Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Математический анализОтветы на 50 вопросов к экзамену 2022гОтветы на 50 вопросов к экзамену 2022г
4,0051
2021-06-052021-06-05СтудИзба
Ответы: Ответы на 50 вопросов к экзамену 2022г
-25%
Описание
Ответы на 50 вопросов к экзамену 2022г![]()
-
-
- Теоретические вопросы к экзамену по курсу
«Интегралы и дифференциальные уравнения »
Неопределенный интеграл
- Дайте определение первообразной функции на интервале. Докажите теоремы о первообразных и приведите примеры.
- Дайте определение неопределенного интеграла. Сформулируйте и докажите его свойства. Приведите примеры. Таблица неопределенных интегралов.
- Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании подстановкой и заменой переменной для неопределенного интеграла. Приведите примеры.
- Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла. Приведите примеры.
- Интегрирование простейших дробей. Приведите примеры.
- Интегрирование произвольной дробно рациональной функции (опишите алгоритм и приведите примеры).
Определенный интеграл
- Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Его геометрический и механический смысл. Необходимое и достаточное условия интегрируемости. Сформулируйте определение интегрируемости на отрезке функции
- (без доказательства).
- Определенный интеграл и его свойства. Докажите линейность и аддитивность определенного интеграла.
- Определенный интеграл и его свойства. Докажите свойство интегрирования неравенств и теорему об оценке.
- Дайте определение среднего значения функции на отрезке. Докажите теорему о среднем. Объясните ее геометрический и механический смысл.
- Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной и формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).
- Сформулируйте и докажите теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в определенном интеграле.
- Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. Интегрирование периодических функций. Докажите формулы и приведите примеры.
Несобственный интеграл
- Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла в зависимости от α.
- Несобственные интегралы от неограниченной функции (2-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла в зависимости от α.
- Сформулируйте и докажите признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример.
- Сформулируйте и докажите предельный признак для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример.
- Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Сформулируйте определения и свойства. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся интегралов.
- Несобственные интегралы с несколькими особенностями, их сходимость и расходимость. Сформулируйте определения и приведите примеры.
-
Приложения определенного интеграла
- Площадь плоской фигуры. Формулы для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых и полярных системах координат и параметрически (с доказательством).
- Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox
- (с доказательством).
- Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy (с доказательством).
- Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах
- (с доказательством).
- Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически (с доказательством).
- Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат (ось вращения Ох).
-
-
Дифференциальные уравнении
- Дифференциальное уравнение 1-го порядка, определения частного решения и интегральной кривой. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Сформулируйте теорему Коши существования и единственности решения.
- Дифференциальное уравнение 1-го порядка, его геометрическая интерпретация, изоклины, общее и частное решения. Сформулируйте определения и приведите примеры. Особая точка и особое решение.
- Дифференциальное уравнение п-го порядка. Задача Коши. Ее геометрическая интерпретация для п = 2. Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения (формулировка). Краевая задача.
- Уравнения, допускающие понижение порядка, и методы их решения (вывод). Приведите примеры.
-
Линейные дифференциальные уравнения
- Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Однородные и неоднородные. Теорема Коши существования и единственности решения (вывод из общей теоремы Коши).
- Линейный дифференциальный оператор. Докажите, что решения ОЛДУ образуют линейное пространство.
- Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Примеры линейно независимых систем. Теорема об определителе Вронского системы линейно зависимых функций (доказательство).
- Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений ОЛДУ (доказательство).
- Фундаментальная система решений ОЛДУ, сформулируй к* определение и докажите ее существование.
- Дайте определение общего решения дифференциального уравнения
- п-го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения ОЛДУ п-го порядка.
- Формула Остроградского - Лиувилля для ЛДУ (вывод для п-2).
- Понижение порядка ЛДУ при известном частном решении однородного уравнения (с выводом).
- ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
- Сформулируйте и докажите теорему о связи между корнями характеристического уравнения и решениями ОЛДУ (случай различных действительных корней).
- Построение фундаментальной системы решений ОЛДУ с постоянными коэффициентами в случаях кратных действительных и комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.
- Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n-го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения НЛДУ n-го порядка.
- Метод вариации постоянных Лагранжа для НЛДУ (вывод для п-2).
- Сформулируйте и докажите теорему о наложении частных решений для НЛДУ. Нахождение частных решений уравнения с правой частью специального вида.
-
Системы дифференциальных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши и теорема Коши существования и единственности решения нормальной системы (формулировка). Приведите пример.
- Связь между нормальными системами ДУ и дифференциальными уравнениями высших порядков. Докажите теорему о сведении уравнения к системе и системы к уравнению.
- Первые интегралы нормальной системы ДУ. Интегрируемые комбинации. Симметричная форма записи. Применение к решению системы ДУ.
- Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнении. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы ОЛДУ. Фундаментальная матрица системы.
- Формула Остроградского - Лиувилля для систем однородных ЛДУ
- (вывод для n=2).
- Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнений. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы НЛДУ и теорему о наложении частных решений.
- Метод вариации постоянных Лагранжа для решения неоднородных систем ЛДУ (вывод для n=2).
- Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения (вывод для случая действительных и различных корней).
-
Файлы условия, демо
Характеристики
Тип
Предмет
Учебное заведение
Семестр
Просмотров
438
Покупок
3
Качество
Идеальное компьютерное
Размер
183.55 Kb
Жалобы
Жалоб никогда не было
Список файлов

Ваше удовлетворение является нашим приоритетом, если вы удовлетворены нами, пожалуйста, оставьте нам 5 ЗВЕЗД и позитивных комментариев. Спасибо большое!