I Морозова В.Д. Введение в анализ (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 6

Возросшая при этом роль науки и образования для экономики России нашла свое выра жение в органиэации ряда университетов с математическими кафедрами — Тартусского (1802), Вильнюсского (1803), Ка занского (1804), Харьковского (1805), Петербургского (1819) и Киевского (1834), а затем Одесского (1865), Варшавского (1869) и Томского (1888). Помимо Н.И. Лобачевского из крупных русских математиков Х1Х в. необходимо прежде всего отметить создателей Петербургской математической школы Михаила Васильевича Остроградского (1801-1862) и Пафнутия ЛЬвовича Чебышева (1821-1894), а также представителей этой школы Андрея Андреевича Маркова (1856-1922) и Александра Михайловича Ляпунова (1857-1918). Основные работы М.В. Остроградского были посвящены дифференциальным уравнениям и теории вероятностей, а также механике и магнетизму.

А.А. Марков знаменит прежде всего своими результатами в теории вероятностей (полное и строгое доказательство основной предельной теоремы, цепи Маркова, марковские случайные процессы). А.М. Ляпунов создал строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем, которая состоит в анализе ре- 32 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ О ЧЕРК шения систем дифференциальных уравнений при стремлении независимого переменного к бесконечности. Он дал полное доказательство центральной предельной теоремы в теории вероятностей, исследовал формы равновесия равномерно вра щающейся жидкости, частицы которой взаимно притягиваются по закону всемирного тяготения (эта задача была поставлена его учителем ПЛ. Чебышевым). П.Л.

Чебышев был одним иэ наиболее разносторонних русских математиков и механиков. Он получил важнейшие результаты в теории вероятностей, интегральном исчислении, теории чисел, теории приближения функций многочленами, в приложениях математики к теории машин и механизмов, в картографии. Английскому математику Дж. Сильвестру (1814-1897), известному своими работами по алгебре, теории чисел и теории вероятностей, принадлежат знаменательные слова: „Дальнейшего развития теории чисел надо ждать, когда родится некто, настолько же превосходящий Чебышева своей проницательностью и вдумчивостью, насколько Чебьппев превосходил этими качествами обыкновенных людеЙ".

Для творчества П.Л. Чебышева характерна прикладная направленность исследований. По его мнению, сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты и не одна только практика от этого выигрывает — сами науки развиваются под влиянием ее; она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно исследованных; наука находит себе верного руководителя в практике. П.Л. Чебышев являлся почетным членом Совета Императорского технического училища (теперь МГТУ им. Н.Э. Баумана), в училище публиковали его научные работы, изготовляли и испытывали сконструированные им механизмы и регуляторы. Большую роль в становлении математической подготовки инженеров в училище сыграл один из видных представителей московской школы математиков Алексей Васильевич Летников 33 (1837-1888), который основал кафедру Высшая математика" н руководил ею с 1868 г.

Он также возглавлял комиссию по разработке общей системы теоретической н практической подготовки инженеров в училище, получившей всемирную нзвестность как „русский метод обучения". Крупным вкладом А.В. Летннкова в математику является создание теории дифференцирования с произвольным показателем, предвосхитившей работы английского ученого н инженера О. Хевнсайда (1850-1925) по операционному исчислению. А.В.

Летннков был одним нз организаторов Московского математического общества, правильно оценил идеи Н.И. Лобачевского н активно нх пропагандировал. Ряд разделов математики был развит в работах механиков, фнзнков, специалистов в области технических наук. Так, образцы органичного соединения математики н ее прнложеннй дали преподававшие в училище создатели гидроаэродннамнкн Николай Егорович Жуковский (1847-1921) н его ученик Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869-1942).

