l22 (Лекции)

11. Переходные процессы в нелинейных цепяхПереходные процессы в нелинейных цепях существенно отличаются от переходныхпроцессов в линейных цепях, так как описываются нелинейными дифференциальнымиуравнениями.Режимы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Возможныскачкообразные изменения режимов. Возможен режим автоколебаний, т.е. возбуждениеколебанийв системе с постоянными ЭДС (источниками напряжения или тока).Возникновение того или иного режима в нелинейной цепи зависит не только отпараметров цепи, характеристик нелинейных элементов, но и от начальных условий.11.1.Особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепяхДля расчета переходного процесса в нелинейной цепи необходимо:а) рассчитать предшествующий процессу режим и, далее, пользуясь законамикоммутации определить независимые начальные условия цепи;б)пользуясьзаконамиКирхгофаикомпонентнымиуравнениямиилихарактеристиками всех элементов цепи, включая нелинейные элементы, составитьсистему дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс;в) осуществить решение полученных нелинейных дифференциальных уравнений.При расчете процессов в нелинейных цепях нельзя:а) использовать принцип суперпозиции, т.е.

представлять решение уравненийцепей в виде суммы частных решений уравнений, обусловленных действием отдельныхисточников энергии цепей;б) искать решение нелинейных уравнений цепей в виде сумм свободных ипринужденных, либо преходящих и установившихся составляющих этих решений;в) использовать операторный метод расчета.11.2.Выход на установившийся режимЕсли в линейных цепях установившийся режим не зависит от начальных условий(потокосцеплений индуктивных элементов и зарядов емкостных элементов цепи), адлительность процесса известна заранее ((3 – 5)τmin, где τmin - минимальная постояннаявремени), то в нелинейных цепях отсутствует понятие постоянных времени и в общемслучае невозможно по параметрам схемы оценить время переходного процесса.

В такихцепях установившихся режимов может быть несколько, либо не быть вообще. В первомслучае выход на конкретный режим определяется начальными условиями и даженебольшая ошибка в их определении может расчет переходного процесса привести кнеистинному режиму. Во втором случае – случае возникновения в цепи хаотическихколебаний, требуется умение их идентифицировать, иначе расчет можно продолжатьбесконечно долго.

Кроме того, установившийся режим может оказаться неустойчивым,т.е.малейшее его возмущение, обусловленное, например,вычислительнымипогрешностями его расчета, приводит к возникновению нового переходного процесса.11.3.Методы расчета переходных процессовПолучение конечных аналитических решений нелинейных дифференциальныхуравнений цепи возможно лишь в редких частных случаях. В общем случае такиеуравнения решаются численно по стандартным алгоритмам. Однако результатычисленного расчета не дают качественной картины процессов – связи их характера созначениями параметров схемы и функциями источников, что необходимо для инженернойпрактики. В этой связи весьма ценными, наряду с численными методами, становятсячисленно-аналитические методы расчета переходных процессов: метод условнойлинеаризации и методы аналитической и кусочно-линейной аппроксимации.

В этихметодах путем введения упрощающих допущенийнелинейные уравнения цепейаппроксимируют линейными, допускающими аналитические решения, уравнениями.Качественные методы позволяют провести анализ основных признаков переходногопроцесса, не решая системы нелинейных дифференциальных уравнений. Качественноеисследование – это выявление общих свойств исследуемой цепи без интегрированиянелинейныхдифференциальныхуравнений.Подобщимисвойствамипонимаютвыяснение зависимости характера переходного процесса от начальных условий,возможностивозникновенияавтоколебаний,резонансныхявлений,исследованиеустойчивости режимов.11.4.Численные методы расчета переходных процессовВ основе этих методов лежит замена производных переменных состояния (токов виндуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах)dx jdtконечнымиразностями. В результате дифференциальные уравнения, описывающие процессы в цепи,заменяются разностными уравнениями.

Последовательное решение разностных уравненийна интервале исследования 0≤t≤T позволяет для искомой переменной xj(t) построитьрешетчатуюфункцию x j (kh) . Здесь h = T/N – шагдискретизации решения (шагинтегрирования), k = 0,1,…N; при этом значение xj(0) – начальное условие процесса,полагается известным.

