l16 (Лекции)

8.4. Нелинейные электрические цепи переменного токаКак уже отмечалось, при использовании нелинейных элементов в цепях переменноготока возникает ряд явлений, принципиально не возможных в линейных цепях.Нелинейный элемент обладает способностью преобразовывать спектр воздействующихпериодических э.д.с. (источников напряжения или тока). Нелинейные электрические цепипеременного тока содержат нелинейные индуктивности, емкости и безынерционные втепловом отношении активные сопротивления. Токи и напряжения в них в той или инойстепени несинусоидальные. Токи и напряжения строго синусоидальны в нелинейныхцепях, содержащих только инерционные в тепловом отношении нелинейные элементы.8.4.1. Трудности, возникающие при расчете нелинейных цепей переменноготокаТрудности расчета нелинейных цепей физически обусловлена тем, что нелинейныеэлементы являются генераторами высших гармоник, причем амплитуда и фаза каждойгармоники сложным образом зависит от амплитуд и фаз остальных гармоник.

Прианализе нелинейных цепей необходимо решить ряд задач:определить диапазон изменения параметров схемы, при которых наблюдаетсяисследуемое явление (например, стабилизация тока или напряжения) на первойгармонике;определить диапазон изменения параметров схемы, при которых наблюдаетсяисследуемое явление на k-ой гармонике;определить возможность возникновения резонансных явлений на разныхгармониках (максимума тока в отдельных ветвях и максимума напряжения наотдельных участках).В формальном математическом отношении трудности выражаются в том, чтоуравнения, составленные для нелинейных цепей по второму закону Кирхгофа, являютсянелинейными дифференциальными уравнениями.8.4.2.

Допущения при расчете установившихся режимов в нелинейных цепяхпеременного токаОбщими допущениями (при невысоких частотах) являются пренебреженияраспределенными емкостями индуктивных катушек, индуктивностями, обусловленнымипотоками рассеяния, межэлектродными емкостями полупроводниковых выпрямителей.Эти параметры часто называют паразитными.

Однако они играют существенную роль втом случае, если остальные (учитываемые) параметры становятся весьма малыми.При расчете цепи с нелинейной индуктивностью обычно не учитывают гистерезис ипотери в сердечнике, или учитывают их приближенно. Иногда полагают активныесопротивления обмоток равными нулю. Аналогично поступают при расчетах цепей снелинейной емкостью.Замена реальной характеристики нелинейного элемента той или иной аналитическойзависимостью также является также является допущением, возможным только придостаточно низких частотах.

При весьма высоких частотах расчет любой электрическойцепи представляет собой достаточно сложную задачу и может быть решена только путемиспользования аппарата теории электромагнитного поля.8.4.3. Методы расчета нелинейных цепей переменного токаНаиболее широко распространены следующие методы расчета:1) графический метод, в котором используются характеристики нелинейногоэлемента для мгновенных значений;2) кусочно-линейная аппроксимация характеристики нелинейного элемента;3) аналитическая аппроксимация характеристики нелинейного элемента;4) аналитический или графический метод, в котором используетсявольтамперная характеристики нелинейного элемента по первымгармоникам (метод гармонического баланса по первой гармонике);5) аналитический или графический метод, в котором используетсявольтамперная характеристики нелинейного элемента по действующимзначениям;6) итерационные методы;7) расчет с помощью линейных схем замещения.Рассмотрим более подробно несколько методов расчета нелинейных цепейпеременного тока.Графический метод, в котором используются характеристики нелинейногоэлемента по мгновенным значениям.Преимуществом метода являются простота, наглядность, легкость учетагистерезисных явлений.

Этот метод иногда называют «метод трёх проекций» или «методтрёх плоскостей». Однако, его сложно использовать для анализа разветвленных цепей.Пусть в цепи с нелинейным элементом (НЭ) действует источник синусоидальногонапряжения u(t )  U m sin t (рис. 8.21).

Известна вольтамперная характеристика u (i)нелинейного элемента по мгновенным значениям. На рис. 8.22 показан графическийспособ построения кривой тока по методу трех проекций. Как видно из построения, токнелинейного элемента – несинусоидальный, в силу симметричности характеристики несодержит постоянной составляющей.Рис.

