I Морозова В.Д. Введение в анализ (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Комплекс учебников из 20 выпусков Под редахцией В. С Зарубина и А. П. грищенко 1. Введение в анализ П. Дифференциальное исчисление функций одного переменного П1. Аналитическая геометрия ГЧ. Линейная алгебра Ч. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ч1. Интегральное исчисление функций одного переменного ЧП. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля ЧП1. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление ХП. Дифференциальные уравнения математической физики ХП1.

Приближенные методы математической физики Х1Ч. Методы оптимизации ХЧ. Вариационное исчисление и оптимальное управление ХЧ1. Теория вероятностей ХЧП. Математическая статистика ХЧП1. Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций В.Д. Морозова ВВЕДЕНИЕ АНАЛИЗ Под редакцией В. С. Зарубина, А. П. Крищенко Рекомендовано Министперстпвом общего и профессионального образования Российской Федерации в качестпве учебника для стпудентпов высших тпехнических учебных заведений Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана 1996 УДК 517.1 ББК 22.161 М80 Рецеизеювы: чл.-корр. РАН В.А.

Садовничий, доц. Н.В. Конченова аВЯ 5-7038-1267-4 (В . Ц ИВА 5-7038-1270-4 Книга лвллетсн первым выпуском учебного комплекса „Математика в техническом универсз1тете", состолщего из двадцати выпусков. Знакомит читатели с поивтявмя функции, предела, непрерывности, которые авллвтсл основоповагевозцями в математическом анализе и необходимыми на начальном зтапе подготовки студента техннчесиого университета. Отрвокена тесиак связь классического математического анализа с разделами современной математики (прежде всего, с теорией множеств я непрерывных отобренкений в метрических пространствах). Учебник написан иа базе курса лекций, прочитанных доцентом МГТУ ям.Н.Э.

Баумана Морозовой В.Д., и провел успешную апробацию в МГТУ им. Н.Э. Баумань Двл студентов технических университетов. Моиет быть полезен преподавателлм и аспирантам. Ил.82. Табл.З. Бнблногр. 68назв. Вмпуск книви фимамсиравал Мвскавскиб ввсударстяввцммй Чпввмичвский унивврсипипч им. Н.Э. Бадана М Без обълвл. ББК И.161 © В.Д. Морозова, 1996 © Московский государственный технический университет нм. Н.Э. Баумана, 1996 © Издательство МГТУ нм, Н.Э.

Баумана, 1996 18ВХ 5-7038-1267-4 (Вын. 1) 18ВХ 5-7038-1270-4 М80 Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Кри1ценко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. -408 с. (Сер. Математика в телническом университете; Вын. 1). К 'ЧИТАТЕЛКЗ Математика зародилась в глубокой древности и к настоящему времени проиикла в той или.

иной степени во многие сферы человеческой деятельности. Математические методы давио и успешно использовались в таких точных пауках, как механика, физика, астрономия, находили широкое применение в технике. В последнее время существенно расширилось приложение математики к экономике, химии, биологии, медицине, психологии, лингвистике, социологии и другим гуманитарным наукам.

Стали привычными неожиданные на первый взгляд сочета иия слов: математическая, экоиомика", „математическая биология",„математическая лингвистика", но экспаисия матема тики продолжается, и это теперь уже ие вызывает удивления. Деятельность же современного ииженера просто немыслима без прочного и всестороннего союза с математикой. Чем же объяснить такую большую роль, которую играет в жизни человеческого общества столь абстрактная и, казалось бы, оторванная от реальности наука? Проявление человеческого интеллекта в любой конкретной области обычно связано не только с рассмотрением качественных особенностей различных объектов, явлений и процессов, ио и с анализом их пространственных и количественных характеристик, для описания и изучения которых необходим общий метод, Именно такой метод, пригодный для самых разиообразных приложений, дает математика.

Это достаточно четко сформулировал Фридрих Энгельс: „Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительиого мира". Надо сказать, что современная математика уже переступила через эту формулировку: она может оперировать такими объектами и отношениями между ними, которые нельзя представить ни числами, ни геометрическими образами.

„Чистые" математики, движимые внутренней логикой развития своей науки, нередко прювдили к теоретическим построенилм, которые не сразу обретали практическую интерпретацию. Так, греческие математики изучали свойства эллипса почти за две тысячи лет до того, как немецкий астроном Иоганн Кеплер использовал эти свойства в законах движении планет. В теории относительности Альберт Эйнштейн нашел первое применение результатам, которые были получены математиками примерно эа полстолетил до него. Русский ученый Е.С.

Федоров и немецкий математик А. Шенфлис на основе представллвшейся чисто умозрительной теории групп решили задачу классификации всех возможных кристаллических решеток. Суть общего метода математики состоит в том, что длл конкретного изучаемого объекта строят или используют готовую математическую модель в виде формул, уравнений, геометрических образов или логических соотношений и эа тем средствами математического аппарата анализируют ее. Результаты такого анализа проверлют сопоставлением с реальностью и в случае расхождении уточнлют математическую модель или откаэываютса от нее и строит новую.

Этапы раэвитил многих естественно-научных направлений в познании законов природы и в совершенствовании техники — зто, по существу, построение последовательности все более точных и более полных математических моделей изучаемых явлений. В связи с этим интересны как высказывание Чарлза Дарвина: „У людей, усвоивших великие принципы математики, одним орга ном чувств больше, чем у простых смертных", так и замечание Карла Маркса о том, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаетсн пользоваться математикой. Отвечающая реальности (адекватная) математическая модель — большое научное достижение.

Она позволяет провести детальный анализ изучаемого объекта и дать надежный про- гноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность математической модели нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике приходит современнал вычислительная техника, существенно расширившая класс ма тематических моделей, допускающих исчерпывающий количественный анализ. Одни и те же математические модели находят подчас совершенно различные приложения.

Известно, что закон взаимодействия двух электрических зарядов и закон притяжения двух масс выражаются формулами с одинаковой структурой. При помощи одной и той же математической модели можно изучать течение жидкости, распространение теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. Благодаря общности математических моделей возникает „родство" между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие. Такая общность объясняется тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию.

Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий. и отношений, выраженных при помощи системы символов и обозначений, образует, по существу, универсальный язык науки. Его универсальность французский математик Анри Пуанкаре выразил одной фразой: „Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем". Вместе с тем именно абстрактность математики создает определенные трудности при ее изучении и использовании, хотя эти трудности часто преувеличивают. А.И. Герцен считал, что трудных наук нет, есть только трудные изложения.

К ЧИТАТЕЛЮ Есть две крайние точки зрения на то, как лучше осваивать математику. Они связаны с двумя основными аспектами этой науки. В процессе своего становления математика накаплива ла раэроэненые факты и обобщала их в виде все более полных теорий, двигаясь по индукции (латинское слово ин1исМо — наведение) от частного к общему. Но уже сформировавшиеся разделы математики строят по дедукции (от латинского ЙеЙисй1о — выведение), начиная с общих понятий и положений и строго логически выводя иэ них следствия. Можно изучать математику индуктивным путем, следуя ее основным этапам развития. Такой пологий подъем легче и очень увлекателен, так как позволяет пережить драму и столкновение идей, которые послужили зародышем многих математических открытий и прорывов в новые области ма тематики. Но это путь изучения скорее не математики, а ее истории.