§ 2 . Уравнение волны (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаограниченный диапазон использования этого уравнения:тольков случае малых возмущений (квазиупругая сила), распространяющихсявнедиспергирующихсредах(объяснениеэтоготермина будет приведено ниже).В трёхмерном случае уравнение (2.5) следует переписать так:∂ 2ξ= v 2 ⋅ ∆ξ .2∂t(2.5,a)∂2 ∂2∂2 Здесь ∆ =  2 + 2 + 2  – оператор Лапласа.∂y∂z  ∂x§ 2. Уравнение волныУравнениемупругойволныназываетсясоотношение,описывающее зависимость смещения колеблющихся частиц откоординат и времени в явной форме. В случае электромагнитнойволны, как будет показано ниже, вместо смещения в уравненииволны будут фигурировать напряжённость электрического ииндукция магнитного полей.Сначала будем предполагать, что для нашего одномерногокристалла (рис.2.1) в начале координат (х = 0) колебательноедвижение “первого” атома происходит по гармоническому закону:ξ(0,t) = A⋅cosωt.(2.7)Очевидно, что на соседние атомы будет действоватьгармоническаявозмущающаясиласчастотойω, и этовозмущение будет постепенно распространяться всё дальше от“начального” атома.

Обозначим через v скорость распространенияэтого возмущения. Тогда зависимость от времени смещенияатома, расположенного в точке с координатой х, можно,очевидно, представить в виде “запаздывающей” на время τ = x/vгармонической функции41Глава II. Волныξ(x,t) = A⋅cos[ω (t – τ)] = A⋅cos(ω t – kx),(2.8)где k = ω/v – т. н. “волновое число”, λ – длина волны. Подставляя(2.8) в дифференциальное волновое уравнение (2.5), убеждаемсяв том, что функция (2.8) – действительно решение волновогоуравнения.Причёмвведённыйранееизсоображенийразмерности параметр v дифференциального уравнения (2.5) пофизическому смыслу соответствует скорости распространенияфазы волны (и называется поэтому “фазовой скоростью”).Существенно, что классическому дифференциальному волновомууравнению (2.5) удовлетворяют гармонические волны (2.8)различных частот ω при том, однако, условии, что скоростираспространения этих волн не зависят от частоты.

Среды, вкоторыхскоростираспространенияволнсразнымичастотами одинаковы, называются “недиспергирующими”.Поскольку всякая достаточно “плавная” функция может бытьразложена на гармонические функции (в ряд Фурье), совершенноочевидно, что такая функция ξ(t – x/v) также будет решениемуравнения(2.5).Предлагаемубедитьсявэтомпрямойподстановкой. Этой функции соответствует распространяющаясяпо оси X, со скоростью v негармоническая волна.Введем некоторые определения.Волновой поверхностью мы будем называть такуюповерхность, колебания во всех точках которой происходят водной и той же фазе.Изопределенияясно,чтоволновыхповерхностейбесконечно много.

В модели одномерного кристалла (рис.2.1)каждая волновая поверхность вырождается в точку. Имеет смыслспециально выделить переднюю волновую поверхность, которая42Колебания и волны. Волновая оптиканазывается фронтом волны.Если фронт волны и волновые поверхности – плоскости, товолна называется плоской. Плоскую волну можно наблюдать втех случаях, когда расстояние до источника волн х много меньшеразмеров источника D :x << D.(2.9)Плоская волна, распространяющейся по оси X, описываетсяуравнением (2.8), поскольку все точки, лежащие на одной и тойже волновой поверхности (плоскости, перпендикулярной оси Х),колеблются одинаково. Для плоской волны часто используютформу записи уравнения волны в полярной системе координатr(см.

рис.2.2). Введем радиус-вектор r , проведенный из началаполярнойсистемыкоординатпроизвольную точкуrпространства, а также волновой вектор k , равный по величинеOвволновому числу и направленный по нормали к волновойповерхности в сторону распространения волны (в данном случае поr rоси Х). Тогда kx = krcosα = k , r (см.волновая поверхностьrr( )Oрис.2.2) и уравнение плоской волныможет быть записано в видеαrkxXРис.

