XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Математика в техническом университете Выпуск Х111 Комплекс учебников из 20 выпусков Под редакцией Н. С. Зарубина и А. П. Крищенко 1. Введение в анализ П. Дифференциальное исчисление функций одного переменного 1П. Аналитическая геометрия 1Ч. Линейная алгебра Ч. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ч1. Интегральное исчисление функций одного переменного ЧП. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля ЧП1. Дифференциальные уравнения 1Х.

Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление ХП. Дифференциальные уравнения математической физики ХШ. Приближенные методы математической физики Х1Ч. Методы оптимизации ХЧ. Вариационное и~числение и оптимальное управление ХЧ1.

Теория вероятностей ХЧП. Математическая статистика ХЧ1П. Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций Е.А. Власова, В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИ'ЧЕС КОИ ФИЗИКИ Под редакцией д-ра техн. наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко Допущено Министерством обраэования Российской Федерации в качестве учебника для студенп1ов высших технических учебных заведений Москва Издательство МГТУ им. Н.

Э. Баумана 2001 УДК 517.1(075.8) ББК 22.193 В58 1эецензенты: проф. М.П. Галанин, проф. Д.В. Георгиевский В58 Власова Е,А., Зарубим В.С., Кувыркам Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. длл вузов / Под ред. В,С. Зарубина, А.П. Крип1енко.

— Мс Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. -700 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. ХП1). 18ВХ 5-7038-1768-4 (Вып. Х1П) 18Вй! 5-7038-1270-4 Книга является тринадцатым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете". Последовательно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционального анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физини, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. рассмотрены примеры использования этих методов в прикладных задачах.

Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам. Ил.уб. Табл.З. Библиогр. 81назв. Выпуск книги рикаксирооал Московский государсшоеккый технический укиоерсипоеоп им. Н.З. Баумана УДК 611.1(01$.8) ББК 22.192 © Б.А. Власова, В.С. Эарубин, Г.Н.

Кувыркин, 2001 © Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2001 18В1ч 5-7038-1768-4 (Вып. ХП!) 18ВЫ 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ нм. Н.Э. Баумана,200! ПРЕДИСЛОВИЕ Точное аналитическое решение задач математической физики обычно требует интегрирования дифференциальных уравненяй с частными производными, включающих искомые функции. Эти уравнения в общем случае необходимо проинтегрировать в некоторой пространственно-временнбй области, на границе которой искомые функции подчинены заданным краевым условиям. Реализация такого подхода связана обычно с.

большими и не всегда преодолимыми трудностями. Но с прикладной точки зрения наряду с аналитической формой точного решения задачи не меньшее значение имеет получение приближенного аналитического решения или приближенных числовых значений искомых величин. Математические модели ряда физических процессов содержат интегральные или интегро-дифференциальные уравнения, в которых искомые функции входят и под знак интеграла. Точное аналитическое решение таких уравнений возможно лишь в редких случаях, что также подчеркивает значимость приближенных методов решения.

Дифференциальные уравнения, описывающие законы сохранения и переноса физических субстанций и используемые при постановке задач математической физики (они приведены в первой части книги), можно рассматривать как операторные, действующие в тех или иных функциональных пространствах. В связи с зтим во второй части кратко изложены необходимые сведения из функционального анализа и рассмотрены свойства некоторых операторов, характерных для таких задач. Эти сведения использованы затем при изложении приближенных аналитических и численных (в третьей и четвертой частях) методов решения задач математической физики. ПРЕДИСЛОВИЯ Значительное число примеров, иллюстрирующих рассматриваемые методы, связаны с процессами теплопроводности в твердом теле.

В силу прозрачности физической постановки таких задач и предсказуемости качественного характера решения они являются хорошим „полигоном" для проверки эффективности методов и сопоставления различных подходов к получению количественного решения краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического и параболического типов. Методы, применяемые для решения краевых задач, описываемых уравнениями гиперболического типа, проиллюстрированы на примерах, связанных с волновым уравнением. Ссылкой в тексте на конкретный выпуск комплекса учебников „Математика в техническом университете" является его номер, записанный римскими цифрами.

