§ 1. Колебания систем с одной степенью свободы. Гармонический осциллятор (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаГЛАВА I . КОЛЕБАНИЯ§ 1. Колебания систем с одной степенью свободы.Гармонический осцилляторКруг явлений, которые получили название «колебания» оченьширок. Для всех этих явлений типична повторяемость вовремени. Прежде чем перейти к детальному рассмотрениюколебательных явлений, проиллюстрируем их универсальностьнесколькими примерами из живой и неживой природы.Периодичны смены дня и ночи, времен года, сна ибодрствования. Сердце человека (и других млекопитающих)работает настолько строго периодично, что даже небольшиеотклонения от этой периодичности резко ухудшают самочувствие,а их анализ позволяет специалистам судить о причинахнездоровья (кардиограммы). Качели и маятники хорошо знакомынам с детства; шелест листьев обусловлен дрожанием каждоголистикаподдействиемветра;волны,раззаразомнакатывающиеся на берег, вызывают повторяющийся шумприбоя. Химикам хорошо известны удивительные циклическиепроцессы – реакции Белоусова – Жаботинского.

Периодичностьнаблюдается в движении как гигантских объектов (таких, какпланеты солнечной системы, звезды), так и микрочастиц –составных “кирпичиков” окружающего мира (атомов и молекул).Наконец само развитие мира, как считают некоторые философы,происходит “по спирали”, т.е. опять-таки с “некоторой степеньюповторяемости во времени”. Да и в жизни отдельного человекапериодыактивности(работа,учеба,экзамены)сменяютсяпроцессами «релаксации» (термин, также относящийся к теорииколебаний) – расслабления и успокоения.3§1.

Гармонический осцилляторУбедившись в важности и актуальности колебательныхявлений, попытаемся выяснить физическую причину стольширокогоихраспространенияфундаментальнуюрольввприроде.окружающемВспомним,насмиречтоиграютгравитационные, упругие и электростатические взаимодействия.Поля сил таких взаимодействий обладают одним важным общимсвойством – они являются потенциальными. В дальнейшем дляпростоты мы будем полагать, что имеем дело с системой,состояние которой определяется только одной переменной(например, координатой х)*).

В этом случае потенциальнаяэнергия U – функция только одной координаты. Для примера нарис.1.1 представлены возможные виды зависимостей U(x). Вслучае (а) потенциальная энергия не зависит от координатыx0постоянна),насистемунедействует внешняя сила (Fx = –dU/dx = 0) и,бв0(всюдуаUвxРис. 1.1Fx = –dU/dx = const,соответствиисовторымзакономНьютона, система движется равномерно ипрямолинейно. В случае (б) на системудействуетпостоянная по величине силанаправленная по оси Х;происходитравноускоренное движение по этой оси.

Очевидно, наиболееобщая ситуация изображена на рис.1.1(в) – потенциальнаяэнергия в этом случае зависит от координаты каким-то болеесложным образом (конкретный вид этой зависимости сейчас неиграет существенной роли).Предположим, что система находится вблизи одного изминимумов потенциальной энергии – в окрестности точки x0.Легко видеть, что смещение системы из этой точки в любуюсторону приведет к появлению силы, “возвращающей” систему к*)4О таких системах принято говорить, что они имеют одну степень свободы.Колебания и волны.

Волновая оптикаположениюравновесия“возвращающей”).(этаПослесилатакдостиженияиназываетсяточких0–(“точкиравновесия”) система по инерции пройдет эту точку и сновавозникнет возвращающая сила, направленная уже в другуюсторону. Вот и начался колебательный процесс.В общем случае зависимость смещения системы ξ = x – x0 отвремени может быть достаточно сложной – все зависит отконкретного вида функции U(x). Считая, что функция U(x)непрерывна и имеет все производные при x = x0, её можноразложить вблизи этой точки в ряд Тейлора по величине ξ = x – x0:U ( x ) = U ( x0 ) +1 d 2UdUξ+ξ 2 + ...22 dx x0dx x0(1.1)Очевидно, при малых отклонениях от точки x0 основную рольбудет играть член с наименьшей степенью ξ.

