V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 7

Поэтому под пределом векторной функции многих переменных мы будем понимать лишь то, что оговорено в определении 1.10, а для скалярных функций зто определение несколько расширим. Определение 1.11. Пусть задана скалярная функция ~: А С К" — ~ К и а — предельная точка множества А. Если для любого числа М > 0 существует такое число о > О, что при о х Е А й 1Г(а,о) выполняется неравенство Дх) > М (~(х) < — И 1.3. Предел функции многих переменных ~ ~( ) ~ ~ М), то говорят, что функция «(х) стремится к +оо или .у ветственно — оо или оо) при х — „+а, и пишут (соотве ( !ип «(х) = — оо или !ип «(х) =со). Х'-+ О !!П1 «(х) =+ х +Я всех трех случаях функцию «(х) называют бесхонечно Во все большой пРИ хд+а Пример 1.15.

Функция «(х,у) = — является беско- 1 $2+ 2 „чно большои при (х, у) -+ (О, 0). Функция д(х,у) стремится к+оо при (х, у) +(О, 0), если А — сектор, заключенный между прямыми у = х и у = — х и Расположенный в правой полуплоскости х > О. В самом деле, в этом секторе !у~ < !х~ и поэтому х х 1 > — =— ,г+ уг Функция д(х,у) стремится к — оо при (х, у)д+(О, О), если А — сектор, заключенный между прямыми у = х и у = -х и расположенный в левой полуплоскогти х < О, поскольку в этом секторе х < О, !у~ < !х~ и х х 1 < — =— хг+ уг 2хг 2х' Если А = ((х, у): х = О, у б ٠— ось ординат, то д(х, у) =— =- О на А и функция д(х,у) является бесконечно малой при ( у)-„+(о, о).

у Введем еще одно понятие. Фукхиия многих переменных «: А С В" — + И™ оераничена ка множестве А, если множество У(А) = (у ~= Е™: у = «(х), х ~ А) ограничено, Эта фукхоераничена при х-+а (лохально оераничена в точке Л а) е 0 если существует такая проколотая окрестность 11(а,б) точ- КИ а о " а, что функция ограничена на множестве А П !1(а,Ю). 48 !. ФУНКЦИИ МНОГИХ!!ЕРЕМЕННЫХ ЕАЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Определение предела функции многих переменных и по ф~>1, ме, и по содержанию аналогично определению предела дейстцц.

тельной функции действительного переменного [1-?.1). Поэт„. му пределы, бесконечно малые и бесконечно большие функццц имеют те же свойства, что и в случае функций одного пери. менного (т.е. при и = т = 1). Соответствующие формулировки и доказательства переносятся на функции многих переменных „почти без изменений". Последние слова заключены в кавычкц так как в этих доказательствах, не изменяющихся по форме, нз меняется смысл обозначения 1а~: для числа а — это абсолютная величина, а для точки а Е К" — это евклидова норма элемец.

та а в евклидовом арифметическом пространстве К" (см. 1.1). По этой причине следующую теорему, устанавливающую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями многих переменных, а также свойства пределов функций мно гих переменных далее приводим без доказательства. Теорема 1.6. Если функция ~: К" — ~ К бесконечно большая при х-„+а, то функция 1/~(х) бесконечно малая при х-„+а. Если функция а: К'" — > К бесконечно малая при х-л+а и отлична, от нуля в некоторой проколотой окрестности точки и, то функция 1/а(х) бесконечно большая при х А~а [1-8.3~.

Сформулируем основные свойства предела функции многих переменных [1-8.3~. 1'. Если функция !: К" — ~ К'" имеет предел в точке и 6 К' по множеству А, то этот предел единственный. 2'. Если функция !: К" -+ К"' имеет предел в точке а п~> множеству А, то она ограничена при х-„+а, т.е. существует о такая проколотая 6-окрестность ~0(а,о) точки а, что функция о ! ограничена на множестве А !1 11(а,о). 4~ В случае скалярной функции здесь предполагается конечный предел, так как бесконечно большая при х-+а функция не ограничена ни в какой проколотой окрестности точки а. 1.3.

