Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Число й называется коэффициентом подобия. При й = 1 преобразование подобия, очевидно, является движением. Пусть à — данная фигура и Π— фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку Х фигуры Г луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный й ОХ, где й — поло тельное число. Преобразование фигуры г', при к ром каждая ее точка Х переходит в точку Х', строенную указанным способом, называется гом тией относительно центра О. Число й называется эффициентом гомотетии, фигуры г и г' назыв ся гомотетичиыми. Е Х Х' Рис.
233 Рис. 234 1 45 носорог григрр Теорема Гомотетия есть преобразование подобия. Доказательство. Пусть Π— центр гомотетии, й — коэффициент гомотетии, Х и У вЂ” две произвольные точки фигуры (рис. 235). При гомотетии точки Х и У переходят в точки Х' и У' на лучах ОХ и ОУ соответственно, причем ОХ' = й ОХ, ОУ' = й . ОУ. Отсюда следуют векторные равенства ОХ' = йОХ, ОУ' = йОУ. Вычитая эти равенства почленно, получим: ОУ' — ОХ' = й (ОУ вЂ” ОХ). Так как ОУ' — ОХ' = Х~", ОУ вЂ” ОХ = ХУ, то Х'1"= = ЙХУ. Значит, !Х'У'! = й ~ХУ!, т.
е. Х'У' = йХУ. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана. Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1: 100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
Задача (4). На рисунке 236 изображен план усадьбы в масштабе 1: 1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину). Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны 5,3 см и 3,6 см. Так как план выполнен в масштабе 1: 1000, то размеры усадьбы равны соответственно 3,6 х 1000 см = 36 м, 5,3 х 1000 см = 53 м. 101. Свойства преобразования подобия Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А„„фтакже лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В, лежит между точками А, и С .
Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в пря- мые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрез- ки. Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между по- лупрямыми. Действительно, пусть угол АВС преобразованием подобия с коэффициентом й переводится в угол А,В1С, (рис. 237). Подвергнем угол АВС преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии й.
При этом точки А и С перейдут в точки Аэ и Сэ. Треугольники АэВСэ и А,В,С, равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов АэВС« и А,В,С,. Значит, углы АВС и А,В,С, равны, что и требовалось доказать. Рис. 237 102. Подобие фигур Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: .
Запись Р Р' читается так: «Фигура Р подобна фигуре Р'». Докажем, что если фигура Г подобна фигуре Р, а фигура Р по- добна фигуре Рэ, то фигуры Р, и Рэ подобны. 147 п»дори«фигур Пусть Х, и У, — две произвольные точки фигуры Р,. Преобразование подобия, переводящее фигуру Р, в Рм переводит эти точки в точки Х, Ум для которых Хэус = й,Х1У,. Преобразование подобия, переводящее фигуру Рэ в Рэ, переводит точки Хм Уэ в точки Хэ, Уэ, для которых Х Уэ = йсХэуэ.
Из равенств Хсуа = й,Х,УР Хэуэ = йэХэУэ следует, что Хэуэ = й„йсХ,У,. А это значит, что преобразование фигуры Р, в Р, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры Г, и гэ подобны, что и требовалось доказать. В записи подобия треугольников; ЬАВС ЬА,В,С, — предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А„ — в В1 и С вЂ” в С,.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников АВС и А,В,С, А.А = А.А„.~В = А.В„лС = ~С~; АВ ВС АС А,В, В,С, А,С, 103. Признак подобия треугольников по двум углам Теорема Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство.
Пусть у треугольников АВС и А~В1С, ~А =л'.А„~В = ~В,. Докажем, что ЬАВС' ЬА,В,С,. АВ Пусть л =, Подвергнем треугольник А1В1 А,В,С, преобразованию подобия с коэффициентом подобия й, например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник А ВзСм равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то л'.А = ~А„~Вз = = л'В,. А значит, у треугольников АВС и АзВзСз л А =~ Ам л В = ~Вз.
Далее, А,В, = ЙА,В, = АВ. Следовательно, треугольники АВС и АзВзСз равны по В второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам). Рис. 238 148 9 класс 104. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними Теорема Если две стороны одного треугольника пропорцио- нальны двум сторонам другого треугольника и уг- лы, образованные этими сторонами, равны, то тре- угольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников АВС и А1В,С, ~С = ~С, и АС = аА,С„ВС = йВ,С,. Докажем, что ААВС ЬА,В,С,. Подвергнем треугольник А,В,С, преобразованию подобия с коэффициентом подобия й, например гомотетии (рис. 240). При этом получим некоторый треугольник АсВсСм равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то ~С = ~СР А значит, у треугольников АВС и АсВсСэ ~С = ~Сс. Далее, АсСэ = = й А,С, = АС, ВсС, = й В,,С, = ВС. Следовательно, треугольники АВС и АэВэСэ равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Так как треугольники А,В1С, и А В С гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники В Рис. 240 149 Подоооо фисур Так как треугольники А,В1С, и АсВсСэ гомотетичны и подобны, а треугольники АэВ С и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А,В,С, и АВС подобны.
Теорема доказана. Задача (15). Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке А,, а сторону ВС в точке В,. Докажем, что ЛАВС о ' АА1В1С,. Рис. 239 Решение (рис. 239). У ЬАВС и ЬА,В,С, угол при вершине С общий, а углы СА,В, и САВ равны как соответствующие углы параллельных АВ и А1В1 с секущей АС.
Следовательно, ЬАВС ЬА,В,С по двум углам. АэВ С и АВС равны и поэтому тоже подобны, то тре- С угольники А,В1С, и АВС подобны. Теорема доказана. Задача (31). В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВР (рис. 241). Докажите, что ЬАВС '" Ь ЕРС. Решение. А У треугольников АВС и ЕРС угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС = АС соэ у, РС = ВС соэ у, т. е. стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны.
Значит, ЬАВС~ЬЕРС по двум сторонам и углу между ними. 105. Признак подобия треугольников по трем сторонам Теорема Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников АВС и А,В,С, АВ = = ФА,В„АС = ФА,С„ВС = ЙВ,Сп Докажем, что ЬАВС «' ЬА1В, С,. Подвергнем треугольник А,В,С, преобразованию подобия с коэффициентом подобия й, например гомотетии (рис. 242).
При этом получим некоторый треугольник АэВзСм равный треугольнику АВС. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны: АзВэ = АА,В~ = АВ, АзСз = йА~С = АС, Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам). Так как треугольники А,В1С, и АзВэС гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники АэВ С и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А,В С, и АВС подобны. Теорема доказана. гис. 242 Отсюда АВ ~В1С~ гАС АВ АС1 ВС АВ е ВС эАС Ав АС ВС т.
е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны. 1 06. Подобие прямоугольных треугольников У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу. С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках. Пусть АВС вЂ” прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СР из вершины прямого угла (рис.
243). Треугольники АВС и СВР имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: ЬАВС~ЬСВР. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: АВ ВС во-ч'Ж во. Это соотношение обычно формулируют так: Рис. 243 катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Прямоугольные треугольники АСР и СВР также подобны.
У них равны острые углы при 15 1 Позоров фигур Задача (36). Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны. Решение. Пусть АВС и А,В,С, — подобные треугольники. Тогда стороны треугольника А,В,С, пропорциональны сторонам треугольника АВС, т. е. А1В~ = ЙАВ, В,С, = й ВС, А,С, = лАС. Складывая эти равенства почленно, получим: АВ, + ВС, +АС, = гг(АВ+ ВС+АС). вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: АВ СВ св вЫ вв. Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
