Lek4 (Лекции)

3.5 Метод контурных токовИспользование метода контурных токов и метода узловых потенциаловпозволяет сократить число решаемых уравнений. Метод узловых потенциалов лежит воснове многих программ расчета токов и напряжений с использованием ЭВМ.Количество уравнений, составленных по методу контурных токов равночислу уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа кII=в-(у-1) и равно числувзаимно независимых контуров.

При этом искомыми являются введенные «контурныетоки», которые замыкаются по выбранным контурам. Таким образом, в основе методаиспользуется прием, называемый в математике «замена переменных». После определенияконтурных токов, ток в любой ветви может быть найден как алгебраическая суммаконтурных токов. Контурные уравнения – уравнения, составленные по второму законуКирхгофа для контурных токов.Алгоритм составления уравнений и расчета токов методом контурных токов(МКТ)1) Произвольно выбираются направления токов во всех ветвях и изображаются насхеме.2) Определяют количество узлов (у) и количество ветвей (в) цепи. Количествонеизвестных контурных токов равно кII=в-(у-1). Выбирают контура исоответствующие им основные (неизвестные) контурные токи.3) Если в схеме есть ветви с источниками тока J, то для каждой "особой" ветвивводятся дополнительные "особые" контурные токи, которые замыкаются попроизвольному пути.

"Особый" контур может содержать только одну "особую"ветвь.4) Выбирается направление неизвестных контурных токов. Направление обходаосновных контуров совпадает с направлением контурных токов; выбранныенаправления изображаются на схеме.5) По правилу знаков второго закона Кирхгофа составляют уравнения длянеизвестных контурных токов.6) Любым методом решается система уравнений, определяются неизвестныеконтурные токи.7) Ток в каждой ветви определяется как результат наложения (алгебраическаясумма) контурных токов. Если направление тока ветви совпадает понаправлению с контурным током, то слагаемое берется со знаком «+», впротивном случае со знаком «-».Проверка правильности расчета токов ветвей осуществляется подстановкойнайденных значений в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, или побалансу активных мощностей.Пример 3.

Схема электрической цепи содержит три ветви с токами I1 , I 2 и I 3 .Определить токи методом контурных токов.Рассчитаем число узлов и ветвей: у=2, в=3. Число уравнений по законам Кирхгофа:кI=1, кII=2. Число независимых контуров определяет число неизвестных контурных токовII и III (чтобы отличать от токов ветвей, примем нумерацию римскими цифрами). Первый(I) контур включает из 1 и 3 ветви, второй (II) контур включает 2 и 3 ветвь.

3 ветвьявляется взаимной, т.е. принадлежащей и первому и второму контуру.Составим контурные уравнения:I контур: ( R1  R3 ) I I  R3 I II  E1   Rконт I конт   EконтII контур: R3 I I  ( R2  R3 ) I II  E2 Или в более компактной форме записи:I контур: RI I I I  RI II I II  EIII контур: RII I I I  RII II I II  EIIгде RI I =R1+R3 – контурное (собственное) сопротивление контура I,RII II =R2+R3 – контурное (собственное) сопротивление контура II,RI II = RII I =R3 – взаимное (или общее) сопротивление, т.е. сопротивление ветви,принадлежащее контурам I и II,EI=E1 – контурная ЕДС контура I, EII=E2 – контурная ЕДС контура II.Токи ветвей определяют после решения системы, т.е.

численного определенияконтурных токов: ток первой ветви совпадает по направлению с первым контурным токомII, ток второй ветви совпадает по направлению со вторым контурным током, ток третьейветви есть результат наложения второго контурного тока со знаком «+» и первого сознаком «-»: I1  I I ; I 2  I II ; I3  I II  I I .Пример 4. Схема электрической цепи содержит ветви с неизвестными токами I1 , I 2 ,I 3 , I 4 , I 5 и две ветви с источниками тока J 6 и J 7 . Определить неизвестные токи методомконтурных токов.Рассчитаем число узлов и ветвей: у=4 (один - "расщепленный"), в=5 (без учетакороткозамкнутых ветвей и ветвей с источниками тока). Число уравнений по законамКирхгофа: кI=3, кII=2.