Например, [1-7.5) означает ссылку на пятый параграф седьмой главы в первом выпуске, тогда как (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы этой книги, а (см. Д.4.1) — к первому дополнению четвертой главы этой книги. Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, рис. 1.5 — пятый рисунок в главе 1). За предисловием следует перечень основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой даны ссылки на разделы этого или других выпусков серии, в которых можно найти более подробное объяснение каждого обозначения. После этого перечня приведены написание и русское произношение букв латинского и греческого алфавитов.

В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полпэмирмым кирсмволя термины с указанием страницы, где они строго определены или описаны. Выделение термина свегплььи курсивов означает, что в данном параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю для понимания излагаемого материала должно быть известно значение этого термина.

Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то указан его номер римской цифрой. Курсивом в предметном указателе даны ссылки, указывающие на дополнительную информацию о термине. Изучение приближенных методов математической физики опирается на знание практически всех разделов общего курса высшей математики. Поэтому перед чтением этой книги необходимо в целях самоконтроля выполнить следукнцие несложные задания. В конце каждого задания приведена ссылка на тот выпуск, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги зти термины не выделены и не входят в предметный указатель).

Задания для самопроверки 1. Как определить множества целых Е и рациональных Ц чисел при помощи множества М натуральных чисел? Что такое абсолютное значение действительного числа и модуль комплексного числа? Каковы свойства точных верхней и нижней граней подмножества множества действительных чисел Е? [!] 2. Из каких этапов состоят доказательства от противного и по методу математической индукции? [1] 3. Что такое объединение, пересечение, разность и прямое [декартово) произведение множеств (подмножеств), дополнение множества? [)] 4.

Какие точки множества в К" называют внутренними, граничными, предельными, изолированными? Что такое открытое, замкнутое, ограниченное, компактное множества в и-мерном евклидовом арифметическом пространстве Е"? [Ч] ПРЕДИСЛОВИЕ 5. Запишите с помощью неравенств условия принадлежности точки я промежуткам числовой прямой: отрезку [а, Ь], интервалу (а, Ь), полуинтервалу (а, Ь], бесконечному интервалу ( — оо, Ь) и бесконечному полуинтервалу [а, +ос). [Ц 6.

Изобразите на числовой прямой окрестности конечной и бесконечной точек расширенной числовой прямой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых окрестностей и полуокрестностей? [Ц 7. Какими свойствами обладает взаимно однозначное отображение двух множеств? Чему равна композиция прямого и обратного отображений двух множеств? [Ц 8.

Приведите примеры составной и периодической действительных функций действительного переменного и укажите их области определения (существования) и значений. Как расположены относительно начала координат графики четной и нечетной функции? [Ц 9. Сколько нулей имеет многочлен степени п? В чем различие между простым и кратным нулем? [Ц 10. Сформулируйте определения предела, производной и дифференциала действительной функции действительного переменного в точке. Всякая ли функция, непрерывная в точке, является дифференцируемой в этой точке? Приведите примеры функпий, имеющих точки: а) устранимого разрыва; б) разрыва первого рода; в) разрыва второго рода. Каковы свойства функции, непрерывной (дифференцируемой) на отрезке? Как вычислить производную сложной функции? Что называют вектор- функцией? [Ц, [П] 11. Является ли сходящаяся числовая последовательность ограниченной? В чем различие между монотонной и строго монотонной последовательностью? Сформулируйте признак Вейерштрасса сходимости последовательности.

[Ц 12. В каких точках числовой оси функции в1п х, 1/х являются бесконечно малыми, а функции хз, саади — бесконечно большими? [Ц 13. В чем различие между монотонной и строго монотонной в некотором промежутке функциями? Каковы условия существования в нем непрерывной и строго монотонной функции, обратной заданной функции? Изобразите графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей в промежутке функций. [Ц 14. Приведите примеры бесконечно малых при х -+ а функций: а) одного порядка; б) первого порядка малости одной относительно другой; в) несравнимых; г) эквивалентных. Каковы свойства эквивалентных бесконечно малых функций? В каком случае главную часть функции, бесконечно малой при х-+ а, можно представить степенной функцией? Каков смысл символов „о малое" и „О большое" ? [Ц 15.