Ответы на 50 вопросов к экзамену 2022г

• 
  
• 
  
• Теоретические вопросы к экзамену по курсу
  «Интегралы и дифференциальные уравнения »  
  

   

  Неопределенный интеграл

   
  • Дайте определение первообразной функции на интервале. Докажите теоремы о первообразных и приведите примеры.
  • Дайте определение неопределенного интеграла. Сформулируйте и докажите его свойства. Приведите примеры. Таблица неопределенных интегралов.
  • Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании подстановкой и заменой переменной для неопределенного интеграла. Приведите примеры.
  • Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла. Приведите примеры.
  • Интегрирование простейших дробей. Приведите примеры.
  • Интегрирование произвольной дробно рациональной функции (опишите алгоритм и приведите примеры).

  •  

  • Определенный интеграл

  •  
  • Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Его геометрический и механический смысл. Необходимое и достаточное условия интегрируемости. Сформулируйте определение интегрируемости на отрезке функции 
  • (без доказательства).
  • Определенный интеграл и его свойства. Докажите линейность и аддитивность определенного интеграла.
  • Определенный интеграл и его свойства. Докажите свойство интегрирования неравенств и теорему об оценке.
  •  Дайте определение среднего значения функции на отрезке. Докажите теорему о среднем. Объясните ее геометрический и механический смысл.
  •  Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной и формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).
  •  Сформулируйте и докажите теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в определенном интеграле.
  •  Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. Интегрирование периодических функций. Докажите формулы и приведите примеры.   

  • Несобственный интеграл

  •  
  •  Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Сходящиеся        и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла   в зависимости от α.
  •  Несобственные интегралы от неограниченной функции (2-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла   в зависимости от α.
  •  Сформулируйте и докажите признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример.
  •  Сформулируйте и докажите предельный признак для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример.
  •  Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Сформулируйте определения и свойства. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся интегралов.
  •  Несобственные интегралы с несколькими особенностями, их сходимость и расходимость. Сформулируйте определения и приведите примеры.
    1. 
       
       1. 
          
          1.  

  • Приложения определенного интеграла

  •  
  •  Площадь плоской фигуры. Формулы для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых и полярных системах координат и параметрически (с доказательством).
  •  Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox 
  • (с доказательством).
  •  Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy (с доказательством).
  •  Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах 
  • (с доказательством).
  •  Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически (с доказательством).
  •  Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат (ось вращения Ох).
    1.  
  • 
    
    1.  
  • 
    
    1.  

  • Дифференциальные уравнении

  •  
  •  Дифференциальное уравнение 1-го порядка, определения частного решения и интегральной кривой. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Сформулируйте теорему Коши существования и единственности решения.
  •  Дифференциальное уравнение 1-го порядка, его геометрическая интерпретация, изоклины, общее и частное решения. Сформулируйте определения и приведите примеры. Особая точка и особое решение.
  •  Дифференциальное уравнение п-го порядка. Задача Коши. Ее геометрическая интерпретация для п = 2. Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения (формулировка). Краевая задача.
  •  Уравнения, допускающие понижение порядка, и методы их решения (вывод). Приведите примеры.
    1. 
       
       1. 
          
          1.  

  • Линейные дифференциальные уравнения

  •  
  •  Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Однородные и неоднородные. Теорема Коши существования и единственности решения (вывод из общей теоремы Коши).
  •  Линейный дифференциальный оператор. Докажите, что решения ОЛДУ образуют линейное пространство.
  •  Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Примеры линейно независимых систем. Теорема об определителе Вронского системы линейно зависимых функций (доказательство).
  •  Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений ОЛДУ (доказательство).
  •  Фундаментальная система решений ОЛДУ, сформулируй к* определение и докажите ее существование.
  •  Дайте определение общего решения дифференциального уравнения 
  • п-го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения ОЛДУ п-го порядка.
  •  Формула Остроградского - Лиувилля для ЛДУ (вывод для п-2).
  •  Понижение порядка ЛДУ при известном частном решении однородного уравнения (с выводом).
  •  ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
  • Сформулируйте и докажите теорему о связи между корнями характеристического уравнения и решениями ОЛДУ (случай различных действительных корней).
  •  Построение фундаментальной системы решений ОЛДУ с постоянными коэффициентами в случаях кратных действительных и комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.
  •  Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n-го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения НЛДУ n-го порядка.
  •  Метод вариации постоянных Лагранжа для НЛДУ (вывод для п-2).
  •  Сформулируйте и докажите теорему о наложении частных решений для НЛДУ. Нахождение частных решений уравнения с правой частью специального вида.
    1. 
       
       1. 
          
          1.  

  • Системы дифференциальных уравнений

  •  
  • Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши и теорема Коши существования и единственности решения нормальной системы (формулировка). Приведите пример.
  • Связь между нормальными системами ДУ и дифференциальными уравнениями высших порядков. Докажите теорему о сведении уравнения к системе и системы к уравнению.
  • Первые интегралы нормальной системы ДУ. Интегрируемые комбинации. Симметричная форма записи. Применение к решению системы ДУ.
  • Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнении. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы ОЛДУ. Фундаментальная матрица системы.
  • Формула Остроградского - Лиувилля для систем однородных ЛДУ 
  • (вывод для n=2).
  • Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнений. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы НЛДУ и теорему о наложении частных решений.
  • Метод вариации постоянных Лагранжа для решения неоднородных систем ЛДУ (вывод для n=2).
  • Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения (вывод для случая действительных и различных корней).
• ​