Число независимых контуров кII=2 определяет число неизвестныхконтурных токов II и III. Для известных контурных токов "особые уравнения" I III  J 6 ,I IV  J 7 . Контурные уравнения с учетом направления всех контурных токов (включая IIIIи IIV) в взаимных ветвях, принадлежащих разным контурам, имеют вид:I контур: I I  R1  R3  R4   I II R3  I III R1  I IV R4  E1II контур:  I I R3  I II  R2  R5  R3   I IV R5  E2После решения уравнений относительно неизвестных контурных токов можноопределить токи ветвей: I1  I I  I III ; I 2  I II ; I3  I II  I I ; I 4  I IV  I I ; I 5  I IV  I II .3.6 Метод узловых потенциаловМетод узловых потенциалов основан на первом законе Кирхгофа иобобщенном законе Ома. При составлении узловых уравнений вводят расчетное понятие«узловой потенциал».

Потенциал одного из узлов (как правило, с большим порядковымномером) принимают равным нулю. Рассчитывают относительно этого узла потенциалыостальных узлов, которые и называют «узловые потенциалы». Количество узловыхуравнений равно числу уравнений по первому закону Кирхгофа кI =у-1.Порядок составления уравнений и расчета токов ветвей по методу узловыхпотенциалов:1) Произвольно задаемся направлениями токов в ветвях и изображаем их на схеме.2) Определяем количество узлов в схеме и количество необходимых узловыхуравнений, которое равно кI=у-1.3) Потенциал одного из узлов принимаем за нулевой.

Удобно за нулевойпотенциал выбирать потенциал узла, имеющего больший порядковый номер,или в котором сходятся наибольшее количество ветвей. Если в схеме есть ветвьс ЭДС, но без резисторов (ветвь с нулевым сопротивлением), то за нулевойпотенциал берется один из потенциалов этой ветви.4) Составляются уравнения для каждого из узлов.для 1 узла:для 2 узла:для m узла:G111 – G122 – G133  J1 уузловой ток 1 узлаG211  G222 – G233 J2 уузловой ток 2 узлаGm11  Gm 22  Gmmm Jm уузловой ток m узлаКоэффициенты узловых уравнений Gmm (по главной диагонали) и Gmn (внеглавной диагонали) определяются следующим образом: собственная узловаяпроводимость Gmm как сумма проводимостей ветвей, соединенных с m узлом,взаимная узловая проводимость Gmnкак сумма проводимостей ветвей,соединяющих m и n узлы.

Как видно из уравнений, в левой части всеслагаемые записываются со знаком «-» ( Gmnn ), кроме слагаемых,расположенных по главной диагонали ( Gmmm ).В правой части уравнения рассчитывается "узловой ток" (в некоторойлитературе "задающий"), определяемый заданными значениями ЭДС и токовисточников:Jm уузловой ток m узладля m узлаEk Gk Jnдля m узлаПравило знаков для расчета «узлового тока»: если ЭДС ветви направлена крассматриваемому узлу, то произведение Ek Gk записывается со знаком «+»,если от узла с «-»; если ток источника тока J n направлен к рассматриваемомуузлу, то этот ток записывается со знаком «+», если от узла с «-».5) Решаем полученную систему уравнений и определяем потенциалы узлов.6) По обобщенному закону Ома и найденным потенциалам рассчитываем токи вветвях.Проверка полученных результатов осуществляется по первому закону Кирхгофа длятоков ветвей или составлением уравнения баланса мощностей.Пример 5.

