Lek9 (Лекции)

4.5 Расчет цепей с индуктивно-связаннымиЛинейный трансформаторэлементами.Явления самоиндукции и взаимоиндукции наблюдаются при изменении тока впроводниках и наличии замкнутых контуров, образованных этими проводниками. В такомслучае возникают индукционные токи и ЭДС (напряжения) самоиндукции, при наличиииндуктивной связи (общего магнитного поля) - ЭДС (напряжения) взаимоиндукции.Количественная связь между изменением тока во времени и наведенной ЭДСсамоиндукции (или напряжения самоиндукции)определяется через собственнуюиндуктивность.

В случае, если изменение тока в контуре приводит к индуктированиюЭДС (напряжения) в другом контуре, то определяется взаимная индуктивностьконтуров с током. Явление взаимоиндукции лежит в основе действия трансформаторов,генераторов, двигателей и т.д. В ряде случаев явление взаимоиндукции негативно влияетна процессы, например, вызывает помехи, перенапряжения в линиях связи.При наличии индуктивно- связанных элементов расчет цепей синусоидального токаусложняется. Рассмотрим две катушки с числом витков w1 и w2 .

Пусть в первой катушкеток i1 , тогда 11  w111 – собственное потокосцепление первой катушки ( 11 –магнитный поток в одном витке первой катушки). Пусть часть потокосцепления Ψ11пронизывает витки второй катушки,12 – потокосцепление взаимоиндукции,сцепленная с витками второй катушки. Потокосцепление взаимоиндукции Ψ12 создаетсятоком первой катушки, пронизывает витки второй.

Пусть во второй катушке ток i2 , 22  w222 – собственное потокосцепление второй катушки (  22 - магнитный поток водном витке второй катушки),  21 – потокосцепление взаимоиндукции (создается токомвторой катушки, пронизывает витки первой). В таком случае катушки являютсяиндуктивно-связанными элементами.Параметры индуктивно-связанной системы элементов1:L1 111– собственная индуктивность первой катушки [Генри],i1При условии линейности индуктивных катушек, т.е. линейной связи между потокосцеплением и токомL2  22– собственная индуктивность второй катушки [Генри],i2M  M12  M 21 – взаимоиндуктивность [Генри]Для количественной оценки влияния одной катушки на другую вводят понятиекоэффициента связи kсв M12 M 21M.L1L2L1L2Коэффициент связи зависит от геометрии катушек, от взаимного расположения,от среды, в которой расположены эти катушки (от магнитопровода).

Коэффициент связивсегда 0  kсв  1 , т.к. практически всегда присутствует рассеяние магнитного потока.Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек.Два зажима разных катушек называют одноименными, если при одинаковыхнаправлениях токов катушек относительно этих зажимов магнитные потокисамоиндукции и взаимной индукции направлены одинаково (суммируются).Одноименные зажимы обозначаются одинаковыми значками (,  или ).На рисунке показан пример разметки катушек (определения одноименныхзажимов).a и с одноименные зажимыb и с одноименные зажимыПоложительные направления ЭДС и напряжения взаимной индуктивностиЗа положительные направления ЭДС и напряжения само- и взаимоиндукциипринято направление, совпадающее с направлением соответствующего тока поотношению к одноименным зажимам.По закону электромагнитной индукции Фарадея, напряжения на индуктивносвязанных катушках определяются соотношениями:uL1 d11did 22di L1 1 , uL 2  L2 2 ,dtdtdtdtuM 12 d12didid 21didi M12 2  M 2 , uM 21  M 21 1  M 1 .dtdtdtdtdtdtПерейдем в комплексную расчетную область, т.е.

от мгновенных значений токов инапряжений к соответствующим комплексным токам и напряжениям. Тогданапряжениясамоиндукции,U L1  jL1 I1  jX L1 I1 ,U L 2  jL2 I2  jX L 2 I2 -U M 12  jM12 I2  jX M I2 - напряжение взаимоиндукции в первой катушке от второготока, U M 21  jM 21 I1  jX M I1 - напряжение взаимоиндукции во второй катушке отпервого тока, X M  M - комплексное сопротивление взаимоиндукции.Последовательное соединение индуктивно-связанных катушек.Если катушки соединены последовательно, то различают согласное и встречноевключение индуктивно-связанных катушек. При согласном включении потокисамоиндукции и взаимоиндукции складываются (напряжения самоиндукции ивзаимоиндукции суммируются).

При встречном включении потоки самоиндукции ивзаимоиндукции направлены противоположно (напряжения самоиндукции ивзаимоиндукции вычитаются).Рассмотрим согласное включение индуктивно-связанных катушек. Напряжение накатушках имеет три составляющие: напряжение самоиндукции U L , напряжение U R ,обусловленное активными потерями,и напряжение взаимоиндукции U M . Припоследовательном соединении катушек все напряжения определяются одним и тем жетоком ветви I .