Краткий очерк развития математики завершим упомннаннем имен еще лишь трех ученых: Эварнста Галуа (1811-1832), Георга Кантора (1845-1918) н Давида Гнльберта (1862-1943). В Х1Х в. во многих направлениях. расширились рамки алгебры, возникли теория групп, теория полей и колец, векторная и теизориая алгебра, линейная алгебра н другне ответвления, которые заполнили все области математики, осуществляя между ними глубокую внутреннюю связь. Алгебранческне работы француза Э. Галуа, убитого в 20 лет на дузлн, насчитывают всего 60 страниц, но содержат глубокие идеи, которые были поняты н оценены лишь несколько десятилетий спустя. Немецкому математику Г.

Кантору принадлежит заслуга в создании теории бесконечных множеств, хотя первые шаги в этом направлении сделал В. Больцано. Г. Кантор доказал возможность установить взаимно однозначное соответствие межз-644 34 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ду точками прямой и плоскости, что вызвало у него самого крайнее удивление: „Я это вижу, но я этому не верю". На базе теории множеств был создан общий язык для многих разделов математики. Эта теория дала толчок возникновению и развитию новых математических дисциплин: теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.

Теория множеств оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики и такого ее большого раздела, как геометрия. Вместе с тем теория множеств привела к неожиданным парадоксам и логическим трудностям, до сих пор не вполне устраненным, что стимулировало развитие современной математической логики, посвященной изучению математических доказательств и оснований математики. На рубеже ХИ и ХХ вв. самым разносторонним матема тиком был Д.

Гилъберт. Он обычно посвящал несколько лет интенсивной работе в одной из областей математики, достигал в этой области важных результатов, иногда кардинально изменявших ее облик, а затем переходил к другой. Им, например, построена наиболее распространенная в настоящее время и общепризнанная система аксиом, действительно достаточнал для непротиворечивости евклидовой геометрии.

Д. Гильберт проявил необычайную интуицию и дар предвидения, изложив в 1900 г. на конгрессе математиков в Париже 23 проблемы, решение которых в значительной мере определило ход развития математики в ХХ в. Для его творчества характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математики и естествознания. Одну из его ста тей — „Познание природы" — завершает лозунг: „Мы должны знать — мы будем знать".

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ° н ф — начало н окончание доказательства ф — окончание примера, замечанил аЕ А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1.1 а~А — элемент а не принадлежит множеству А (множество А не содержит элемент а) 1.1 А = (а, Ь, с) — множество А состоит из элементов а, Ь, с 1.1 А = (х"....~ — множество А состоит из элементов х, облада ющих свойством, указанным после двоеточил 1.1 А = Э вЂ” множество А пусто 1.1 А С В, В 3 А — подмножество А включено в множество В (В включает А) 1.2 АС В, В Э А — подмножество А включено в множество В или совпадает с ним 1.2 А ф В, В ф А — подмножество А не включено в множество В (В не включает А) 1.2 Я вЂ” множество натуральных чисел 1.3 Š— множество целых чисел 1.3 Я вЂ” множество рациональных чисел 1.3  — множество действительных чисел 1.3 Й вЂ” расширеннан числован прнмаа 1.3 ~а, Ь| — отрезок с концами в точках а и Ь 1.3 (а, Ь) — интервал с концами в точках а и Ь 1.3 ~а,Ь), (а,Ь) — полуинтервалы с концами в точках а и Ь 1.3 Ц вЂ” абсолютное значенне числа х 1.3 +оо, -оо — бесконечные точки расширенной числовой прямой 1.3 з.

36 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ (-оо, +оо), (-оо, а), (6, +оо) — бесконечные интервалы 1.3 (-оо, а1, [6, +оо) — бесконечные полуинтервалы 1.3 Щхо) окрестность точки хо 1.3,6.2 0(хо, е)— АОВ АОВ А~В СВА — дополнение множества А до множества В 1.4 А = Й ~ А — дополнение множества А до универсального мно- жества Й 1.4 АЬВ Ас~В 1.6 для любого х 1.6 ~: Х-~У вЂ” отображение ~ множества Х в (на) множество У 2.1 Ла) И П А„ А:Ф В ЧиЛ -А Зх:... 3!х:...