§ 4 . Электромагнитные волны в системе связанных контуров и в двухпроводной линии (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаrrS (t ) = W0 (t ) ⋅v .(2.28)rВпоследствии величина S получила название вектора Умова.Как следует из (2.28), амплитуда вектора Умова изменяется современем и в пространстве, поэтому целесообразно определитьсреднее по времени значение вектора Умова (векторнуюинтенсивность волны):rrrρA2ω 2v〈 S (t ) 〉 = 〈W0(t)〉⋅v =.(2.29)2Поток энергии упругой волны через любую поверхность Σможно определить интегрированием скалярного произведенияrrвектора Умова на векторный элемент площадки ds (вектор dsнаправлен по нормали к площадке ds):rrΦ = ∫ S (t ) ⋅ ds = ∫ S n (t )ds .S(2.30)SrЗдесь Sn – нормальная к площадке ds составляющая вектора S .Наконец, среднее по времени значение потока энергии упругойволны через поверхность:rrΦ (t ) = ∫ S (t ) ds = ∫ S n (t ) ds .Σ(2.31)Σ§ 4.

Электромагнитные волны в системе связанныхконтуров и в двухпроводной линииРассмотрим процесс распространения колебаний в системесвязанных контуров, являющейся в некотором смысле аналогоммодели одномерного кристалла – см. рис.2.6. Выделим в этойсистеме два произвольных соседних контура, включающихконденсаторы с номерами (n – 1), n и (n + 1). Для определённости49Глава II. ВолныI1I2123– In-1– In– In+1+++n–1nn+1x–lxx+lIN-2IN-1N–1NXРис. 2.6обозначим на рисунке знаки зарядов на конденсаторах инаправления токов через катушки индуктивностей. Осуществляяобходподвумконтурампочасовойстрелке,получаемуравнения:qn −1 qndI− = − L n−1 ,CCdt(2.32)qn qn+1dI−= −L n .CCdt(2.33)После вычитания (2.33) из (2.32) получаем:qn −1 2 qn qn +1d ( I n −1 − I n )−+= −L.CCCdt(2.34)Поскольку I n−1 − I n = − q&n , правая часть уравнения (2.34) можетбыть записана в форме Lq&&n .

Будем, кроме того, считать поаналогии с одномерным кристаллом, что заряд на конденсаторахявляетсядостаточноплавнойинепрерывнойфункциейкоординаты и воспользуемся, как и ранее, разложением функцийв ряды Тейлора:qn ≡ q ( x , t ) ;(2.35)qn+1∂q∂ 2q l 2≡ q ( x + l , t ) = q ( x, t ) + ⋅ l + 2 ⋅ + ...

;∂x∂x 2(2.36)qn−1∂ 2q l 2∂q≡ q ( x − l , t ) = q( x, t ) − ⋅ l + 2 ⋅ + ... .∂x 2∂x(2.37)Ограничиваясь только указанными членами разложений в50Колебания и волны. Волновая оптикарядыиподставляя(2.35)–(2.37)в(2.34),получаемдифференциальное волновое уравнение в форме:∂ 2q l 2 ∂ 2q.=⋅∂ t 2 LC ∂ x 2(2.38)Сравнивая (2.38) с (2.5), находим скорость электромагнитнойволны в системе, состоящей из большого количества связанныхконтуров:v =l.LC(2.39)По аналогии с механической системой уравнение (2.38)можно обобщить на систему с распределенными параметрами –двухпроводнуюлинию(см.рис.2.7).двухпроводная линия представляетБудемсчитать,Yсобой расположенные на расстоянииdhh друг от друга две широкие длинныепроводящиеполосы(“шины”),параллельные друг другу.

ПотерямичтоXxZx+lв линии будем пренебрегать. В такойлинииёмкостьииндуктивностьРис. 2.7распределены по всей линии, а не сосредоточены на дискретныхэлементах, как в системе, показанной на рис.2.6.Как и в случае механической системы с распределеннымипараметрами(рис.2.3),задачасводитсякнекоторомупреобразованию соотношения (2.39). Для этого определимёмкость и индуктивность участка двухпроводной линии длиной l.Электроёмкость плоского конденсатора с площадью пластинld и расстоянием h между ними равнаС=εε0ld,h(2.40)51Глава II.

Волныгде ε – диэлектрическая проницаемость среды между пластинамиконденсатора, ε0 – электрическая постоянная.Для определения индуктивности участка линии длиной lпредположим, что на этом участке по верхней шине протекает токI, направленный по оси Х; соответственно по нижней шине течёттакой же ток, но направленный в противоположную сторону (как вкаждом контуре рис. 2.6).

Из теоремы о циркуляции следует, чтомагнитное поле такой “бифилярной” системы будет отличаться отнуля только в пространстве между пластинами. Направление вектора магнитной индукции легко определить по правилу буравчикаr– вектор В направлен вдоль оси Z. Совершая обход позамкнутомуконтуру,расположенномувплоскостиYZиохватывающему только один провод линии, имеем по теореме оциркуляции:Bd = µµ0I,B=где µ0 – магнитная постоянная.µµ 0 Id,(2.41)Умножая величину магнитной индукции на lh, получаеммагнитный поток через участок боковой поверхности линиидлиной l:Φ = Blh =µµ 0lhId.(2.42)Поскольку по определению индуктивности Φ = LI , искомаяиндуктивность L участка линии длиной l равна:L=µµ 0lhd.(2.43)Наконец, подставляем (2.43) и (2.40) в (2.39), и определяемфазовую скорость электромагнитной волны в двухпроводнойлинии, помещённой в среду с диэлектрической проницаемостью52Колебания и волны.

Волновая оптикаε, и магнитной проницаемостью µ :v=Здесь с =1ε0µ 01c= .εε 0 µ µ 0 n(2.44)= 3 ⋅ 108 м / с – фазовая скорость электромагнитнойволны в двухпроводной линии, помещённой в вакуум; n = εµ –параметр, зависящий от свойств среды.Так как величина заряда на верхней и нижней шинах в какомлибо месте двухпроводной линии q(x) пропорциональна напряжённости электрического поля в этом месте E(x), дифференциальное уравнение (2.38) можно записать следующим образом:2∂2E2 ∂ E=v ⋅ 2 .∂t 2∂x(2.45)Подчеркнём, что в распространяющейся по оси X электро-rмагнитной волне вектор E направлен вдоль оси Y, а векторrмагнитной индукции B – вдоль оси Z, т.

е. электромагнитнаяволна – поперечная.§ 5. Электромагнитные волныв однородной непроводящей средеДлявыводауравненияэлектромагнитнойволныводнородной непроводящей среде воспользуемся уравнениямиМаксвелла в интегральной форме. При выводе дифференциального уравнения волны нам понадобятся только два из них –обобщенные выражения закона электромагнитной индукции итеоремы о циркуляции (с учётом того, что ток проводимостиотсутствует):53.