8.21Рис. 8.22Кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейного элементаВозможно графическое и аналитическое решение. Прежде всего осуществляетсязамена реальной вольтамперной (вебер-амперной, кулон-вольтной) характеристикикусочно-линейной (отрезками прямых линий). Кривая тока или напряжения строится пометоду трех проекций. Аналитическое решение заключается в подстановке в нелинейныеуравнения уравнений прямых, при этом на каждом участке линейности задача решаетсякак линейная; для удобства рисуют схемы замещения на каждом участке линейности.Необходимо согласование решения на одном участке линейности с решением на другомучастке, расчет координат точек перехода с одного линейного участка на другой (угловотсечки).Графическое решение.

На рис. 8.23 реальная характеристики нелинейного элемента(выделена синим цветом) заменена кусочно-линейной. Определен  - угол отсечки;условие перехода от одного участка линейности к другому u (t ) t   U 0 , илиU m sin =U 0 .Рис. 8.23Аналитическое решение:1. На участке линейности U 0  u  U 0 ток равен нулю, схема замещения НЭ –«разрыв».2. На участках линейности u  U 0 и u  U 0 ток не равен нулю, схема замещенияНЭ – резистор Rэ и источник напряжения Eэ  U 0 .Схема замещения:Аналитически на этом участке ток можно определить по формуле i(t ) U m sin t U 0.RэЗнак минус соответствует условию i(t )  0 . Угол отсечки можно найти из условия i()  0или u ()  U 0 .Решение, полученное методом кусочно-линейной аппроксимации, имеет вид:U m sin t U 0,   t         t  2  Rэ.i (t )  {0, 0  t       t     2    t  2Как видно, реальная кривая (выделена синим цветом) отличается от кривой тока,соответствующей решению методом кусочно-линейной аппроксимации.Аналитический и графический метод расчета по первым гармоникам токов инапряжений.Порядок расчета:1.

Выражают аналитически вольтамперную характеристику нелинейного элементадля мгновенных значений.2. Путем подстановки в аналитическое выражение i (u ) или u (i) первой гармоникинапряжения или тока определяют нелинейную связь между амплитудой первойгармоники тока нелинейного элемента и амплитудой первой гармоникинапряжения на нелинейном элементе.3. В уравнение, составленное для исследуемой цепи по второму закону Кирхгофаподставляют мгновенные значения первых гармоник (высшими пренебрегают).4.

Уравнение разбивают на два: равенство коэффициентов при синусных слагаемых иравенство коэффициентов при косинусных.5. Решают совместно эти уравнения.Анализ нелинейных цепей переменного тока путем использованиявольтамперной характеристики для действующих значений.Замена реальных несинусоидальных кривых токов и напряжений эквивалентнымисинусоидальными кривыми. На рис. 8.24 показаны кривые несинусоидального тока иэквивалентной синусоиды.Рис. 8.24ЭквивалентнаяTT00синусоидальнаякриваяiэ (t )рассчитываетсяизусловия:22 i (t )dt   iэ (t )dt , т.е. действующее значение реальной несинусоидальной кривой i(t )равнодействующемузначениюэквивалентнойсинусоидыiэ (t ) .Амплитудаэквивалентной синусоиды I m  2 I э .

Введение эквивалентной синусоиды позволяетсущественно упростить анализ нелинейных цепей при действии синусоидальных э.д.с.,таккакпоявляетсявекторнымивозможностьдиаграммами,пользоватьсярассчитыватькомплекснымэквивалентныеметодомпараметрырасчета,нелинейногоэлемента с учетом потерь.Замечание: Если нет насыщения и исследуются нерезонансные цепи, то действующеезначение несинусоидального токаили напряжения сравнительно мало отличается отдействующего значения первой гармоники тока или напряжения.8.5.

Индуктивные и емкостные нелинейные элементы в цепи переменного токаК индуктивным нелинейным элементам электрических цепей относятся всеустройства,вкоторыхмагнитныйпотокзамыкаетсяхотябычастичнопоферромагнитным материалам. Нелинейность таких элементов является следствиемзависимости r  r ( H ) . Простейшими элементами такого рода являются катушки ссердечником из ферромагнитного материала, в которые могут включаться воздушныезазоры.