VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

е х .,в ~ ~ в в» Ф~~ в М .1 ф 'В В ~ . ° к Математика в техническом университете Выпуск УП Ж 176-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана Комплекс учебников из 21 выпуска Под редакцией В. С Зарубина и А. П. Крищеико 1. Введение в анализ П. Дифференциальное исчисление функций одного переменного 111.

Аналитическая геометрия 1Ч. Линейная алгебра Ч. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ч1. Интегральное исчисление функций одного переменного Ч?1. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля Ч1?1. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление Х11. Дифференциальные уравнения математической физики ХП1. Приближенные методы математической физики Х?Ч.

Методы оптимизации ХЧ. Вариационное исчисление и оптимальное управление Х'Ч1. Теория вероятностей ХУ??. Математическая статистика ХЧП?. Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций ХХ1. Математическое моделирование в технике ПРЕДИСЛОВИЕ При изучении физики, механики и при решении разнообразных инженерных задач часто возникает необходимость наряду с интегралами от действительной функции одного переменного рассматривать интегралы от функций многих переменных. Эти интегралы приходится вычислять по двумерным, трехмерным (и в общем случае многомерным) областям, по кривым и поверхностям. Такие интегралы играют важную роль при исследовании скалярных и векторных полей, задаваемых в пространстве действительными и векторными функциями векторного аргумента, составляющими предмет изучения теории поля и векторного анализа. Эта книга является седьмым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете".

При отборе и изложении материала авторы старались учесть существующие различия в его объеме, характерные для программ подготовки по различным инженерным специальностям. Содержание книги тесно связано с материалом предшествующих выпусков: дифференциальным и интегральным исчислением функций одного действительного переменного, аналитической геометрией и линейной алгеброй. При ссылке в тексте на конкретный выпуск этой серии учебников его номер указан римской цифрой. Например, запись [1-2.4~ означает ссылку на четвертый параграф второй главы первого выпуска.

Ссылки в пределах этой книги набраны прямым полужирным шрифтом. Например, ссылка (см. 2.1) указывает на первый параграф второй главы, а (см. Д.7.2) отсылает ко второму дополнению главы 7. Определения, теоремы, замечания, примеры, формулы, рисунки и т.п. имеют двойную нумерацию. Например, теорема 1.2 — это вторая теорема в главе 1, (2.1) — первая формула в главе 2, рис.

7.3 — третий рисунок в главе 7. ПРЕДИСЛОВИЕ Большинство используемых в этой книге обозначений введено в первом выпуске серии. В перечне основных обозначений данного выпуска наряду с их краткой расшифровкой указаны ссылки на разделы этого и других выпусков серии, в которых можно найти их более подробное объяснение. После этого перечня приведены написание и русское проюношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов. В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все термины, выделенные в тексте полужирным курсивов, с указанием страницы, где они определены или описаны.

Выделение термина (при его первом упоминании в каждом параграфе) свет иам курсивом означает, что в этом параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю должно быть известно его значение. Уточнить смысл термина можно, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то его номер в предметном указателе обозначен римской цифрой перед номером страницы (например, 1-217). Светлым курсивом даны ссылки на страницы этого и других выпусков, указывающие некоторые пояснения или уточнения термина. Такое построение предметного указателя связывает материал всех выпусков серии „Математика в техническом университете" единым справочным аппаратом, удобным для поиска нужной информации.

Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания указан номер того выпуска, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать ювестными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в ее предметный указатель). Задания для самопроверки 1. Запишите представления множеств целых Ж и рациональных Я чисел при помощи множества М натуральных чисел.

Что является элементом декартова произведения к~ двух множеств й действительных чисел? Что такое объединение, пересечение и разность множеств? [Ц 2. Убедитесь, что если для образов У~ С У и Уз С У отображения ~: Х -+ У справедливо включение У~ С Уз, то для их прообразов Х~ =~ ~(У~) СХ и Хз = ~ ~(Уз) С Х справедливо включение Х~ С Хъ [Ц 3. Перечислите свойства абсолютной величины (модуля) числа. Запишите неравенство треугольника.

[Ц 4. Каков ход доказательства по методу математической индукции? Что понимают под рекуррентным соотношением? [Ц 5. Каковы свойства точных верхней и нижней граней ограниченного множества точек числовой прямой? [Ц 6. Что называют я-окрестностью точки в Ж"? Является ли граничная точка множества его предельной точкой? Приведите пример множества в К", пе имеющего пи одной внутренней точки. Что называют диаметром, границей и внутренностью множества? Какие множества называют открытыми, замкнутыми, компактными (компактами), линейно связными? [Ц, [У] 7. Изобразите на плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат Оху множество точек В = = 1(х;у): х Е ( — 1, Ц, ~/4 — хз ~ у ( 4 — х~). [Ц, [ПЦ 8.

Каков смысл символов о и О при сравнении бесконечно малых? Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеево и в форме Лагранжа. [Ц, [П] 9. Сформулируйте и запишите определение предела действительной функции действительного переменного в ПРЕДИСЛОВИЕ заданной точке. Перечислите свойства функций, имеющих в точке конечный предел.

[1] 10. Сформулируйте и запишите определение предела векторной функции многих переменных в точке. Что можно сказать о пределах в той же точке ее координатных функций? [Ч] 11. Сформулируйте определение функции многих переменных, непрерывной в точке и непрерывной на множестве. Перечислите свойства функций многих переменных, непрерывных на компактах. Можно ли утверждать, что функция многих переменных, непрерыввал в области, ограничена в этой области? Что называют точкой разрыва функции многих переменных? [Ч] 12. Можно ли утверждать, что если все частные производные первого порядка функции непрерывны в точке, то функция дифференцируема в этой точке? В каком случае смешанные производные такой функции не зависят от порядка дифференцирования? Является ли дважды дифференцируемая в точке функция многих переменных непрерывной дифференцируемой функцией в этой точке? [Ч] 13.

Что ~азывают неявной функцией? Сформулируйте теорему о неявной функции. [П], [Ч] 14. Определите, для каких из следующих функций неопределенный интеграл относят к неберущимся интегралам: э1п х, э1п(х~), — *, хе *, е *, 1пх, —. [Ч1] 15. Найдите градиент функции Дх,у) = 2х~+ Зу в точке (1;1) и производную этой функции в точке (1;1) по направлению вектора 1 = Зя — 4?.

Изобразите линии уровня этой функции. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности х2+ Зу~+ 2я2 = 5 в точке (1;-1;1). [Ч] 16. Можно ли использовать формулу Ньютона — Лейбница для вычисления определенного интеграла с нижним а и верхним Ь пределами интегрирования от нодынте- гральной функции 1(х), если известна первообрйзная Р(х) этой функции в полуинтервалах [а, с) и (с, Ь]? [Ч1] 17.

Сформулируйте и запишите определение предела интегральных сумм функции ~(х) на отрезке [а, Ь]. [ЧЦ 18. Что называют интегралом Римана? Приведите пример интегрируемой но Риману функции и пример неинтегрируемой функции. [ЧЦ 19. Что называют квадрируемой плоской фигурой и кубируемым телом? Выразите при помощи определенного интеграла: а) длину плоской гладкой кривой, заданной параметрическими уравнениями х = х(6), у = у(Ф); б) площадь плоской фигуры Р, заданной неравенствами а < х < Ь, Ях) < д < ~2(х); в) объем тела и площадь поверхности, образованных вращением вокруг оси абсцисс графика дифференцируемой на отрезке [а, 6] функции 1(х).