Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 22
Текст из файла (страница 22)
6. Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки2 7. Какая фигура называется центрально-симметричной? 8. Что такое центр симметрии фигуры2 Приведите пример центрально-симметричной фигуры. 9. Докажите, что симметрия относительно точки есть движение. 10. Какие точки называются симметричными относительно данной прямой? 11.
Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой2 12. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? 13. Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример. 14. Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение. 13.
Какое движение называется поворотом? 16. Что такое параллельный перенос? 17. Какие вы знаете свойства параллельного переноса? 18. Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку. 19. Какие полупрямые называются одинаково направленными? 20. Докажите, что если полупрямые а и Ь одинаково направлены и полупрямые Ь и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены. 21. Какие полупрямые называются противоположно направленными? 22.
Какие фигуры называются равными? Задачи Пункт 83 Докажите, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм. В какую фигуру переходит при движении квадрат? Объясните ответ. Пункт 84 3. Даны точки А и В. Постройте точку В', симметричную точке В относительно точки А. 1 26 3 класс 4. 5. 10.
Пункт 85 Даны точки А, В, С. Постройте точку С', симметричную точ- ке С относительно прямой АВ. Решите задачу 12, пользуясь только циркулем. Чему равны координаты точки, симметричной точке ( — 3; 4) от- носительно: 1) оси х; 2) оси у; 3) начала координат7 При симметрии относительно некоторой прямой точка Х пере- ходит в точку Х'.
Постройте точку, в которую при этой сим- метрии переходит точка У. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, являет- ся его осью симметрии. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью сим- метрии треугольника. Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то: 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник рав- нобедренный. Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника7 13. 14.
15. 18. Рис. 207 Рис. 208 Рис. 209 127 Движение Решите предыдущую задачу, пользуясь только циркулем. Докажите, что центр окружности является ее центром симме- трии. При симметрии относительно некоторой точки точка Х пере- ходит в точку Х'. Постройте точку, в которую при этой сим- метрии переходит точка У.
Может ли у треугольника быть центр симметрии7 Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагона- лей является центром симметрии. Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симме- трии, является параллелограммом. Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке (рис. 207). Что представляет собой фигура, симметричная относительно данной точки: 1) отрезку; 2) углу; 3) треугольнику7 20.
Докажите, что прямые, проходящие че- рез точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 208). 21. Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии. 22. Докажите, что диагонали квадрата и пря- мые, проходящие через точку их пересечения параллельно его сторонам, являются осями симметрии квадрата (рис. 209). 23.
Докажите, что прямая, проходящая че- рез центр окружности, является ее осью симметрии. 24. Даны три попарно пересекающиеся пря- Рис. 210 мые а, Ь, с. Как построить отрезок, перпендикулярный прямой Ь, с серединой на прямой Ь и концами на прямых а и с (рис. 210)? Всегда ли задача имеет решение7 Пункт 86 1) Постройте точку А„в которую переходит точка А при по- вороте около точки О на угол 60' по часовой стрелке. 2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при по- вороте около точки О на угол 60' по часовой стрелке. Постройте фигуру, в которую переходит треугольник АВС при повороте его около вершины С на угол 60'.
25. 26. 27. 28. Пункт 88 При параллельном переносе точка (1; 1) переходит в точку ( — 1; 0). В какую точку переходит начало координат? Существует ли параллельный перенос, при котором: 1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4), а точка (О; 1) — в точку (-1; 0); 2) точка (2; — 1) переходит в точку (1; 0), а точка ( — 1; 3) — в точку (О; 4)? 30.
31. Пункт 87 Даны точки А, В, С. Постройте точку С', в которую переходит точка С при параллельном переносе, переводящем точку А в В. Параллельный перенос задается формулами х' = х + 1, у' = у — 1. В какие точки при атом параллельном переносе пе- реходят точки (О; 0), (1; 0), (О; 2)7 Найдите величины а и Ь в формулах параллельного переноса х' = х + а, у' = у + Ь, если известно, что: 1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4); 2) точка (2; -3) — в точку ( — 1; 5); 3) точка ( — 1; -3) — в точку (О; — 2).
Пункт 89 Прямые АВ и СР параллельны. Точки А и Р лежат по одну сторону от секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и СР одина- ково направлены. Докажите, что в задаче 32 лучи ВА и СР противоположно на- правлены, если точки А и Р лежат по разные стороны от се- кущей ВС. Четырехугольник АВСР— параллелограмм. Среди лучей АВ, ВА, ВС, СВ, СР, РС, АР, РА назовите пары одинаково и про- тивоположно направленных лучей. 33. Векторы 91.
Абсолютная величина и направление вектора Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 211). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, Ь, с, .... Можно также обозначать вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта. Вектор на рисунке 211 можно обозначить так: а, а или АВ, АВ Векторы АВ и СР называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и СР одинаково направлены. Векторы АВ и СР называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и СР противоположно направлены.
На рисунке 212 векторы а и Ь одинаково направлены, а векторы а и с противоположно направлены. Рис. 211 Рис. 212 129 В. и.в» 5 Гоовввров. О-» вв. Пункт 90 Зб. Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением. 36. У параллелограммов АВСР и А,В,С,Р, АВ = А,В„АР = А,Р, и ~А = ~А,. Докажите, что параллелограммы равны, т. е. совмещаются движением. 37.
Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали. 38. Докажите, что две окружности одинакового радиуса равны. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора а обозначается !а!. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят.
Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю. 92. Равенство векторов Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало н конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.
Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны. Действительно, пусть АВ и СР— одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.
213). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СР с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и СР равны, то при этом точка Р совмещается с точкой В, т. е. параллельный перенос переводит вектор СР в вектор АВ. Значит, векторы АВ и СР равны, что и требовалось доказать. Задача (2). Четырехугольник АВСР— параллелограмм.
Докажите равенство векторов АВ и .РС. Решение. Подвергнем вектор АВ параллельному переносу, при котором точка А переходит в точку Р (рис. 214). При этом переносе точка А смещается по прямой АР, а значит, точка В смещается по параллельной прямой ВС. Прямая АВ переходит в параллельную прямую, а значит, в прямую РС. Следовательно, точка В переходит в точку С. Таким Рис. 213 А Рис.
214 образом, наш параллельный перенос переводит вектор АВ в вектор 1)С, а значит, эти векторы равны. Пусть й — вектор и А — произвольная точка. Тогда от точки А можно отложить один и только один вектор й', равный вектору й. Действительно, существует единственный параллельный перенос, при котором начало вектора й переходит в точку А. Вектор, в который переходит при этом вектор й, и есть вектор й.
Для практического откладывания от данной точки (Ю) вектора, равного данному (АВ), можно воспользоваться задачей 2. 93. Координаты вектора Пусть вектор й имеет началом точку А, (х2,' у2), а концом точку А2 (х2; у2). Координатами вектора й будем называть числа й2 = х2 — хп а2 = у2 — уг Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора„ в данном случае а (й,; а2) или просто (й,; й2). Координаты нулевого вектора равны нулю. Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсолютная величина вектора с координатами й, й равна кй,+й2 ~Г2 2 Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