ПреЛел функиии многих переменных Е,ли у Функций У, д: А С И" — ~ И"' существуют пределы 1пп ~(х) = 6, а.-„+а !пп д(х) = с1, .Г-+а „ествуют и пределы !!п1 (Пх)+д(х)) = 6+ Н, х-+а 1пп Я(х)) = АЬ, Л ~ И, 4'. Если у скалярных функций ~, д: А С И" -+ И существуют пределы 11п1 Дх) =6, х-+а то существуют и пределы Ьп д(х) =и', х-Фа Ь (У(х) д( )) = Ьй, 1! — = — и Ф 0). Ф У(х) Ь х~~а х-„+а д(х) 11ш М(х) = М, ~ -1+ л 1'пп %(х) — Х х-+а то существуют и пределы 1!п1 (М(х) + Ф(х)) = М+ Ю, 11ш (АМ(х)) = ЛМ, Л Е И. йство 4 в части произведения также можно перенести на матричные функции. Если у матричных функций М: И" — ~ ~ Мр~(И) и № И" -~ М „(И) существуют пределы 1пп М(х) = Л1, 1пп %(х) = Ж, х-+а х-+а то с -уществует и предел 1пп (М(х) Ж(х)) = М№ а -„+а Свойство 3' переносится на матричные функции.

Если у матричных функций М: И" — ~ Мр,(И) и Х: И" -+ ЛГ„„(И) существуют пределы м ~. фикции многих пи км~ннь~х ! Ае о7'оьР~жени» 5'. Егли скалярная функция ~: А С К -+ К имеет пр'.ъ'з при х-Фа, равныи Ь, и Ь > 0 (Ь < О), то существует такая и!н, о колотая окрестность 1~(а,Ь) точки а, что в точках множеств„.

о А П Г (а, о) фун кци я ~ положительна (отрицательна). 6'. Если у скалярных функций ~, д: А С К" — ~ К существуя>т пределы $нп Дх) = Ь. !нп д(х) = И, причем Ь < д, то существует .т-+а А ,Г-+6 о такая проколотая окрегтногть Г(а,о) точки а, что при з ~ о Е А П Г(а, д) выполнено неравенство ~(х) < д(х). 7'. Если у скалярных функций ~. д: А С К" — ~ К существуют пределы !нп Дх) = 6, !нп д(х) = Н, причем существует такая г-+п Х-+й 'А о о проколотая окрегтногть !'(а, Б) точки а., что при х ~ А П !'(а. д) выполнено неравенгтво ~(х) < д(х), то 6 < д. й'.

Е! ли скалярныефункции ~. д, 6: А С К" — > К в некоторои проколотой окрегтногтп точки а удовлетворяют неравенствам ~(х) < 6(х) < д(х), х (= .4, и существуют пределы (и~ ~(л.) = (нп д(х) = 6, то гуществует и Х-+г! х-„+а предел !нп Ь(х) = 6. х-+а 9'.

Произведение скалярной (векторной) функции, бесконечно малой при х-~+а, на векторную (скалярную) функцию. ограниченную при х~~и, есть функция, бесконечно малая прп Х-Фи. и Пусть для функций ~: А С К" — ~ К"' и д: И С К'" — ~ К' выполнено условие ДА) С В, Тогда определена ко.ииозици~ отобрпжгнио. до: А С К" -+ йР, которая задается равенством (до~)(х) = д(Дх)). Эта композиция тоже являетгя функцией многих переменных, и ее обычно называют сложной функцией. Верна гледующая теорема о пределе гложной функции. аналогичная гоответгтвующему утверждению для функций одного переменного.

!,.3. Предел функции многих переменных объема 1.7. Пусть Функция ~; А С К -+ К"' имеет предел „„. а Е И" при х-„+а, равный Ь Е К'", причем она не приниточке начение Ь в точках множества А в некоторой проколотой окрести естности а. Пусть функция у: В С К'" + К~ ДА) С В, имеет в в точке Ь предел при уфЬ, равный с Е Ку. Тогда сложная икция д ~ имеет предел в точке а при х~~а, равный с. Свойства предела позволяют вычислять пределы функции многих переменных, если они существуют. Методы вычисления пределов повторяют те методы, которые использовались в случае функций одного действительного переменного ~1~, ~11).

