§ 1. Классическое дифференциальное волновое уравнение (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаГЛАВА II. ВОЛНЫ§1. Классическое дифференциальное волновое уравнениеПри увеличении числа связанных осцилляторов в системе,помимо выделения нормальных мод, выяснения спектра их частотне менее важным становится вопрос о скорости передачиколебательного движения из одной части системы в другую – т. е.

оскорости распространения волн в системе. Под волнами мы будемпонимать возмущения, распространяющиеся в какой-либо среде.Рассмотрим одномерную модель системы, состоящей избольшого числа связанных осцилляторов – см. рис. 2.1.1lξ1nn–12ξ2x–lξn–1xn+1ξnx+lN–1ξn+1NlξN–1ξNXРис. 2.1Можно считать, что показанная на рис.2.1 система моделируетодномерный кристалл, либо длинную молекулу полимерного типа.Массы всех “атомов” будем считать одинаковыми и равными т,связь между ними моделируем пружинками с коэффициентамиупругости k.

Потерями (трением) в системе пренебрежем. Введемось Х, направленную вдоль цепочки атомов, через ξ1 , ξ2, ..., ξnобозначим отклонения каждого атома от положения равновесия.Расстояния между равновесными положениями всех соседнихатомов будем полагать одинаковыми и равными l.Запишем второй закон динамики для n-го атома:m ξ&&n = k(ξn+1 – ξn) – k(ξn – ξn-1).(2.1)39Глава II. ВолныПоскольку n-й атом имеет координату х, можно заменитьвеличинуξn,нафункциюξ(х).Далеемыограничимсярассмотрением только таких колебательных движений в нашемкристалле,прикоторыхсоседниеатомыдвижутсяпочтиодинаково (это означает, что мы исключаем из рассмотрениянаиболее высокочастотные моды колебаний).

При этом нарасстоянии l величина смещения атома от положения равновесияизменяется мало. Воспользовавшись разложением функций вряд Тейлора, можно записать приблизительное выражение длясмещений атомов с номерами (n – 1) и (n + 1), ограничиваясьтремя первыми членами разложений по малому параметру:∂ξ∂ 2ξ l 2⋅l + 2 ⋅ ;∂x∂x 2(2.2)∂ξ∂ 2ξ l 2= ξ ( x − l , t ) ≈ ξ ( x, t ) −⋅l + 2 ⋅ .∂x∂x 2(2.3)ξ n+1 = ξ ( x + l , t ) ≈ ξ ( x, t ) +ξ n−1Подставив (2.2) – (2.3) в (2.1), получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:∂ 2ξ kl 2 ∂ 2ξ.=⋅∂t 2m ∂x 2(2.4)∂ 2ξУчитывая, что коэффициент перед производнойимеет∂x 2размерность квадрата скорости, уравнение (2.4) можно записать так:2∂ 2ξ2 ∂ ξ=v ⋅ 2 ,∂t 2∂xгдеv2 =(2.5)kl 2.m(2.6)Это уравнение описывает распространение возмущений внашем одномерном кристалле.

Оно называется одномернымклассическим дифференциальным уравнением волны. Термин“классическое”40применяетсядлятого,чтобыподчеркнутьКолебания и волны. Волновая оптикаограниченный диапазон использования этого уравнения:тольков случае малых возмущений (квазиупругая сила), распространяющихсявнедиспергирующихсредах(объяснениеэтоготермина будет приведено ниже).В трёхмерном случае уравнение (2.5) следует переписать так:∂ 2ξ= v 2 ⋅ ∆ξ .2∂t(2.5,a)∂2 ∂2∂2 Здесь ∆ =  2 + 2 + 2  – оператор Лапласа.∂y∂z  ∂x§ 2. Уравнение волныУравнениемупругойволныназываетсясоотношение,описывающее зависимость смещения колеблющихся частиц откоординат и времени в явной форме.

В случае электромагнитнойволны, как будет показано ниже, вместо смещения в уравненииволны будут фигурировать напряжённость электрического ииндукция магнитного полей.Сначала будем предполагать, что для нашего одномерногокристалла (рис.2.1) в начале координат (х = 0) колебательноедвижение “первого” атома происходит по гармоническому закону:ξ(0,t) = A⋅cosωt.(2.7)Очевидно, что на соседние атомы будет действоватьгармоническаявозмущающаясиласчастотойω, и этовозмущение будет постепенно распространяться всё дальше от“начального” атома. Обозначим через v скорость распространенияэтого возмущения.

Тогда зависимость от времени смещенияатома, расположенного в точке с координатой х, можно,очевидно, представить в виде “запаздывающей” на время τ = x/vгармонической функции41.