Рассмотрим схему электрической цепи с тремя узлами (3 узел "расщепленный"), неизвестными токами ветвей I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 и две ветви систочниками тока J 6 и J 7 . Число уравнений по законам Кирхгофа: кI=2, кII=5.Число неизвестных узловых потенциалов кI=2. Пусть 3 =0. Неизвестные узловыепотенциалы 1 и 2.Составим узловые уравнения:G111  G122  J1 у   EG   J111G21  G222  J 2   EG   Jу2илиG111  G122  E1G1  E5G5  J 61G21  G222  E5G5  E3G3  J 7,2где G11=(G1+ G2+ G4+ G5) – сумма проводимостей всех ветвей, соединенных с узлом 1,проводимости ветвей G1=1/R1, G2=1/R2, G3=1/(R3+R6), G4=1/R4, G5=1/R5, аналогичноG22=(G4+ G5+ G3) – сумма проводимостей всех ветвей, соединенных с узлом 2; G12=G21=(G4+G5) - сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 2; J1у и J2у – «узловыетоки» соответственно 1 и 2 узлов (токи источников).После решения узловых уравнений относительно 1 и 2 токи ветвей определяютпо обобщенному закону Ома:I1  [3  1  E1 G1  0  1  E1 ]G1 ; I 2  (1  3 )G2  (1  0)G2 ;I3  (2  3  E3 )G3  (2  0  E3 )G3 ; I 4  (1  2 )G4 ; I5  (1  2  E5 )G5 .Если число узлов в схеме равно двум, то количество уравнений, составленных пометоду узловых потенциалов кI=1.

Формула двух узлов для определения, к примеру,потенциала 1 имеет вид:G111  J1(у) или 1 G  E   JGи часто используется прирасчете токов и напряжений. При этом путем разных эквивалентных преобразований(преобразование пассивных и активных двухполюсников, применение теоремыкомпенсации и т.д.) исходная схема приводится к схеме с двумя узлами.Пример 6: Дано:R1 = 100 Ом, R2 = 2 КОм, R3 = 500 Ом, Е1 = 25 В, J2 = 125 мA.Определить токи ветвей методом контурных токов и методом узловых потенциалов.Составим контурные уравнения. Пусть II – неизвестный контурный ток I-гоконтура, состоящего из первой ветви (R1 и Е1) и третьей ветви (R3), III – неизвестныйконтурный ток II-го контура, состоящего из второй ветви (R2) и третьей ветви (R3). Дляучета тока источника J введем “особый контур” с известным контурным током IIII= J.“Особый контур” включает ветвь с источником тока J и ветвь с резистором R2.I I ( R1  R3 )  I II R3  E1I II ( R2  R3 )  I I R3  I III R2  0I III   JРешение контурных уравнений: I II  0,11 А, I I  0,05 А.Определим токи ветвей из найденных контурных токов:I1  I I  0,05 А; I 2   I III  I II  0,015 А; I3  I I  I II  0,06 А.Решим задачу методом узловых потенциалов.

Пусть 2  0 . ТогдаE125 J2 0,125R11001  30 В.1 11111 R1 R2 R3 100 500 2000Токи ветвей найдем по обобщенному закону Ома:I1 2  1  E1 0  30  25  230 0,05 А; I 2  1 0,015 А;R1100R22000I3 1  2 30 0,06 А.R3500Токи определены верно, т.к. решения совпадают.Пример 7. Дано: R1= 40 Ом, Е1 = 220 В, R2 = 200 Ом, Е2 = 100 В, R3 = 100 Ом,Е3 =120 В.Определить токи ветвей.Решим задачу методом узловых потенциалов.

Пусть 0  0 . Тогдадля 1составим узловое уравнение (формула двух узлов):E1 E2 E3 220 100 120R1 R2 R31  40 200 100  155 В.1 11111 R1 R2 R340 200 100Токи ветвей определим по обобщенному закону Ома:I1 0  1  E1 0  155  220 65 1,625 А;R14040I2 1  0  E2 155  0  100 255 1, 275 А;R2200200I3 0  1  E3 0  155  120 35 0,35 АR3100100Проверка по первому закону Кирхгофа I 2  I1  I3 :определены верно.1,275  1,625  0,35 . Токи.