Пример 1.16. Рассмотрим предел ( .3+ 3) 11п~ (х, у)-+(О, О) х + У Представим Функцию Дх,у) под знаком предела как произведение двух функций яп(х'+ цз) з+ „з г+ нг ~(х ~) г+ х +д где яп(х' + у ) Д(Х Д) х +9' 1, х+у=О, Функция у(х,у) имеет предел в точке (О, О), равныи единице. Действительно, она имеет предел 1 по множеству А1 —— = ((х У): х+ у ф О) как композиция двух функций Ц~) = '— '" и У) =х +у'. Функция у(х,р) имеет предел 1 и по множеству Аг = ((х, у): х+ у = О). Следовательно, она имеет тот же и е р дел в точке (О, О) и по объединению этих множеств. Вто торои сомножитель в представлении функции ~(х,у) запи®ем в виде з+„з г,г ,г+„г = г+,уг " г+„г' , =х, +у 52 !. эвикции мношх иктменных клк отои'лженин Каждое слагаемое представляет собой функцию, бегкон! !и„ малую при (х, у) -+ (О, 0).

Папример, первое слагаемое ! "!!, произведение бесконечно малой в точке (О, 0) функции ~р(.г,у)— ? и ограниченной функции ?, (х,у) = — (ее зиа и ии„ ?.2 + ~? заключены между нулем и единицей). Итак, функция ~(х,у) предгтавлена в виде произведения двух функций, каждая из которых имеет предел при (?., у) --~ -+ (О, 0). Значит, существует предел функции ~(х,р) в втой точке, равный произведению пределов сомножителей, т.е. яи(тз+ уз) !!п!, .' = О. !~, ! )-+(о, о) г~ + у~ 1.4. Непрерывность функции многих переменных Определение 1.12.

Функцию многих переменных ~: Л С С К" — + К"' называют непрерывной в точке а != А, предел!,- ной для множества А, если существует предел функции / при ,г-,ьа, равный значению функции в отой точке, т.е. если !!ш ~(,г) = Да). () г) Как оговорено и определении, точка а не только принадлежит множеству А, ио и является его предельной точкои. поскольку расгматринае!гя предел функции в точке а по мио жеству А.

Функцию ~: А С К" — ~ К"' гчитают непрерывной и каждой точке а 6 А, которая являетгя изолированной точкои множе! тва А. Пусть задана 4ункцил м?!ог!?г ??ерсме!!ныт, ~: А С К" -+ К"'. Еаждая точка а != А являетгя либо !?рсдс:!ьно!!' точкой мноэн~- гтва А, либо его ?!зо.!!!рован?!ой точкой. В первол! «лу'!и! функция /' может иметь В зтои точке ??яидГл 7!о множтгу!!Г>ц А, что приводит к гледующему определению. э,г. Кепрерыгэноеть 4уннции многих переменных Г' '1 спользУЯ опРеделение 1.10 пРедела фУнкции, можно гфо1эмулиров овать опреДеление непрерывногти функции в точке сле„и„обРазом.

ФункциЯ ~: А С К" — ~ К"' неп1эР1эыВна В точкР дуюгци если Для любой е-огсргггггногтггц Г(Да),е) точки Да) г= , е тл сугцествует такая Ь-окрестность ! (а,о) точки а., что при 1, ° 121 Ц(а,Л) верно соотношение ~(х) г= 11(Да),с). Наконец. о„,но ввести понятие непрерывности, не используя ни понятие предела, ни понятие окресптости. Функция 2' А С К'" -+ К непрерывна в точке а э= А, если для любого числа,. > О ,цег твует такое число о > О, что при вгех х г= А, удовлетворянэ! их неравенгтву 1;г — а~ ( д, верно неравенство фг) — Да) ~ < лругими словами, бесконечно малому приращению аргумента в данной точке соответствует бесконечно малое приращение функции. Отметим.