Lek8 (Лекции)

4.4 Резонанс в электрической цепиРезонанс напряжений.Рассмотрим последовательное соединение резистора с сопротивлением R , идеальнойкатушки с индуктивностью L и идеального конденсатора с емкостью C ( RLC контур).Пусть напряжение на входе u (t )  U m sin t , частота   2f .Для мгновенных значений напряжений научастках, напряжения и токаu(t )  uR (t )  uL (t )  uC (t ) ,uR (t )  Ri(t ) ,uL (t )  Ldi1, uC (t )   idt .CdtПрименим комплексный метод расчета. Комплексная схема замещения на заданнойчастоте ( X L  L , X C  1 C ) имеет вид: U  U R  U L  U C  Z  IПолное (входное) комплексное сопротивление:ZU R  jX L  jX C  R  j ( X L  X C ) .IXВекторные диаграммы комплексов напряжения и комплекса тока:При X L  X C ток отстает отПри X L  X C ток опережаетПри X L  X C ток и входноевходного напряжения(индуктивный характервходного сопротивления)входное напряжение(емкостной характервходного сопротивления)напряжение совпадают пофазе (резистивный характервходного сопротивления)При изменении частоты входного синусоидального напряжения проводятсяизмерения действующих значений тока, напряжения на отдельных элементах, строятсячастотные характеристики Z () , () и резонансные кривые I () , U R () ,U L () , U C () .

Действующее значение напряжения на входе в таком случаеподдерживается неизменным.При равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений в цепи наблюдаетсярезонанс напряжений. В таком случае в любой момент времени мгновенные значениянапряжений на реактивных элементах равны, сдвинуты по фазе на половину периода и,следовательно, противоположны по знаку. Входное напряжение совпадает с напряжениемна резисторе, т.е. совпадает по фазе с током.

Реактивные мощности также равны ипротивоположны по знаку, увеличение энергии магнитного поля в катушке происходит врезультате уменьшения электрической энергии, запасенной в конденсаторе; увеличениеэлектрической энергии из-за уменьшения магнитной энергии. Происходит обмен энергиимежду реактивными элементами, генератор расходует энергию на активномсопротивлении. Коэффициент мощности в условиях резонанса cos  R 1 , так какZX  X L  X C  0 и Z  R . Угловая частота 0 (  р ), при которой наблюдаетсярезонанс находится из условия 0 L 1. Для исследованияLC1, т.е равна 0 0Cрезонансных явлений вводят расчетные величины: характеристическое сопротивление  0 L U1и добротность конура Q  LU0C0UCU0.RРезонансные кривые тока и напряжения также строят в относительных единицах; дляразных значений добротности контура кривыеРезонансные кривые напряжений:I() имеют вид:IpЗамечание: Для цепи с добротностью Q  12 возрастание UL от нуля до значенияU происходит монотонно, а для цепи с добротностью Q  12 напряжение UL принекоторой частоте L   p достигает максимального значения ULmax>U, а затемуменьшается до значения U.

Для цепи с добротностью Q  1монотонно убывает от U до нуля, а для цепи с добротностью Q  12 напряжение UС2 напряжение UСпри некоторой частоте C   p достигает максимального значения UCmax >U, а затемуменьшается до нуля.Частотные характеристики последовательного контура:Резонансные кривые и частотные характеристики показывают, что цепь обладаетизбирательными свойствами: обладает наименьшим сопротивлением для тока тойчастоты, которая наиболее близка к резонансной. Избирательные свойства широкоиспользуются в электротехнике и радиотехнике. При этом режим резонанса являетсянормальным режимом работы устройства. Наоборот, в устройствах, где резонансныйрежим не предусмотрен, значительные токи и напряжения могут быть опасными.

Дляоценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонанснойкривой или полосы пропускания контура, которую определяют как разность частот,между которыми ток превышает значениелинии I Ip2(Ip2(I1). Пересечение горизонтальнойIp2I1) с резонансными кривыми определяет граничные частоты 1 иIp22, между которыми расположена полоса пропускания.Чем выше добротность, тем уже полоса пропускания: Q p1 2. Модулькомплексного сопротивления цепи2   p 1 1 22 22Z ()  R 2   L RLR1Qp   LC C pppIpДействующее значение тока I () .2  p 1  Q2  p22Пример 16. На осциллографе представлены резонансные кривые RLC -контура дляU=10 В, L=10 мГн, С=100 мкФ, R=10 Ом.

Резонансная частота 0=1000 рад/с, добротностьQ=1.U C ()U L ()U R ()00Пример 17. На осциллографе представлены резонансные кривые RLC -контура дляU=10 В, L=10 мГн, С=100 мкФ, R=20 Ом. Резонансная частота 0=1000 рад/с, добротностьQ=0,5.U C ()U R ()U L ()0Параллельное соединение активных и реактивных элементов. Резонанс токов.Рассмотрим параллельное соединение двух активно-индуктивных приемников.Активное сопротивление и индуктивность первого приемника R1 и L1 , второго приемникаR2 и L2 . Требуется определить коэффициент мощности каждого приемника и всей цепи.Пусть действующее значение синусоидального источника напряжения U , угловаячастота   2f .

Полные сопротивления (импедансы) первой и второй ветвиZ1  R12  (L1 )2  R12  X12иZ 2  R22  (L2 )2  R22  X 22 . Действующиезначения токов первой и второй ветви I1 UR X2121и I2 UR X2222. Токи в ветвяхотстают от приложенного напряжения на углы 1 и 2 , определяемые из равенстваR1Rи cos 2  2 (коэффициенты мощности приемников). Примем начальнуюZ1Z2фазу приложенного напряжения за нулевую ( U  U 0 ), векторная диаграммакомплексных токов I1  I11 и I2  I 22 будет иметь вид:cos 1 Ток в ветви с источником I представляет собой векторную сумму токов I  I1  I2 .Геометрически каждый вектор может быть представлен как сумма двух составляющих:активной (направлена по вектору напряжения) и реактивной (перпендикулярна векторунапряжения): I  Iа  I р , I1  I1а  I1 р , I2  I2 а  I2 р .

