Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Х2 Х1 В случае, представленном на рисунке 178, б, „„— Фда. У2 У1 ' Х2-Х1 Таким образом, коэффициент й в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х. Коэффициент й в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой. Рис. 178 ) О7 Лскаутооы кооРдинаты ка плоскости 79. График линейной функции При построении графиков функций на уроках алгебры вы, наверное, заметили, что графиком линейной функции является прямая. Теперь мы докажем это.
Пусть у = ах + Ь вЂ” данная линейная функция. Докажем, что ее графиком является прямая. Для данной функции если х = О, то у = Ь, если х = 1, то у = а + Ь. Поэтому графику функции принадлежат точки (О; Ь) и (1; а + Ь). Составим уравнения прямой, проходящей через эти точки, вида у=йх+(. Так как указанные точки графика лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой: Ь=й О+с, а+Ь=й 1+(. Отсюда находим ( = Ь, й = а. Итак, наша прямая имеет уравнение у = ах+ Ь. Значит, уравнению прямой удовлетворяют все точки графика, т.
е. графиком линейной функции является прямая. 80. Пересечение прямой с окружностью Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью. Пусть  — радиус окружности и с( — расстояние от центра окружности до прямой. Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной,— за ось х (рис. 179). Тогда уравнением окружности будет хэ + уэ = В~, а уравнением прямой х = И. Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений х~ + у~ = В~, х = д имела решение. И обратно: всякое решение этой системы дает координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью.
Решая нашу систему, получим: *- с. с - и к л* — с' . Рис. 179 108 с класс Из выражения для у видно, что система имеет два решения, т. е. окружность и прямая имеют две точки пересечения, если В ) И (рис. 179, а). Система имеет одно решение, т. е. прямая и окружность касаются, если В = с( (рис. 179, б). Система не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если В ( я (рис. 179, в). Задача (50). Найдите точки пересечения окружности хз + уз = 1 с прямой у = 2х + 1. Решение. Так как точки пересечения лежат на окружности и на прямой, то их координаты удовлетворяют системе уравнений х~ + у = 1, у = 2х + 1. Решим эту систему.
Подставим у из второго уравнения в первое. Получим уравнение для х: бх +4х=О. Уравнение имеет два корня х, = 0 и 4 х = — —. Это абсциссы точек пересечения. Орди- 5 наты этих точек получим из уравнения прямой„подз ставляя в него х, и хг Получаем у, = 1, у = — —. 2 Итак, точки пересечения прямой и окружности (О; 1) ( — '; з). 5' зе 81. Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от О' до 180' До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь определим их для любого угла от 0' до 180'.
Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат и радиусом В (рис. 180). Отложим от положительной полуоси х в верхнюю полуплоскость (полуплоскость, где у > 0) угол а. 109 Рис. 180 Декартовы координаты ни плоскости Пусть х и у — координаты точки А. Значения з1п а, соз а и $8 а для острого угла а выражаются через координаты точки А, а именно: х, у у сова= —, з1па= ~, Сба= —. Определим теперь значения з1п а, соз а и 18 а этими формулами для любого угла а. (Для (д а угол а = 90' исключается.) При таком определении з1п 90' = 1, соз 90'= О, з1п 180'= О, соз 180 = — 1, (8 180 = О.
Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0', будем иметь з1п 0' = О, соз 0' = 1, $8 0' = О. Докажем, что для любого угла а, 0' < а < 180', з1п (180' — а) = = з1п а, соз (180' — а) = -соз а. Для угла а Ф 90' Фя(180' — а) = -$я а. Действительно, треугольники ОАВ и ОА,В, равны по гипотенузе и острому углу (рис. 181). Из равенства треугольников следует, что АВ = А,В„т. е. у = у,; ОВ = ОВ, следовательно, х = — хп Поэтому о ~ у1 у з1п(180 — а)= — = — = з)па, л н х1 сов(180' — а) = — = — = — сова. л л Разделив почленно равенство з|п (180' — а) = з(п а на равенство соз (180' — а) = — соз а, получаем: Сб(180' — а) = — (б а, что и требовалось доказать.
Контрольные вопросы 1. Объясните, как определяются координаты точки. 2. Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвертой) четверти? 3. Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат? Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс? Чему равнь1 координаты начала координат? 4. Выведите формулы для координат середины отрезка. б. Выведите формулу для расстояния между точками. 6. Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах? 7. Выведите уравнение окружности.
8. Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах + Ьу + с = О. 1 10 3 клихс Как найти координаты точек пересечения двух прямых, если заданы уравнения этих прямых? Как расположена прямая, если в ее уравнении коэффициент а = 0 (Ь = О, с = 0)7 Что такое угловой коэффициент прямой и каков его геометри- ческий смысл7 Докажите, что график линейной функции — прямая. При каком условии прямая и окружность не пересекаются в двух точках, касаются7 Дайте определения синуса, косинуса и тангенса для любого уг- ла от 0' до 180'. Докажите, что для любого угла а (О' < а < 180') э)п (180' — а) = э1п а, соз (180' — а) = — соз а, С3(180' — а) = = -С3 а.
10. 12. 13. 15. Задачи Пункт 71 Проведите оси координат, выберите единицу длины на осях, постройте точки с координатами: (1; 2), ( — 2; 1), ( — 1; — 3), (2; -1). Возьмите наудачу четыре точки на плоскости ху. Найдите ко- ординаты этих точек. На прямой, параллельной оси х, взяты две точки. У одной из них ордината у = 2. Чему равна ордината другой точки7 На прямой, перпендикулярной оси х, взяты две точки. У одной из них абсцисса х = 3. Чему равна абсцисса другой точки7 Из точки А (2; 3) опущен перпендикуляр на ось х. Найдите координаты основания перпендикуляра.
Через точку А (2; 3) проведена прямая, параллельная оси х. Найдите координаты точки пересечения ее с осью у. Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для кото- рых абсцисса х = 3. Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для кото- рых ~х| = 3. Даны точки А ( — 3; 2) и В (4; 1). Докажите, что отрезок АВ пе- ресекает ось ординат, но не пересекает ось абсцисс. Какую из полуосей оси у (положительную или отрицательную) пересекает отрезок АВ в предыдущей задаче7 Найдите расстояние от точки ( — 3; 4) до: 1) оси х; 2) оси у. 10. Пункт 72 12.
Найдите координаты середины отрезка АВ, если: 1) А (1; — 2), В (5; 6); 2) А (-3; 4), В (1; 2); 3) А (5; 7), В (-3; -5). ( 1 ) Декартоеое координаты на алоскости 13. Точка С вЂ” середина отрезка АВ. Найдите координаты второго конца отрезка АВ, если: 1) А (О; 1), С ( — 1; 2); 2) А ( — 1; 3), С (1; -1); 3) А (О; 0), С (-2; 2). Докажите, что четырехугольник АВСР с вершинами в точках А ( — 1; — 2), В (2; — 5), С (1; — 2), Р ( — 2; 1) является параллело- граммом.
Найдите точку пересечения его диагоналей. Даны три вершины параллелограмма АВСРт А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты четвертой вершины Р и точки пересечения диагоналей. Найдите середины сторон треугольника с вершинами в точках О (О; 0), А (О, "2), В (-4; 0). 15.
16. 18. 19. 20. 21. 22. Пункт 74 Какие из точек (1; 2), (3; 4), ( — 4; 3), (О; 5), (5; — 1) лежат на окружности, заданной уравнением х + у = 25? Найдите на окружности, заданной уравнением х + у = 169, точки: 1) с абсциссой 5; 2) с ординатой — 12. Даны точки А (2; 0) и В ( — 2; 6). Составьте уравнение окруж- ности, диаметром которой является отрезок АВ.
Даны точки А ( — 1; — 1) и С ( — 4; 3). Составьте уравнение окруж- ности с центром в точке С, проходящей через точку А. Найдите центр окружности на оси х, если известно, что ок- ружность проходит через точку (1; 4) и радиус окружности ра- вен 5. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), ка- сающейся оси х. Составьте уравнение окружности с центром ( — 3; 4), проходя- щей через начало координат. 23 24 25 26 27 28 29 30. Какая геометрическая фигура задана уравнением ,2 ф2 + у + ах + Ьу + с = О, 4 + 4 — с>0? Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: хз + уз = 1, хз + уз — 2х + у — 2 = О.
31. И2 в Пункт 73 Даны три точки А (4; — 2), В (1; 2), С ( — 2; 6). Найдите рассто- яния между этими точками, взятыми попарно. Докажите, что точки А, В, С в задаче 17 лежат на одной пря- мой. Какая из них лежит между двумя другими7 Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1; 2) и (2; 3). Найдите точку, равноудаленную от осей координат и от точки (3; 6). Докажите, что четырехугольник АВСР с вершинами в точках А (4; 1), В (О; 4), С (-3; 0), Р (1; -3) является квад- ратом. Докажите, что четыре точки (1; 0), ( — 1; 0), (О; 1), (О; — 1) яв- ляются вершинами квадрата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