Учитывая, что вминимуме dU/dx = 0, разложение (1.1) приближенно можнопереписать в виде:U ( x ) ≈ U ( x0 ) +1 d 2U2 dx 2⋅ ξ 2 = U ( x0 ) +x0d 2Uгде введено обозначение k =dx 2kξ 2,2(1.2). В этом случае на системуx0вблизи точки x = x0 будет действовать силаFx = −dUd 2U=− 2dxdx⋅ ξ , т.е. Fx = −kξ .(1.3)x0Видно, что знак проекции силы всегда противоположен знакусмещения и в случае малых отклонений от положенияравновесиявеличина возвращающей силы пропорциональнаотклонениюсистемыотположенияравновесия(какдляидеальной пружины) Поэтому такую силу называют «квазиупругой».

В частном случае колебаний грузика на пружине эта5§1. Гармонический осцилляторсила является упругой, а соотношение (1.3) отражает закон Гука.Второйзаконнаходящейсядинамикивблизидляположениямеханическойравновесия,системы,сучетомвышесказанного можно записать в формеmξ&& = F = −kξ .(1.4)xПосле деления на m и переноса в левую часть, это равенствоприобретает вид, получивший название «уравнение гармоническогоосциллятора»:ξ&& + ω02ξ = 0 , где ω02 =k.m(1.4,а)С математической точки зрения – это линейное однородноедифференциальное уравнение второго порядка. Общее решениетакого уравнения может быть записано в виде гармоническойфункции (в чём нетрудно убедиться подстановкой)ξ(t) = A cos(ω0t + ϕ0),(1.5)Величина ω0 играет роль частоты собственных гармоническихколебаний системы.

Она определяется только свойствами самойколебательной системы (осциллятора – от английского слова“oscillate”). Постоянные А иначальнойфазойколебаний,ϕ0 – называются амплитудой исоответственно.Ихвеличинасущественно зависит от способа возбуждения колебаний всистеме – так называемых начальных условий. Для определенияамплитуды и начальной фазы нужно знать начальное отклонениесистемы от положения равновесия ξ0 = ξ(0) и начальную скоростьv 0 = ξ&(0) .Таким образом, «гармоническим осциллятором» являетсялюбая система, совершающая колебания по закону (1.5) (и,соответственно, подчиняющаяся уравнению типа (1.4,а)).Подчеркнем, что «гармонический осциллятор» – некая6Колебания и волны.

Волновая оптикафизическая идеализация. Модель гармонического осциллятораможетбытьправомерноиспользованапренебрежениевтолькочленамитехслучаях,высшихкогдапорядковвразложении потенциальной энергии системы (1.1) (т.е. когдаамплитудаколебанийдостаточномала)иотсутствуютдиссипативные силы (например, силы трения).Взаключениеэтогопараграфапродемонстрируем полную аналогию вописании механических и электрическихаkmколебаний. На рис.1.2,а показан простейшиймеханический осциллятор – тело массойm на пружине с коэффициентом упругостиk, которое может скользить по гладкойгоризонтальной поверхности.

Уравнениедвижения тела (второй закон Ньютона) вx00L+C–XбIРис. 1.2этом случае (без учета сил трения) в точности совпадает с ранееполученным нами уравнением (1.4):mξ&& = − kξ .Для идеализированного электрического контура без потерьэнергии (см. рис.2,б) напряжение на конденсаторе VC =qравноCЭДС самоиндукции на катушке εsi :qdI.= −LdtCС учётом того, что ток I =q&& +(1.6)dqимеем:dt1q = 0 илиLCq&& + ω02 q = 0 ,(1.6,а)где q и С – заряд и емкость конденсатора, L – индуктивностькатушки, I – сила тока в контуре, ω 0 =1.LC7§1.

Гармонический осцилляторТаким образом, механический осциллятор без трения иэлектрическийLC-контурбезомическогосопротивленияописываются идентичными с математической точки зренияуравнениями (1.6,а) и (1.4,а). Очевидно, величина q, как иотклонение механической системы от положения равновесия ξ, стечением времени изменяется по гармоническому закону (1.5).Как нетрудно подметить, в случае электрической системыаналогами ξ, A, m и k являются величины q, q0, L и 1/C,соответственно.Энергия механического осциллятора, показанного на рис.1.2,складывается из кинетической энергии тела Т и потенциальнойэнергии деформированной пружины U:W = T +U =kξ 2 mξ& 2 kA2+=.222(1.7)Используя отмеченную выше аналогию между параметрамимеханической и электрической систем, полную колебательнуюэнергию, запасенную в электрическом контуре, можно записать ввидеq 2 LI 2 q02+=.W=2C22C(1.8)Первое слагаемое в соотношении (1.8) представляет собойэнергию электрического поля конденсатора, второе – энергиюмагнитного поля катушки индуктивности.8.