Lek5 (Лекции)

3.7 Принцип наложения и метод наложенияДля линейных электрических цепей справедлив принцип наложения, согласнокоторому ток (напряжение) любой ветви равен сумме частичных токов (напряжений),создаваемых в этой ветви каждым из источников в отдельности. Этот принцип лежит воснове метода наложения. Метод наложения применим только для расчета линейныхцепей.Частичный ток – ток в ветви от действия только одного источника энергии, когдавсе остальные источники приняты нулевыми. Пусть в цепи действуют n идеальныхисточников ЭДС и m идеальных источников тока.

Тогда ток в i-ой ветви может бытьопределен какIi  Ii( E1 )  Ii( E2 )  Ii( En )  Ii( J1 )  Ii( J2 )  Ii( Jm ) .Для удобства использования принципа наложения вводят коэффициенты gij и kij,определяющие связь тока Ii со значениями источников, так как при действии одногоисточника ток в линейной цепи пропорционален величине источника:Ii  gi1E1  gi 2 E2  gin En  ki1J1  ki 2 J 2  kim J m ,где gij – взаимная проводимость ветвей i и j (при j=i gij = gii называют входнойпроводимостью ветви i), а kij – коэффициент передачи по току между ветвями i и j.Взаимная проводимость (коэффициент передачи по напряжению) gij определяетсякак отношение тока в ветви i, обусловленного действием ЭДС Ej квеличине этой ЭДС(E )Ii jпри условии, что остальные ЭДС и токи источников тока цепи равны нулю: gij .EjКоэффициент передачи по току kijопределяетсякак отношение тока в ветви i,обусловленного действием источника тока Jj к току источника при условии, что(J )Ii jостальные источники ЭДС и токи источников тока равны нулю: kij .

ОпределитьJjчастичные токи и соответственно коэффициенты можно по частичным схемам.Используя расчетные коэффициенты можно решать не только задачи прямого анализаэлектрических цепей, но и обратные задачи, в которых часть параметров цепи сизвестной топологией неизвестна и подлежит определению, а в число известныхпараметров могут быть включены токи и напряжения некоторых ветвей цепи.Пример 8. Определить ток I5, применив метод наложения. Определить значение ЭДСЕ1, при котором I5=0.По методу наложения I5  I5( E1 )  I5( E5 )  I5( J6 )  g51E1  g55 E5  k56 J 6 .Частичная схема для расчета частичных токов от источника Е1 (Е5=0, J6=0):Применим эквивалентные преобразования: R34 R3  R4(параллельное соединениеR3  R4резисторов), R345  R34  R5 (последовательное соединение), R3452 соединение).

Входная проводимость 1-ой ветви g11 1Rвх ( E1 )R345  R2(параллельноеR345  R2, где входное сопротивление 1-ой ветви Rвх( E1 )  R3452  R1 . Частичный ток в ветви с источником I1( E1 ) формуле разброса I 5( E1 )  I1( E1 )См. Лекцию №3.R2R2   g11 E1  g51E1 .R345  R2 R345  R2 E1Rвх( E1 ) g11E1 . ПоЧастичная схема для расчета частичных токов от источника Е5 (Е1=0, J6=0):Применим эквивалентные преобразования: R12 R1  R2R R, R34  3 4 (параллельноеR1  R2R3  R4соединение резисторов). Входная проводимость 5-ой ветви g55 сопротивление Rвх ( E5 )  R12  R34  R5 , тогда I 5( E5 )  g55 E5 1Rвх ( E5 ), где входное1E5 .R12  R34  R5Частичная схема для расчета частичных токов от источника J6 (Е1=0, Е5=0):Применим эквивалентные преобразования: R12 R1  R2R R, R34  3 4 (параллельноеR1  R2R3  R4соединение резисторов), R125  R12  R5 (последовательное соединение).

Напряжение наисточникеI 5( J6 )  токаU  J 6  Rвх ( J6 ) ,гдеRвх ( J6 ) R125  R34,R125  R34тогдачастичныйтокUR34J  k56 J .R125R125  R34Сумма частичных токов: I5  I5( E1 )  I5( E5 )  I5( J6 ) , коэффициенты передачи g51  0 , g55  0 ,k56  0 .Результат наложения частичных токов равен нулю, т.е. I5  g51E1  g55 E5  k56 J 6  0 ,если при неизменности параметров остальных элементов значение ЭДС будет равноE1  g55 E5  k56 J 6.g513.8Уравнение баланса активных мощностейПо закону сохранения энергии для замкнутой цепи вся мощность, котораявырабатывается источником энергии, должна полностью поглощаться потребителямиэнергии.

Равенство мощностей генераторов (источников) и приемников (нагрузок)называют балансом мощностей:P  Pгпр.Активная мощность потребителя (приемника):Активная мощность источников (источников напряжения и источников тока):Если направление тока ветви совпадает с направлением ЭДС источника напряжения Е,активная мощность участка (ветви) учитывается в уравнении баланса со знаком «+». Еслинаправление тока ветви не совпадает с направлением ЭДС, такой участок (ветвь)рассматривается как активный потребитель, активная мощность источника ЭДСучитывается в уравнении баланса со знаком «-». Для источника тока J знак, с которыммощность источника тока входит в уравнение баланса определяется тем, как рассчитанонапряжение U J на участке с источником тока.Таким образом, должно выполняться равенство (уравнение баланса активныхмощностей) E I  Un nnmJmJ m   I k2 Rk .kПример 9. Дано: R1= 40 Ом, Е1 = 220 В, R2 = 200 Ом, Е2 = 100 В, R3 = 100 Ом,Е3 =120 В.Составить уравнение баланса активных мощностей.Токи ветвей (см.

