l29-2016 (Лекции)

12.6. Стоячие волныДля линии без потерь активная мощность в любом сечении x равна активноймощности приемника P1  P( x)  P2 . В том случае, если P2  0 в линии возникает режимстоячих волн. При этом P2  U 2 I 2 cos(u  i )  0 в случае:1) I 2  0 линия разомкнута на конце (холостой ход);2) U 2  0 линия короткозамкнута на конце;3) cos(u  i )  0 линия нагружена на чисто реактивное сопротивление.Для всех этих случаев модуль коэффициента отражения равен единице:1) Z н   ,   1 ;2) Z н  0 ,   1  1180 :3) Z н   jX ,   1   .Таким образом, модуль падающей и отраженной волны одинаковый, т.е.

U пр = U обр .Стоячая волна получается в результате наложения прямых и обратных волн содинаковыми амплитудами. Математически уравнение стоячей волны представляетсяпроизведением двух функций, аргумент одной зависит от времени, а другой – откоординаты.При холостом ходе ( I2  0) уравнения линии имеют вид:U ( x)  U 2 cos x.UI ( x)  j 2 sin xZcВ конце линии и точках x = kπ/β =kλ/2, k = 1,2,… будет максимум – пучностьнапряжения и нулевое значение – узел тока. На расстояниях от конца линииx = (2k+1)π/2β =(2k+1)λ/4 будут узлы напряжения и пучности тока. При холостом ходе,если U 2  U 20 мгновенные значения напряжения и тока:u ( x, t )  U 2 m cos x sin t , i( x, t ) U 2msin x cos tZcпредставляют собой уравнения стоячих волн.При x 4входное сопротивление будет емкостного характера.

На рис. 12.11показано распределение действующего значения напряжения и тока вдоль разомкнутойлинии.Рис. 12.11При этом входное сопротивление линии, разомкнутой на конце:Z вх =  jZC ctg x   jZC ctg2x.На рис. 12.12 показано изменение абсолютного значения и характера входногосопротивления в зависимости от длины линии.

От x  0 до x 4, от x 2до x характер входного сопротивления разомкнутой линии – чисто емкостной, от x x2, от x представлена3до x   - чисто индуктивный. При x  0, ,  ,42параллельнымрезонанснымпоследовательным резонансным контуром.контуром,при434долиния может бытьx4,3 5,,44-Рис. 12.12При коротком замыкании (U 2  0) уравнения линии имеют вид:U ( x)  jZ c I2 sin x.I ( x)  I2 cos xВ конце линии и точках, отстоящих от него на целое число полуволн kλ/2, будутузлы напряжения и пучности тока.

В точках, отстоящих от конца линии на расстояния(2k+1)λ/4, будут пучности напряжения и узлы тока. При коротком замыкании в случае,когда I 2  I 20 , мгновенные значения напряжения и тока:u( x, t )  I 2m Zc sin x cos t , i( x, t )  I 2m cos x sin t ,в линии также наблюдается режим стоячей волны. На рис. 12.13 показано распределениедействующего значения напряжения и тока вдоль короткозамкнутой линии.Входное сопротивление линии, короткозамкнутой на конце: Z вх =jZctgx  jZ ctgx42x . Привходное сопротивление будет индуктивного характера. На рис.

12.14 показаноизменение абсолютного значения и характера входного сопротивления в зависимости отдлины линии.Рис. 12.13Рис. 12.14Таким образом, емкостное и индуктивное сопротивление может быть замененоотрезкамиразомкнутойиликороткозамкнутойлинии.Следовательно,линиясреактивным сопротивлением нагрузки ничем не отличается от разомкнутой иликороткозамкнутой линии (рис. 12.15).Рис. 12.15При чисто реактивной нагрузке в линии также будут наблюдаться стоячие волны.Только в конце линии с реактивным сопротивлением нагрузки не будет ни пучности, ниузла тока или напряжения.

На рис. 12.16 показано распределение действующего значениянапряженияприемкостнойнагрузкеZ н   jX   jZc(модульреактивногосопротивления численно равен волновому сопротивлению линии).Рис. 12.16Для определения U ( x) и I ( x) можно воспользоваться уравнениями линии нахолостом ходу. Принимая значение напряжения в пучности как U max , рассчитав y длину разомкнутого отрезка линии, эквивалентного по входному сопротивлениюможно записать:U ( x)  U max cos ( x  y)4-Zн ,I ( x)  jU maxsin ( x  y ) .ZcУсловие эквивалентной замены Zн   jX   jZcctgy .

При этом в случае емкостнойнагрузки первым по напряжению будет узел. Расстояние до первого узла можноопределить как x0 y8U max и x0 484 y . В приведенном выше примере так как8Z н   jX   jZc , то. На нагрузке напряжение U 2  U (0)  U max cos y , следовательноU2.cos yДля определения токов и напряжений можно воспользоваться и уравнениямилинии, нагруженной на емкостное сопротивление с учетом того, что I2 U ( x)  U 2 (cos x I ( x)  jПрииндуктивнойкороткозамкнутойлинииU2: jXZcsin x)XZU2(sin  x  c cos  x) .ZcXнагрузкеэквивалентнойдлинойy4.заменойУсловиебудетотрезокэквивалентнойзаменыZн  jX  jZc tg y .

При этом в случае индуктивной нагрузки первым по напряжениюбудет пучность. Расстояние до первого узла можно определить как x0 значение тока в пучности как I max , рассчитав y 42 y . Принимая- длину разомкнутого отрезка линии,эквивалентного по входному сопротивлению Z н , можно записать:I ( x)  Imax cos ( x  y)U ( x)  jZc Imax sin ( x  y) .На нагрузке напряжение U 2  U (0)  jZc Imax sin y , следовательно Imax U2.jZ c sin yДля определения токов и напряжений можно воспользоваться и уравнениямилинии, нагруженной на емкостное сопротивление с учетом того, что I2 U ( x)  U 2 (cos x Zcsin x)XU2:jXI ( x)  jU2Z(sin x  c cos x) .ZcXДля решения задачи определения токов и напряжений при реактивной нагрузкеможно воспользоваться коэффициентом отражения:при Z н   jX  при Z н  jX   jX  Z c 1   , U 2обр  U 2пр   ; jX  Z cjX  Z c 1 , U 2обр  U 2пр .jX  Z cНа рис.

12.17 представлена векторная диаграмма U 2  U 2пр  U 2обр при емкостнойнагрузке, т.е. когда U 2обр  U 2пр   . Поворот вектора U 2пр против часовой стрелки наугол x0 и поворот вектора U 2обр по часовой стрелки на угол x0 определяют узелнапряжения, т.к.U ( x0 )  U пр ( x0 )  U обр ( x0 )  0 (модули U пр  U обр ). Расстояние допервого узла напряжения может быть найдено из соотношения x0   / 2   / 2 .Рис. 12.17Замечание: Длинная линия может быть использована в качестве "измерительногоустройства".

По характеру распределения U(x) можно определить нагрузку линии - еслипервым наблюдается максимум напряжения, то нагрузка индуктивная, если первымминимум - емкостная. Если минимум - узел (значение напряжения в этом сечении равнонулю), то нагрузка чисто реактивная, измерив расстояние до первого узла напряжения,можно определить модуль сопротивления нагрузки..