выражения для плотности энергии электрического W0Eи магнитного W0B полей:W0 E =W0 B =εε 0 E 22B22 µµ 0,(2.62).(2.63)Сравнивая (2.62) и (2.63) с (2.61), приходим к выводу, что вэлектромагнитной волне энергия распределяется поровну междуэлектрическим и магнитным полем (точно так же, как в упругойволне энергия распределяется поровну между кинетической ипотенциальной – см.

(2.24)).Из соотношений (2.62) и (2.63) следует, что плотностьэнергии (энергия, приходящаяся на единицу объёма среды, вкоторой распространяется электромагнитная волна), равна:W0 = W0 E + W0 B = εε 0 E =2B2µµ 0=EB.µµ 0v(2.64)Для характеристики переноса энергии электромагнитнойволной вводятся плотность потока энергии (S), интенсивность (I),59.