2.2rrξ(r,t) = A⋅cos(ω t – k r ).(2.10)Если размеры источника много меньше расстояния до него(“точечный” источник),D << x, r ;(2.9,a)то волновые поверхности имеют сферическую форму, волна вэтом случае называется сферической. Ясно, что по мереудаления волны от источника энергия волны распределяется повсёвозрастающемуколичествучастицсреды.Энергия,43Глава II. Волныприходящаясянаоднучастицу,обратнопропорциональнаплощади соответствующей волновой поверхности, т.е. ∼ 1/r2(здесь r – расстояние от волновой поверхности до точечногоисточника).Посколькуэнергияколеблющейсячастицыпропорциональна квадрату амплитуды (см. (1.7)), амплитудаколебанийчастицвсферическойволнеобратнопропорциональна r. В итоге уравнение сферической волныследует записать так:ξ(r,t) =A0⋅cos(ω t – kr).r(2.12)Наконец, если часть энергии волны теряется в среде из-запоглощения, то происходит постепенное затухание волны, котороенужно учесть аналогично (1.34) введением дополнительного экспоненциального множителя перед косинусом:A( х) = A0e −η x – плоская волна;A(r ) =(2.13)A0 −η r⋅ e – сферическая волна.r(2.14)Коэффициент η называется коэффициентом поглощения среды.Подчеркнём, что соотношения (2.8), (2.10), (2.12)–(2.14)описывают как продольные волны (смещение частиц происходитвдоль направления распространения волны), так и поперечныеволны (частицы колеблются в плоскости, перпендикулярнойнаправлению распространения).В заключение этого параграфа покажем, что полученное намивыражение для фазовой скорости упругой волны в одномернойцепочке атомов (рис.

2.1) легко обобщается на систему с распределённымипараметрами–длинныйоднородныйизготовленный из материала, плотность которого ρ.44стержень,Колебания и волны. Волновая оптикаРассмотримотрезокстержняr−Fдлиной l (см. рис.2.3), масса которогоXm = ρlS, где S – площадь поперечногосечениястержня.rFxПосколькуx+lРис. 2.3выбранный нами отрезок в целомrпокоится, приложенные к нему слева и справа силы F равны(для определённости будем считать эти силы растягивающими).При этом отрезок удлиняется на ∆l. В рассматриваемом случаекоэффициент упругости – это коэффициент пропорциональностимежду величинами силы F и удлинения стержня:k=FFS σ S.==∆l S ∆l ∆l(2.15)В соотношении (2.15) введена величина механического напряженияσ=F. Подставим полученные для m и k выражения в формулу (2.6)Skl 2σl=v =.mρ ∆l(2.16)2Учитывая,что(модулемпродольнойG=величинаσl∆lупругости),являетсяполучаеммодулемдляЮнгаскоростираспространения упругой волны следующее соотношение:v=Привыводе(2.17)Gρмы.(2.17)предполагали,чтоприраспространении волны силы действуют вдоль стержня (понаправлению распространения волны).

Соответственно, частицыстержня также совершают колебательные движения вдоль оси X45Глава II. Волны(т.е. рассматривались продольные волны). В твёрдом телевозможно также распространение поперечных волн. Нетруднопоказать, что в этом случае модуль Юнга в формуле (2.17) нужнозаменить на модуль сдвига.§ 3. Энергия упругой волныНачнём рассмотрение вопроса об энергии упругой волны напримере простой модели продольной волны в одномерномкристалле (рис.2.1).

Вычислим энергию, приходящуюся на один“элемент” нашего кристалла – один “атом” массой m и одну связь(пружину)сКинетическаяnкоэффициентомэнергияупругостиэлемента––см.рис.2.4.энергия“атома”,kэтодвижущегося со скоростьюn+1∂ξ:∂t2xn0ξnРис.2.4ξn+1m  ∂ξ T = ⋅  .2  ∂t (2.18)Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадратувеличины её растяжения или сжатия (ξn+1 – ξn)2; учитываясоотношение (2.2), имеем (ξn+1 – ξn) ≈ l⋅2∂ξ, откуда∂x2k l 2  ∂ξ  mv 2  ∂ξ U=  =  .2  ∂ x 2  ∂ x (2.19)Итак, для рассматриваемой нами простой модели полнаяэнергия одного элемента одномерного кристалла:22m  ∂ξ 2  ∂ξ W =   + v    .2  ∂t  ∂x  (2.20)Эта формула может быть естественным образом обобщена46.