Пример 7, Лекция №4): I1  1,625 А; I 2  1, 275 А; I3  0,35 А.Составим уравнение баланс а активных мощностей:Активная мощность источников:PEE1I1  E2 I 2  E3I3  220 1,625  100 1,275  120  (0,35)  443 Вт.Активная мощность приемников:PRI12 R1  I 22 R2  I 32 R3  1,6252  40  1,2752  200  (0,35)2 100  443 ВтУравнение баланса активных мощностей выполняется.3.9Метод эквивалентного генератораПри анализе сложных электрических цепей часто требуется определить ток инапряжение только в одной ветви. В этом случае используют метод эквивалентногогенератора.

Выделяют исследуемую ветвь (активную или пассивную), присоединенную ксложной цепи. Остальная часть цепи с двумя выделенными узлами представляет собойактивный двухполюсник. По отношению к выделенной ветви активный двухполюсникможно преобразовать в эквивалентный генератор.Теорема Тевенена – Гельмгольца: если активный двухполюсник, к которомуприсоединена выделенная ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению назажимах разомкнутой ветви и сопротивлением, равным входному сопротивлению, то ток вэтой ветви не изменится.Математическая формулировка теоремы для нахождения тока пассивной ветви abвыражается формулой Тевенена:I ( ab ) U ххab.Rвхab  RabЭтому равенству соответствует расчетная схема:Применение теоремы об эквивалентном генераторе позволяет свести расчет сложнойцепи к расчету одноконтурной схемы по закону Ома.Если выделенная ветвь содержит источник ЭДС, тогда расчетная схема будет иметьвид:I ( ab ) U ххab  Eab.Rвхab  RabАлгоритм расчета по методу эквивалентного генератора:1.

Находят напряжение холостого хода U õõab на зажимах разомкнутой ветви ab.2. Определяют входное сопротивление двухполюсника, преобразуя его впассивный (все внутренние источники ЭДС и тока принимают равныминулю).3. Определяют искомый ток по формуле Тевенена.Можно использовать формулу Нортона, соответствующую параллельной схемезамещения активного двухполюсника:U ( ab ) I кзab.Gвхab  Gab3.10 Передача энергии от активного двухполюсника к пассивномуОпределим условия, при которых мощность пассивного двухполюсника (приемника)максимальна. По теореме об эквивалентном генераторе ток и напряжение в приемнике Rможно определить по расчетной схеме эквивалентного генератора.Напряжение U ab  U хх  IRвх ,мощность приемника Pпр  I R или2Pпр  U ab I  U хх  IRвх  I  U хх I  I 2 Rвх ,мощность эквивалентного генератора Pг  U хх I .Если мощность приемника максимальна, тоток приемника должен быть I dPпрdI U хх  2 IRвх  0 , следовательно,U ххU хх.

По формуле Тевенена I , максимальная2 RвхR  Rвхмощность выделяется в приемнике при R  Rвх . Максимальная мощность равна2Pпрmax U хх U хх 2. Rвх 4 Rвх 2 Rвх Отношение мощности Pпр к мощности Pг называется к.п.д. эквивалентногоактивного двухполюсника:При R  Rвх к.п.д.

  0,5 .PпрPгU хх  IRвх  IU хх IR.Rвх  RГрафики зависимости Pпр(I), Pг(I), U(I), η(I):Режим, при котором в нагрузке будет выделяться максимальная мощность,называется режимом естественно передаваемой мощности или режимомсогласованной работы активного двухполюсника и нагрузки.Пример 10. Дано : R1 = 6 Ом,Е1 = 24 В,R2 = 6 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 4 Ом, R5 = 3 Ом,Е5 = 12 В, J6= 2 А. Определить ток I5, применив метод эквивалентногогенератора.

При какой величине источника E5 ток I5 = 0?Выделим ветвь с током I5. Оставшаяся часть схемы (выделена пунктиром)представляет собой активный двухполюсник. Последовательная схема замещенияактивного двухполюсника состоит из эквивалентного источника ЭДС ЕЭ=Uхх и резистораRЭ=Rвх.

По схеме эквивалентного генератора I 5 U хх  E5Rвх  R5Расчет параметров эквивалентного генератора:1) напряжение холостого хода:I1х  I 2 х I3 х  J 6E1 2 А,R1  R2R4 0,5 А,R3  R4U хх  I 2 х  R2  I3 х  R3  6 В.2) входное сопротивление:Rвх По методу эквивалентного генератора ток в ветви: I 5 R1  R2R R 3 4  6 ОмR1  R2 R3  R4U хх  E5 6  12 2 А.Rвх  R563Как видно из формулы эквивалентного генератора, при E5  6 В, включенным в ветвьв обратной полярности ток I5 = 0..