При согласном включении катушек напряжение самоиндукции инапряжения складываются.При согласном включении:U ab  U кат1  U кат2   R1  jX L1  jX M  I   R2  jX L 2  jX M  IU кат1U кат2U ab   R1  jX L1  jX M  R2  jX L 2  jX M  IZ согл.При встречном включении напряжение на катушках также имеет трисоставляющие, но напряжения самоиндукции и взаимной индукции вычитаются:При встречном включении:U ab  U кат1  U кат2   R1  jX L1  jX M  I   R2  jX L 2  jX M  IU кат1U кат2U ab   R1  jX L1  jX M  R2  jX L 2  jX M  IZ встр.Таким образом, при согласном включении комплексное сопротивление участка ab:Zсогл  R1  jX L1  R2  jX L2  2 jX M  Zсогл согл ,привстречномвключении:Zвстр  R1  jX L1  R2  jX L2  2 jX M  Zвстрвстр.Если напряжение на участке ab U ab  U  const , то при согласном включениидействующее значение тока I согл  I встр , а согл  встр .

По результатом измеренийдействующих значений токов и сдвига фаз межу напряжением и током можно определитьсопротивление взаимоиндукции и провести разметку катушек:X согл  X L1  X L 2  2 X M  Z согл sin согл Usin согл ,I соглX встр  X L1  X L 2  2 X M  Z встр sin встр Usin встр ,I встртогда X M  M X согл  Х встр4.Замечание: При встречном включении катушек возможен вариант, когданапряжение на одной из катушек может отставать от тока, однако суммарное напряжениена обеих катушках будет все равно опережающим по отношению к току. Понятиясогласного и встречного включения могут быть применены только для последовательногосоединения индуктивно связанных катушек.Трансформатор в линейном режиме.В простейшем случае трансформатор представляет собой две индуктивносвязанные катушки, которые называют обмотками (см.

§5.2). Как правило, обмоткирасположены на общем сердечнике.Воздушный трансформатор не имеет сердечника исистемой уравнений.Расчетная схема воздушного трансформатора имеет вид:описывается линейнойСоставим уравнения по второму закону Кирхгофа для первичной и вторичнойобмотки:U1  U R1  U L1  U M12  ( R1  jX L1 ) I1  jX M I20  U R2  U L2  U н  U M 21  ( R2  jX L 2 ) I2  jX M I1  Z н I2U 2  Z н I2Определим входное сопротивление первичной обмотки, выразив из уравненийотношение напряжения и тока первичной обмотки:U1XM2XM2Z вх  Rвх  jX вх  R1  2R22  j ( X L1  2X 22 ) ,2I1R22  x22R22  X 222где R22  R2  Rн , X 22  X 2  X н .РассчитываютRвносXM2 2R22R22  X 222иX вносXM2 2X 22R22  X 222-вносимоесопротивление в первичную цепь от вторичной, характеризующее влияние вторичнойветви на режим в первичной ветви.

Условие передачи максимальной мощности изпервичной во вторичную цепь Rвнос  R1 и X внос  X1  0 .В режиме холостого хода Z н   , ток I2  0 и уравнения имеют вид:U1  U L1  U R1  ( R1  jX 1 ) I1U M 21  jX M I1  U 2Измерив действующее значение напряжения и тока первичной обмотки, угол сдвигафаз между напряжением и током можно определить параметры первичной катушки,измерив действующее значение напряжения вторичной обмотки ‒ сопротивлениевзаимной индукции.Расчетная схема линейного трансформатора с разомкнутой вторичной обмоткойимеет вид:Так как ток I2  0 , то в зависимости от разметки катушек напряжение на вторичнойобмотке U 2   jX M I1   Z М I1 , напряжение на первичной обмотке U1  ( R1  jX1 ) I1  Z1 I1 :Действующие значения напряжений U1 и U2, тока I1 будут одинаковыми длявариантов а) и b); при построении векторной диаграммы необходимо учитывать знакU 2   jX M I1 .Векторная диаграмма комплексных токов и напряжений в режиме холостого хода:Аналогично можно определяются параметры второй катушки при подключении ее квыходу генератора.Коэффициент трансформации1.

Коэффициент трансформации положительное число n= w1 / w2, гдеw1 - число витков первичной обмотки, w2 - число витков вторичной обмотки.2. Комплексный коэффициент трансформации по напряжению KU 3. Комплексный коэффициент трансформации по току K I U1.U2I2.I1Требования к идеальному трансформатору1. Активное сопротивление первой и второй обмоток должно бать как можно меньше,т.е. R1 0, R2 0.2. Коэффициент связи kсв  1 или M L1L2 .3.

Реактивное сопротивление первой и второй обмоток должно максимальнобольшим, т.е. L1, L2.4. Для идеального трансформатора KU U1Iw KI  2  n  1 .U2I1w25. Комплексная мощность первичной цепи равна комплексной мощности вторичнойцепи: S1  S2 , P1  P2 , Q1  Q2 .6. Идеальный трансформатор преобразует сопротивление нагрузки пропорциональноквадратукоэффициентатрансформациибезизмененияаргумента:Z вх.ид.тр  ра U1 nU 2 n2 Z нI2I1nЗамечание: Идеальный трансформатор преобразует только модуль сопротивлениянагрузки, без изменения аргумента или характера этой нагрузки..