Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 15
Текст из файла (страница 15)
143 43. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего. 44. Дан квадрат, сторона которого 1 м, диа- гональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего. 45. В квадрат (рис. 144) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадра- Р"с 144 та находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м. 46. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах.
Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м. 47. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпен- дикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки ка- сания). Пункт 57 Разделите данный отрезок АВ на и равных частей. Разделите данный отрезок на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5; 3) 6. 49.
Пункт 58 50. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите сто- роны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. 51. Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника. 52. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.
53. Как построить треугольник, если заданы середины его сторону 54. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от пря мой, проходящей через середины двух его сторон. 55. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. 56. Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, ес ли известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12м. 57. У четырехугольника диагонали равны а и Ь. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. 58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Пункт 59 59. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м. 60. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. 61.
Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40'? 62. Б равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60'. Найдите меньшее основание. 63. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупо го угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции. 64.
Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 145). Найдите углы трапеции. 65. По одну сторону от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а. 66. По разные стороны от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 см и 4 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а. 67. Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
Рис. 145 В А В, С Рис. 148 73. 74. Теорема Пифагора 62. Косинус угла Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла а обозначается так: соз а. На рисунке 147 показан прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным а. Косинус угла а равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т.е. АС соза =— АВ Рис. 147 84 З алас< 69.
70. 71. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра. Средняя линия трапеции 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит боль- шее основание на части, имеющие длины а и Ь (а > Ь).
Найдите среднюю линию трапеции. Постройте трапецию по основаниям и бо- ковым сторонам. Постройте трапецию по основаниям и ди- агоналям. Пункт 61 аас Даны отрезки а, Ь, с, д, е. Постройте отрезок х=— 1) В треугольнике АВС проведены медианы АА, и ВВ„которые пересекаются в точке М (рис. 146). В треугольнике АМВ проведена средняя линия РЯ. Докажите, что четырехугольник А,В,РЯ вЂ” параллелограмм. 2) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
3) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Теорема Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны. Доказательство. Пусть АВС и А'В'С' — два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах А и А', равным а (рис. 148).
Требуется дока- А'С' АС зать, что —, А'В' АВ Построим треугольник АВ,Сп равный треугольнику А'В'С', как показано на рисунке 148. Так как прямые ВС и В,С, перпендикулярны прямой АС, то они параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках АС1 АС АВ АВ А так как по построению АС, = А'С', АВ, = А'В', то Рис. 148 А'С' АС А'В' АВ Теорема доказана. 63. Теорема Пифагора Теорема (Пифагора) ИИИ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство. Пусть АВС вЂ” данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СВ из вершины прямого угла С (рис.
149). По определению косинуса угла соз А = АВ АС 2 — — Отсюда АВ АЗ = АС . Аналогично АС АВ Рие. 149 35 Гаорааа Пиаааора вв вс соз В = — = — ° Отсюда АВ ВР = ВС . Склады- вая полученные равенства почленно и замечая, что АР + РВ = АВ, получим: АС + ВС = АВ (АР + РВ) = АВг. Теорема доказана. Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
Отсюда, в свою очередь, следует, что соа а < 1 для любого острого угла а. Пифагор — древне- греческий ученый (У1 в. до н. э.) Задача (11). Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь, проведенную к основанию. Решение. Пусть АВС вЂ” равнобедренный треугольник с основанием АВ и СР— его медиана, проведенная к основанию (рис. 150).
Как мы знаем, медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой. Поэтому треугольник АСР прямоугольный с прямым углом Р. По теореме Пифагора А В Рис. 150 АРг+СРг АСг /с ) +СРг Ьг '~2) Отсюда сс- )'ь'-( —;)'. с, в, Рис. 151 86 З ксисс 64. Египетский треугольник Задача (17). Докажите, что если треугольник имеет стороны а, Ь, с и а + Ь = сг, то у него угол, противолежащий стороне с, прямой. Решение. Пусть АВС вЂ” данный треугольник, у которого АВ = с, АС = а, ВС = Ь (рис.
151). Построим прямоугольный треугольник А,В,С, с катетами А,С, = а и В,С, = Ь. По теореме Пифагора у него гипотенуза АгВ,="ка +Ь =с Таким образом, трекГ2 г угольники АВС и А,В,С, равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует, что угол треугольника АВС при вершине С прямой. Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Бечевку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений.
Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (3'+4~= 5~) Б связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. иногда называют египетским. Рис. 152 65. Перпендикуляр и наклонная Пусть ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С вЂ” любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а (рис. 152). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной. Из теоремы Пифагора следует, что а) если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
