Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 20
Текст из файла (страница 20)
32. Найдите координаты точек пересечения окружности х + у — 8х — 8у + 7 = 0 с осью х. 33. Докажите, что окружность хз + р' + 2ах + 1 = О, ~а~ > 1, не пересекается с осью у. 34. Докажите, что окружность хз + у + 2ах = 0 касается оси у, а т О. Пункт 75 Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки А (-1; 1), В (1; 0). Составьте уравнение прямой АВ, если: 1) А (2; 3), В (3; 2); 2) А (4; -1), В (-6; 2); 3) А (5; -3), В (-1; -2). Составьте уравнения прямых, содержащих стороны треугольника ОАВ в задаче 16. Чему равны координаты а и Ь в уравнении прямой ах + Ьр = 1, если известно, что она проходит через точки (1; 2) и (2; 1)2 Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением: 1)х+2у+3=0; 3) Зх — 2у + 6 = 0; 35 Пункт 76 40.
Найдите точку пересечения прямых, заданных уравнениями: 1) х + 2у + 3 = О, 4х + 5у + 6 = 0; 2) Зх — у — 2 = О, 2х + у — 8 = 0; 3) 4х + 5р + 8 = О, 4х — 2у — 6 = О. 41. Докажите, что три прямые х + 2у = 3, 2х — у = 1 и Зх + + у = 4 пересекаются в одной точке. 43. Докажите, что прямые, заданные уравнениями у = Ьх + (, у = йх + 1м при (, х (з параллельны. 44. Среди прямых, заданных уравнениями, укажите пары парал- лельных прямых: 1) х + у = 1; 2) у = х' — 1; 4) у = 4; 5) у = 3; 3)х — у=2; 6) 2х+ 2у+ 3 =0. Пункт 77 45. Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси у и проходит через точку (2; — 3), 46. Составьте уравнение прямой, параллельной оси х и проходя- щей через точку (2; 3).
47. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (2„3). ( (3 Лекартоаы координаты на ааоекоети 42. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами (1; 0), (2; 3), (3; 2). Пункт 78 48. Найдите угловые коэффициенты прямых из задачи 39. 49. Найдите острые углы, которые образует заданная прямая с осью х: 2) хЧЗ вЂ” у=2; 3) х+уЧЗ +1=0. 1) 2у = 2х + 3; Пункт 80 Найдите точки пересечения окружности х + у = 1 с прямой: 1) у = 2х + 1; 2) у = х + 1; 3) у = Зх + 1; 4) у = йх + 1.
При каких значениях с прямая х + у + с = 0 и окружность х + у = 1: 1) пересекаются; 2) не пересекаются; 3) каса- ются7 50. 51. Пункт 81 Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 120", 2) 135', 3) 150'. Найдите: 1) в1п 160'; 2) сов 140', 3) ФЗ 130'. Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 40'; 2) 14'36", 3) 70'20", 4) 30'16", 5) 130', 6) 150'30", 7) 150'33', 8) 170'28'. Найдите углы, для которых: 1) в)п и = 0,2; 2) сов а = — 0,7; 3) СЗ а = — 0,4. Найдите в1п а и $6 а, если: 1 1) сова= —; 2) сов а = — 0,5; ~2 Гз 3) сова= —; 4) сова=- —.
з 52. 53. 54. 55. 56. 57. Найдите сов а и ФЗ а, если: 2) юпа = з, 90' < н < 180', 1 1)в1па=06,0'<а< 90'; 1 3) в1па = —, 0' < а < 180'. 'Г2 з 58. Известно, что $6а= — —. Найдите в1п а и сов а. з 59. Постройте угол а, если известно, что в)па = —. з 114 3 класс — 3 60.
Постройте угол а, если известно, что сов а = — —. 61. Докажите, что если сов а = сов ~), то а = )). 62. Докажите, что если в)п а = в)п ~), то либо а = Д, либо а = 180' — р. Движение 82. Преобразования фигур Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру.
Говорят, что зта фигура получена преобразованием из данной (рис. 182). Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки Х и У одной Фигуры в точки Х' и У' другой фигуры так, что ХУ = Х'У' (рис. 183). Замечание. Понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное положения фигуры. Пусть фигура г переводится движением в фигуру Г'„а Фигура Р' переводится движением в фигуру Р" (рис.