Применяют явные и неявные методы Эйлера, метод трапеций и т.д.1)Интегрирование уравнений состояния цепи явным методом Эйлера. Методпоследовательных интервалов. Пусть цепь содержит один накопитель энергии иописывается нелинейным дифференциальным уравнениемx  f ( x, t ), x(0)  x0 ,0t T .Замена производной x первой левой разностью (применение явного методаЭйлера) приводит к разностному уравнениюxk  xk 1  hf ( xk 1 , tk 1 ),xk  x (tk )k  1, 2,...N ,решение которого позволяет построить таблицуt0h2h∙∙∙Nh=Txx0x1x2∙∙∙xN=x(T)и получить решетчатую функцию xn, n =0,1,…, N для искомой переменной x(t). Если цепьсодержит два накопителя энергии и описывается системой дифференциальных уравнений x1  f1 ( x1 , x2 , tk ); x1 (0)  x10 ;, x2  f 2 ( x1 , x2 , tk ); x2 (0)  x20 ;то замена производных первыми левыми разностями:x1k  x1k 1  hf1 ( x1k , x2 k , tk );x2 k  x2 k 1  hf 2 ( x1k , x2 k , tk );позволяет построить таблицуt0h2h∙∙∙Nh=Tx1x10x11x12∙∙∙x1N=x1(T)x2x20x21x22∙∙∙x2N=x2(T)в которой xik  xi (tk )  xi (kh),i  1, 2,;k  1,...N .Метод последовательного вычисления значений переменных состояния в точкахt = h, 2h,…,NT при замене производных в дифференциальных уравнениях цепи первымилевыми разностямив теории электрических цепей иногда называют методомпоследовательных интегралов.2)Интегрирование уравнений состояния цепи неявным методом Эйлера.Полярные методы интегрирования, метод трапеций.

Прииспользовании неявногометода Эйлера производные в уравнениях состояния цепи заменяются первыми правымиразностями. При этом дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнениемxk  xk 1  hf ( xk , tk ); xk  x (tk ) ,в котором неизвестное значение переменной xk содержится как в его левой, так и вправой части.

Решая последовательно при k = 0,1,…N это уравнение можно построить ирешетчатую функцию x (kh) искомой переменной состояния x(t). Следует заметить, чторезультаты расчета значений x(kh) при использовании явного и неявного методаинтегрирования уравнений состояния будут разными. Пару методов интегрирования –явного и неявного методов Эйлера - называют полярными методами и полагают, чтоистинное значение решетчатой функции x(kh) находитсямежду значениями x (kh) ,рассчитанными по явному и неявному методам Эйлера.Если же взять среднееарифметическое выражение решения, найденного двумя методами, то полученноеразностное уравнениеxk  xk 1 h f ( xk 1 , tk 1 )  f ( xk , tk )2определяет также неявный метод интегрирования, называемый методом трапеций.3)Выбор шага интегрирования.

Правило Рунге. Шаг интегрирования h можноположить 0,1 min , где  min - минимальная постоянная времени цепи, линеаризованной вначальной точке расчета (t  0) . Для выбора шага интегрирования h , обеспечивающегорасчет процесса с заданной точностью, можно использовать следующий подход. Дляцепи, описываемой дифференциальным уравнением согласно разностному уравнениювычисляется значениеx H ( H )  x0  Hf ( x0 ,0) ,где h = H – пробный шаг интегрирования. Далее этот шаг делится пополам и вычисляетсявначалезначениеx H / 2 ( H )  x H / 2 ( H / 2) x H / 2 ( H / 2)  x0 Hf ( x0 , 0) ,2азатемзначениеH  H /2Hf  x ( H / 2),  . Здесь верхний индекс Н или Н/2 указывает на2 2шаг, с которым ведется расчет.Сравнение значений переменой x(t) в точке t =H,рассчитанных за один шаг xH(H) и за два шага xH/2(H)дает следующую формулу дляоценки погрешности вычисления x ( Н ) с шагом Н:R2xH (H )  xH / 2 (H )xH (H )) 100%.Описанное правило вычисления погрешности интегрирования на данном шаге Нносит название правила Рунге.

При выборе шага h, обеспечивающего расчет спогрешностью, не превышающей некоторого значения R0(%)вначале выбираетсяпробный шаг Н и оценивается погрешность расчета. Если оказывается, что R≤R0, томожно ограничиться этим выбором, если нет, то в качестве пробного шага выбирается шагН´=Н/2 и процедура повторяется. И так, рекурсивно до тех пор, пока не будет найден шаг,обеспечивающий неравенство R≤R0..