Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Диагонали трапеции АВСР пересекаются в точке Е (рис. 254). Докажите подобие треугольников ВСЕ и РАЕ. Рис. 253 22. Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания тра- пеции относятся как т: л. В 23.
Прямая, проходящая через точку пересе чения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении т: и. В каком отношении она делит другое основание? 24. В трапеции АВСР с диагональю АС углы АВС и АСР равны. Найдите диагональ АС, А если основания ВС и АР соответственно равны 12 м и 27 м.
Рис. 254 1 57 поуоуие ~фигур 17. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит 26. Продолжения боковых сторон АВ и СР трапеции АВСР пере секаются в точке Е. Найдите стороны треугольника АЕР, если АВ = 5 см, ВС = 10 см, СР = 6 см, АР = 15 см. 27. Найдите высоту треугольника АЕР из задачи 26, опущенную на сторону АР, если ВС = 7 см, АР = 21 см и высота трапе- ции равна 3 см. 28. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а продолжения боковых сторон — в точке Е.
Докажите, что прямая ЕЕ делит основания трапеции пополам (рис. 255). 29. У равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и про- тиволежащим углом 36' проведена биссектриса АР. 1) Дока- жите подобие треугольников АВС и САР. 2) Найдите основа- ние треугольника АВС, если его боковая сторона равна а. Пункт 104 Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В, в 2,5 раза больше сторон тре- угольника А,В,С„прилежащих к углу В,. Углы В и В, равны. Найдите АС и А1СР если их сумма равна 4,2 м.
30. 31. В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВР. Докажите, что ЬАВС' ЬЕРС. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АР, ВЕ, СЕ. Найдите углы треугольника РЕЮ, зная углы треугольника АВС (рис. 256). Докажите, что биссектрисы треугольника Рис. 255 РЕЕ в задаче 32 лежат на высотах треугольника АВС. 32. 33. Пункт 105 34. Подобны ли два равносторонних тре угольника? 35. Подобны ли треугольники АВС и А1В,С„ если: 1) АВ = 1 м, АС = 1,5 м, ВС = 2 м; А,В, = 10 см, А1С, = 15 см„В,С, = 20 см; 2) АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,5 м; А~В~ = 8 дм, А1С1 = 16 дм, В,С, = 12 дм; 3)АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,25 м; А,В1 = 10 см, А,С, = 20 см, В,С, = 13 см? Рис. 256 158 а класс 25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении т: и.
В каком отношении делит она другую боковую сторону? Докажите, что у подобных треугольников периметры относят- ся как соответствующие стороны. Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м. Найдите сто- роны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
36. 37. Пункт 106 Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40*, а у другого угол, равный: 1) 50", 2) 60'? Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите сто- роны треугольника. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см.
Найдите проекцию другого катета на гипотенузу. Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольни- ков относятся как соответствующие стороны, Катеты прямоугольного треугольника относятся как т: и. Как относятся проекции катетов на гипотенузу? Длина тени Фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м (рис. 257). Найдите высоту трубы.
В треугольник АВС вписан ромб АЛЕЙ так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС (рис. 258). Най- дите сторону ромба, если АВ = с и АС = Ь. Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине С пересекает прямую АВ в точке В (рис. 259). Докажите, что А0 : ВР=АС: ВС.
42. 43. 44. В А С Рис. 259 А Р Рис. 258 Рис. 257 1 59 позииис ~ригрр 11 38. Периметр одного треугольника составляет — периметра по- 1З добного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите зти стороны. 47. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность. Пункт 107 48. Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100' больше другого; 3) разность их равна 20'. 49. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, ес- ли угол АВС равен 30, а диаметр окружности 10 см? 50.
Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол АВС, ес ли хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.) 51. Докажите, что центром окружности, описанной около прямо- угольного треугольника, является середина гипотенузы. 52. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника. 53.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высо- те, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. 54. На окружности отмечены четыре точки А, В, С, В. Чему ра- вен угол АЮС, если угол АВС равен а? (Два случая.) 55. Хорды окружности А1л и ВС пересекаются. Угол АВС равен 50', угол АСР равен 80 . Найдите угол САЮ. 56. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180'.
57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность. 58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках (рис.
260). 59. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды (рис. 261). Х Рис. 261 Рис. 260 Рис. 262 1клО Э класс 60. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла. Пункт 108 Из точки С окружности проведен перпендикуляр СР к диаме- тру АВ. Докажите, что СР = АЮ ВР. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС ВС = СР~ (рис.
262). Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км? Вычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м. 61. 62. 64. Решение треугольников 1 09. Теорема косинусов Теорема (теорема косинусов) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть АВС вЂ” данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС2 = АВ~ + АС~ — 2АВ АС соз А.
с) С Имеем векторное равенство ВС = АС вЂ” АВ. Возведя это равенство скалярно в квадрат, получим: ВС~ = АВз + АС~ — 2АВ АС, о) С или ВС = АВ~ + АС вЂ” 2АВ АС . соз А. Теорема доказана. Заметим, что АС сое А равно по абсолютной величине проекции АР стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее продолжение (рис.
263, б). Знак АС совА зависит от угла А: «+», Р А Рис. 263 В 161 Рлиени п рггго~~ннков 6 оаыирня, 7-9 са если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсю- да получается следствие: а) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «х» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «-», когда угол острый.
В с П А Задача (7). Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. Решение. Имеем а = Ь + с + 2с АЮ (рис. 264). «2 Ьв сз Отсюда АЮ=+ зс ° По теореме Пифагора б) В с А В с»-'Й~' — лп' -ф'-~' Рис. 264 110. Теорема синусов Теорема (теорема синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Доказательство. Пусть АВС вЂ” треугольник со сторонами а, Ь, си противолежащими углами св, 33, 7 (рис. 265).
Докажем, что а Ь с «1па в!и !3 в1п у а) С Опустим из вершины С высоту СО. Из прямоугольного треугольника АСР, если угол а острый, получаем СР = Ь з)п а (рис. 265, а). Если угол а тупой, то СЮ = Ь з)п (180' — а) = Ь з3п сс (рис. 265, б). Аналогично из треугольника ВСЮ получаем С.0 = а з!и 33. Итак, а и!и Р = Ь з)п а, Отсюда Ь а в!п(3 в!па ' В Р с А б) В с А В Аналогично доказывается равенство Ь с «1п !3 «1п у ,Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