Активная и реактивнаясоставляющие могут быть определены как I1а  I1 cos 1 , I 2 а  I 2 cos 2 , I1 р  I1 sin 1 ,I 2 р  I 2 sin  2 . Активная составляющая суммарного тока I а  I1а  I 2а , реактивнаясоставляющая I р  I1 р  I 2 р . Действующее значение тока I мощности всей цепи cos  Iа.II а2  I р2 , коэффициентРассмотрим параллельное соединение двух ветвей, одна из которых содержитактивное сопротивление R и индуктивность L , другая - конденсатор емкостью С.Пусть начальная фаза приложенного напряжения принята за нулевую ( U  U 0 ),тогда ток в ветви с индуктивностью и активным сопротивлением отстает от напряженияна угол 1 и содержит активную и реактивную составляющие, а ток в ветви с идеальнымконденсатором опережает напряжение на угол 2   2 и содержит только реактивнуюсоставляющую.Подключение ветви с идеальным конденсатором к активно-индуктивному приемникууменьшает реактивную составляющую суммарного тока, т.е. увеличивает коэффициентмощности всей цепи.

Кроме того, действующее значение суммарного тока становитсяменьше, что приводит к уменьшению потерь в соединительных проводах и обмоткахгенераторов. Чтобы повысить экономичность энергетических установок используютбатареи конденсаторов, подключаемые параллельно активно-индуктивной нагрузке.Можно подобрать величину емкости так, чтобы реактивная составляющаясуммарного тока равнялась нулю, тогда действующее значение тока будет минимальными равным активной составляющей.

В таком случае I 2  I 2 р  I1 р  I1 sin 1 ,I2 UL1U L1U 2 U C , I1 sin 1 ,22222R(L)XCR1  (L1 )R1  (L1 )11следовательно, C L1L1Cи. Ток на входе цепи и напряжениеR12  (L1 )2R12  (L1 )2будут совпадать по фазе и в цепи будет наблюдаться резонанс токов.Обмен энергий при резонансе.Определим сумму энергий электрического и магнитного полей цепиW=WЭ+ WМ. Пусть ток в контуре i(t )  I m sin t , напряжение на емкостном элементе прирезонансной частотеuC (t ) 1idt  U Cm sin( pt  )  U Cm cos  pt .C22CU CmLi 2 CuC2 LI m2sin 2  pt cos 2  pt ,но22222CU CmLI 21LIm I m , откуда m . Следовательно, суммарная энергия pCC22СуммарнаяU CmэнергияW22LI m2CU CmLI m2 CU Cm22Wsin  pt cos  pt  const (не изменяется с течением2222времени).

Уменьшение энергии магнитного поля сопровождается увеличением энергииэлектрического поля и наоборот. Энергия, поступающая в цепь от источника питания,целиком переходит в теплоту. Максимальная активная мощность достигается приU2. Для частот в полосе пропускания  1; 2  активнаяR Ppмощность P   ; Pp  .2резонансе: Pp  I p R 2Резонанс в сложных разветвленных цепях.В разветвленных цепях, содержащих реактивные элементы, условием резонансаявляется равенство нулю мнимой части комплексного входного сопротивления илипроводимости: Im  Z вх   0 или Im Yвх   0 .

У разветвленной цепи с несколькимиреактивными элементами может быть несколько резонансных частот. Для чистореактивных участков может быть обеспечен резонанс токов или резонанс напряжений.Условие резонанса для цепей, содержащих активные сопротивления, определяеттакже условие максимальной активной мощности, т.к. в таком случае входноесопротивление оказывается чисто активным, ток и напряжение на входе совпадают пофазе, cos   1 .Пример 18. Известны параметры элементов цепи, действующее значение напряженияна входе U = const. Определить резонансные частоты.Решение. p1L Резонанс токов будет наблюдаться, еслиI1  I2  I3  0 .

Тогда11и резонансная частота  p1 . Для резонанса напряжений или p1C2LC21 j p 2 L   j  C 1p2 2 j0C1p2 1 j p 2 L  j p 2 C2  L   C2 1 0 , т.е. такой резонанс p 2C11   p 2 L Cp2 2 1возможен при условии, что  p 2 L ,  p 2   p1 . При резонансе напряжений p 2C2модуль тока I1 будет максимален, комплексные ток I1 и напряжение U будут совпадатьпо фазе, т.к. Im  Z вх   0 .Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному в цеписинусоидального токаРассмотрим соединение активного двухполюсника (А) с пассивным (П).

Представимактивный двухполюсник последовательной схемой замещения с параметрами U хх , Z вх , апассивный как Z н .ПоIметодуэквивалентногоU xx( Rвх  Rн )  ( X вх  X н )22генераторадействующеезначениетока:, где Zвх  Rвх  jX вх , Zн  Rн  jX н .Условия передачи максимальной мощности:1) X вх  X н  0 (сумма реактивных составляющих равна нулю);2)таккакU xx, тоI( Rвх  Rн )наблюдается при условиидолжноравняться2RнU хх, максимум мощностиP  Rн I ( Rвх  Rн )22dP 0 , т.е Rн  Rвх (активное сопротивление нагрузкиdRнактивномусопротивлениюисточника).Следовательно,Zн  Rн  jX н  Rвх  jX вх  Z вх . К. п.