l19 (Лекции)

9. 11. Метод переменных состояния. Аналитические методы расчета переходныхпроцессовСовременные задачи анализа (расчета) переходных процессов предполагают анализцепей большой размерности при действии источников, кривые токов и напряженийкоторых описываются разными функциями электротехнических сигналов. Большиеразмерности электрических цепей и соответственно их моделей обусловливаютнеобходимостьиспользованияматричныхметодованализасупотреблениемматематических программ для получения численного результата. Одним из матричныхметодов анализа переходных процессов сложных электрических цепей является методпеременных состояния, основанный на использовании двух матричных уравнений.Математические модели электрических цепей имеет смысл составлять относительно техпеременных, которые определяют запасы магнитной Wм Li 2Cu 2и электрической Wэ 22энергий, т.е.

относительно тока iL катушки и напряжения uC конденсатора. Токи виндуктивных элементах iL и напряжения на емкостныхuC называют переменныесостояния. Действующие источники ЭДС и токов называют входными переменными,искомые переходные токи и напряжения – выходными переменными.Прииспользованииметода переменных состояния вначале составляется уравнениесостояния, запись которого представляет собой нормальную форму обыкновенногодифференциального уравненияx  Ax  f ,f  B, x(0)=x0 .(1)Здесь x = x(t) = [x1(t) x2(t)…xn(t)]T – вектор-столбец переменных состояния xj, вкачестве которых выбираются токи iLj индуктивных и напряженияuCj емкостныхэлементов, υ = υ(t)=[ υ1(t) υ2(t)… υm(t)] T – вектор-столбец э.д.с и токов источников токацепи, А и В – соответственно nxn nxm-матрицы, коэффициенты которых выражаютсячерез параметры накопительных и резистивных элементов.

Второе уравнение связываетпеременные состояния с искомыми переходными токами и напряжениями и входнымипеременными:y  Cx  D .(2)Здесь y = y(t) = [y1(t) y2(t)…yk(t)]T – вектор-столбец выходных переменных yj , С иD – соответственно nxk kxm –матрицы. Таким образом, метод переменных состояниядолжен включать:1. алгоритм формирования уравнений (1) и (2)2.

алгоритм решения уравнений состояния как задачи Коши применительно кклассу входных воздействий.Для составления уравнений состояния достаточно учесть, что производныеx j (t ) весьма просто выражаются через напряжения индуктивных и токи емкостныхэлементов, а именно:diLjdtuLjL,duCjdtiCjC.Тогда для определения производных, т.е. производныхdiLjdt,duCjdtдостаточнонайти линейную связь между каждым из напряжений индуктивных элементов uLj, а такжекаждым током емкостных элементов iCj и всеми переменными состояния. Уравнениясостояния можно формировать по специально разработанным алгоритмам.

Наиболеецелесообразен способ формирования уравнений состояния, основанный на использованиипринципакомпенсациииметоданаложения.Накопителивцепяхзаменяютсоответственно источником тока для индуктивного элемента J  iL (t ) и источником э.д.сдля емкостного элемента e  uC (t ) . Полученные резистивные цепи эквивалентныисходным цепям, но описываются чисто алгебраическими уравнениями.Пример 9.8 Составить уравнение состояния цепи после коммутацииРешение: Уравнение состояния x  Ax  B(t ) ,i Вектор-столбец переменных состояния x   L  ,uC  diL  dt вектор-столбец первых производных x  . duC  dt Вектор столбец входных воздействий (t )  e(t ) .Применим теорему компенсации,заменив накопители эквивалентными источниками:По методу наложения uL  uL L   uL C   uL  , iC  iC L   iC C   iC  .

Частичные схемы:iueiНапряжение на катушке по методу наложения: uL  LТок в конденсаторе: iC  CduC1 iL  uC  0 .dtR2Уравнение состояния имеет вид: diL    R1 dt   L duC   1 dt   C1  e(t ) L   iL   L .1  uC  0 R2C uediL  R1iL  uC  e(t ) .dt.