§ 3 . Энергия упругой волны (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Глава II. Волны(т.е. рассматривались продольные волны). В твёрдом телевозможно также распространение поперечных волн. Нетруднопоказать, что в этом случае модуль Юнга в формуле (2.17) нужнозаменить на модуль сдвига.§ 3. Энергия упругой волныНачнём рассмотрение вопроса об энергии упругой волны напримере простой модели продольной волны в одномерномкристалле (рис.2.1). Вычислим энергию, приходящуюся на один“элемент” нашего кристалла – один “атом” массой m и одну связь(пружину)сКинетическаяnкоэффициентомэнергияупругостиэлемента––см.рис.2.4.энергия“атома”,kэтодвижущегося со скоростьюn+1∂ξ:∂t2xn0ξnРис.2.4ξn+1m  ∂ξ T = ⋅  .2  ∂t (2.18)Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадратувеличины её растяжения или сжатия (ξn+1 – ξn)2; учитываясоотношение (2.2), имеем (ξn+1 – ξn) ≈ l⋅2∂ξ, откуда∂x2k l 2  ∂ξ  mv 2  ∂ξ U=  =  .2  ∂ x 2  ∂ x (2.19)Итак, для рассматриваемой нами простой модели полнаяэнергия одного элемента одномерного кристалла:22m  ∂ξ 2  ∂ξ W =   + v    .2  ∂t  ∂x  (2.20)Эта формула может быть естественным образом обобщена46Колебания и волны.

Волновая оптиканалюбые(нераспределённымиобязательнопараметрами.одномерные)Дляэтогосредынужностолькозаменить массу одного элемента на массу, приходящуюся наединицу объёма среды (т.е. плотность ρ), при этом получимполную энергию, приходящуюся на единицу объёма среды, вкоторой распространяется упругая волна:2ρ  ∂ξ 2 ∂ξ  W0 =   + v    .2  ∂t  ∂ x  (2.21)2Величина W0 называется плотностью энергии упругойволны. Для плоской волны, распространяющейся по оси Х (какпродольной, так и поперечной), зависимость смещения откоординаты и времени определяется уравнением (2.8), откудаT0 =U0 =ρ  ∂ξ 2ρ  = A2ω 2sin 2 (ω t − k x ) ,2  ∂t 2ρ  ∂ξ 2(2.22)ρv  = A2ω 2 sin 2 (ω t − kx ) = T0 .2  ∂t 2(2.23)Из соотношений (2.22)–(2.23) получаемW0 = T0 + U 0 = ρ A 2ω 2 sin 2 (ω t − kx ) .(2.24)На рис.2.5 показаны пространственное распределение ξ(х) исоответствующие функции T0(x), U0(x)для бегущей упругой волны.

Максимумыпотенциальной и кинетической энергииξ0xU0в бегущей волне локализованы в однихи тех же местах (там, где ξ = 0). Стечениемвременипоказаннаянарис.2.5 картинка “бежит” по оси Х со0xT00Рис. 2.5x47Глава II. Волныскоростью v. В любой фиксированной точке пространствавеличина плотности энергии со временем пульсирует(периодпульсаций в два раза меньше периода волны – см. рис.2.5)Поэтому целесообразно определить среднее по времени (или впространстве) значение плотности энергии W0 . Учитывая, чтоусреднение по времени квадрата синуса дает ½, получаем:W0 (t ) =ρ A2ω 22.(2.25)Поскольку волна переносит энергию, полезно определитьнесколько величин, характеризующих этот перенос.Плотностьпотокаэнергии–количествоэнергии,переносимой волной в единицу времени через единичнуюплощадку,перпендикулярнуюнаправлениюраспространенияволны.

Численно эта величина равна энергии, заключённойвнутри цилиндрической поверхности с единичным основанием иобразующей, равной v :S(t) = W0(t)⋅v.Подчеркнём,чтоплотность(2.26)потокаэнергииявляетсяфункцией времени, поскольку зависит от времени величина W0(t)– см. (2.24).Интенсивностью волны называется среднее по временизначение плотности потока энергии волны:I = 〈S(t)〉 = 〈W0(t)〉⋅v =ρA2ω 2v2.(2.27)Русским физиком Н.А. Умовым в 1874 г.

была введенавекторная характеристика переноса энергии упругой волной:48Колебания и волны. Волновая оптикаrrS (t ) = W0 (t ) ⋅v .(2.28)rВпоследствии величина S получила название вектора Умова.Как следует из (2.28), амплитуда вектора Умова изменяется современем и в пространстве, поэтому целесообразно определитьсреднее по времени значение вектора Умова (векторнуюинтенсивность волны):rrrρA2ω 2v〈 S (t ) 〉 = 〈W0(t)〉⋅v =.(2.29)2Поток энергии упругой волны через любую поверхность Σможно определить интегрированием скалярного произведенияrrвектора Умова на векторный элемент площадки ds (вектор dsнаправлен по нормали к площадке ds):rrΦ = ∫ S (t ) ⋅ ds = ∫ S n (t )ds .S(2.30)SrЗдесь Sn – нормальная к площадке ds составляющая вектора S .Наконец, среднее по времени значение потока энергии упругойволны через поверхность:rrΦ (t ) = ∫ S (t ) ds = ∫ S n (t ) ds .Σ(2.31)Σ§ 4.

Электромагнитные волны в системе связанныхконтуров и в двухпроводной линииРассмотрим процесс распространения колебаний в системесвязанных контуров, являющейся в некотором смысле аналогоммодели одномерного кристалла – см. рис.2.6. Выделим в этойсистеме два произвольных соседних контура, включающихконденсаторы с номерами (n – 1), n и (n + 1). Для определённости49.