184). Пусть при первом движении Х точка Х фигуры г переходит в точку Х' фигуры г', а при втором движении точка Х фигуры г' переходит в точку Х" фигуры Г". Тогда преобразование фигуры г" в фигуру е"", при котором произвольная точка Х фигуры г' переходит в точку Х' фигуры г", сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением. Это свойство движения выражают словами: два движения, выполненные последовательно, дают снова движение.
Пусть преобразование фигуры г в фигуру г' переводит различные точки фигуры г в различные точки фигуры г" (см. рис. 182). Пусть про- Р 183 Рис. 184 1 15 движение извольная точка Х фигуры г при этом преобразовании переходит в точку Х' фигуры Г'. Преобразование фигуры г' в фигуру г, при котором точка Х' переходит в точку Х, называется преобразованием, обратным данному. Движение сохраняет расстояние между точками, поэтому переводит различные точки в различные. Очевидно, преобразование, обратное движению, также является движением. 83. Свойства движения Теорема Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки А,, В,, С„то эти точки также лежат на прямой; если точка В лежит между точками А и С, то точка В, лежит между точками А, и С,. Доказательство. Пусть точка В прямой АС лежит между точками А и С. Докажем, что точки А„В„С, лежат на одной прямой. Если точки А„В„, С1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому А,С, < А,В, + В,С,.
По определению движения отсюда следует, что АС < АВ + ВС. Однако по свойству измерения отрезков АС = АВ + ВС. Мы пришли к противоречию. Значит, точка В, лежит на прямой А,С,. Первое утверждение теоремы доказано. Покажем теперь, что точка В, лежит между точками А, и С,. Допустим, что точка А, лежит между точками В, и С,. Тогда А,В, + А,С, = =В,С,, и, следовательно, АВ + АС = ВС. Но это противоречит равенству АВ + ВС = АС. Таким образом, точка А1 не может лежать между точка- миВ,иС. Аналогично доказывается, что точка С1 не может лежать между точками А1 и В,. Рис.
185 Так как из трех точек А„ В„ С, одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только В,. Теорема доказана полностью. Из теоремы 9.1 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полу- прямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки (рис. 185). Докажем, что при движении сохраняются углы между полупря- мыми. Пусть АВ и АС вЂ” две полупрямые, исходящие из точки А, не лежащие на одной прямой (рис. 188). При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые А,В, и А,С,. Так как движение сохраняет расстояния, то треугольники АВС и А,В,С, равны по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует равенство углов ВАС и В,А,С„что и требовалось доказать. Рис. 186 Х О Рис. 187 Рис. 188 Рис. 189 1 17 Движение 84. Симметрия относительно точки Пусть Π— фиксированная точка и Х— произвольная точка плоскости (рис. 187). Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ', равный ОХ. Точка Х' называется симметричной точке Х относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке Х', есть точка Х.
Преобразование фигуры Р в фигуру Р', при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х, симметричную относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры и и Р" называются симметричными относительно точки О (рис. 188). Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру г в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой.
Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 189). Теорема Преобразование симметрии относительно точки яв- ляется движением. Доказательство. Пусть Х и У вЂ” две произвольные точки фигуры Г (рис. 190). Преобразование симметрии относительно точки О переводит их в точки Х' н У'. Рассмотрим треугольники ХОУ и Х'ОУ'. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.
У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОХ = ОХ', ОУ = ОУ' по определению симметрии относительно точки О. Из равенства треугольников следует равенство сторон: ХУ = Х'У'. А это значит, что симметрия относительно точки О есть движение. Теорема доказана. Х 85. Симметрия относительно прямой Пусть л — фиксированная прямая (рис. 191).
Возьмем произвольную точку Х и опустим перпендикуляр АХ на прямую л. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ', равный отрезку АХ. Точка Х' называется симметричной точке Х относительно прямой б. Если точка Х лежит на прямой я, то симметричная ей точка есть сама точка Х. Очевидно, что точка, симметричная точке Х', есть точка Х. Преобразование фигуры Р в фигуру Р', при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х', симметричную относительно данной прямой д, называется преобразованием симметрии относительно прямой Н.
При этом фигуры Г и Г' называются симметричными относительно прямой и (рис. 192). Рис. 190 Рис. 191 Рис. 192 Рис. 193 1 18 З класс Рис. 195 Рис. 194 Если преобразование симметрии относительно прямой д переводит фигуру г в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой Л, а прямая л называется осью симметрии фигуры. Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 193).
Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 194). Теорема Преобразование симметрии относительно прямой является движением. Доказательство. Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
