Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов 30', Задачи Пункт 62 1. Постройте угол, косинус которого равен: 1) — 2) —; 3) 0,5; в ' 3 4) 0,8. Пункт 63 2. У прямоугольного треугольника заданы катеты а и Ь. Найди те гипотенузу, если: 1) а = 3, Ь = 4; 2) а = 1, Ь = 1; 3) а = 5, Ь = 6. 3. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и ка- тет а. Найдите второй катет, если: 1) с = 5, а = 3; 2) с = 13, а = 5; 3) с = б, а = 5. 4. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону.
(Два случая.) 5. Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, б, 7? 6. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 1) б см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м. 7. Стороны прямоугольника 60 см и 91 см. Чему равна диагональ? 8. Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата? 9. Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1 м? Найдите высоту равнобокой трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м. Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь, проведенную к основанию.
Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверх- ностью Земли на высоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200 км? Радиус Земли равен 6370 км. 10 12 45', 60'? 14. Докажите, что з1п а и Фб а возрастают при возрастании острого угла а, а соз а убывает. 13 В равностороннем треугольнике со сторо- С ной а найдите высоту. Даны отрезки а и Ь. Как построить отрезок: 1) 1Га~+Ь; 2) 1Га — Ь а > Ь? Даны отрезки а и Ь.
Как построить отрезок х=МаЬ 7 Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями рав- Рво. 164 но 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба. Докажите, что если треугольник имеет стороны а, Ь, с и а + Ь = с~, то угол, противолежащий стороне с, прямой.
Чему равен угол треугольника со сторонами 5, 12, 13, проти- волежащий стороне 137 14 15 17 18 Пункт 65 На стороне АВ треугольника АВС взята точка Х. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней мере одной из сторон АС или ВС. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. Даны прямая и точка С на расстоянии Ь от этой прямой. До- кажите, что из точки С можно провести две и только две на- клонные длины г, если 1 > Й (рис. 164).
19 20 21 22. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках. 24. Докажите, что точки А В, С лежат на одной прямой, если: 1) АВ = 5 м, ВС = 7 м, АС = 12 м; 2) АВ = 10,7, ВС = 17,1, АС = 6,4.
25. Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. 26. Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см7 27. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая — 0,7 м Найдите третью сторону, зная, что ее длина равна целому чис- лу метров. 28. Докажите, что медиана треугольника АВС, проведенная из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС. 95 теорема Пифагора Пункт 66 23. Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.
Известно, что диагонали четырехугольника пересекаются. До- кажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше по- лупериметра четырехугольника. Отрезки АВ и СЮ пересекаются в точке О. Докажите, что сум- ма расстояний от любой точки плоскости до точек А, В, С и В не меньше чем ОА + ОВ + ОС + ОВ. 29 30 остановки так, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов А и В была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) населенные пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис.
165, а); 2) населенные пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 165, б). 32. Могут ли стороны треугольника быть пропорциональны числам 1, 2, 37 33. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра. 34. Внутри окружности радиуса В взята точ- ка на расстоянии д от центра.
Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности. 35. Вне окружности радиуса В взята точка на расстоянии д от центра. Найдите на- ) ибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности. 36. Могут ли пересекаться окружности, цен- тры которых находятся на расстоянии 20 см, а радиусы равны 8 см и 11 см7 Объясните ответ. 37. Могут ли пересекаться окружности радиусами 6 см и 12 см, центры которых находятся на расстоянии 5 см7 Объясни- те ответ. 38.
Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см находится вну- три окружности радиуса 12 см. 39. Могут ли пересекаться окружности с радиусами В~ и В и расстоянием между центрами д, если В, + Вз < 47 40. Даны три положительных числа а, Ь, с, удовлетворяющие условиям а < Ь < с < < а + Ь. Докажите последовательно ут- верждения: сз+ аз — а~ 1) 0«п' Рис. 166 31. На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной 41. 42. 43. 45. 46.
47. 49. 50. 51. 52. 2) существует прямоугольный треугольник ВСЮ, у которого ги- с2т 2 Ь2 потенуза ВС = а, а катет ВЭ= (рис. 166); 2с 3) треугольник АВС, у которого ВС = а, АВ = с, а расстояние с та2 — Ь2 ВХ) равно , имеет сторону АС = Ь (рис. 166). 2с Даны три положительных числа а, Ь, с. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами а, Ь, с.
Можно ли построить треугольник со сторонами: 1) а = 1 см, Ь = 2 см, с = 3 см; 2) а = 2 см, Ь = 3 см, с = 4 см; 3) а = 3 см, Ь = 7 см, с = 11 см; 4) а = 4 см, Ь = 5 см, с = 9 см? Даны две окружности с радиусами В, В2 и расстоянием между центрами сг. Докажите, что если каждое из чисел В„В2 и с( меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках (рис. 167). Пункт 67 У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8.
Найдите гипотенузу и другой катет. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а, а один из острых углов и. Найдите другой острый угол и катеты. В прямоугольном треугольнике катет равен а, а противолежащий ему угол а. Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу. 1) Найдите в1п 22', вш 22'36'; з)п 22'38', в1п 22'41", сов 68'; сов 68'18'; сов 68'23'. 2) Найдите угол х, если в1п х = 0,2850; в1п х = 0,2844; сов х = 0,2710. Найдите значения синуса и косинуса углов: 1) 16', 2) 24'36', 3) 70'32", 4) 88'49'.
1 Найдите величину острого угла х, если: 1) в(п х = 00175; 2) в1п х = 05015; 4( 3) сов х = 0,6814; 4) сов х = 0,0670. 2 Найдите значение тангенса угла: 1) 10', 2) 40'40", 3) 50'30'; 4) 70'15'. Найдите острый угол х, если: 1) 23 х = = 0,3227; 2) 23 х = 0,7846; 3) 28 х = = 6,152; 4) $д х = 9,254. Рис. 167 4Г л ярля,7-4 л. 97 теорема ятифагора 64. Найдите соз а и 1я а, если: З . 4О 1) зша = —; 2) з1па = — ' 3 ' 41 3) зш а = 0,8. 65. Постройте угол а, если известно, что: 1) сова = —; 2) зтпа = —; 3) з1п а = 0,5; 4, .
4 4) Фйа= —; 5) $6 а = 0,7. з Рис. 169 Пункт 69 В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а и углом 60' найдите катет, противолежащий этому углу. Найдите радиус г окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус В окружности, описанной около него. В треугольнике один из углов при основании равен 45', а вы- сота делит основание на части 20 см и 21 см. Найдите ббль- шую боковую сторону' (рис. 169). У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащие к ней углы равны 30' и 45'. Найдите другие стороны треугольника. Диагональ прямоугольника в 2 раза больше одной из его сто- рон. Найдите углы между диагоналями. Диагонали ромба равны а и ач'3. Найдите углы ромба. 67. 69.
70. 71. Пункт 70 Какой из углов больше — а или )), если: 1 . 1 1) 81па = — з1п8 = —. 4 ' 72. 2 . 3 2) з1п а = — 81п )) =— з' 4 ' 3 2 3) сова= —, соз~)=— г' 3' 4) соз а = 0,75, соз ~) = 0,74; 6) 1иа= —, зяб= — 7 8 3 з' 2 5) Фи а=2,1, $и ~)=2,5; Иногда в произвольном треугольнике, необязательно равнобедрен- ном, сторона, проведенная горизонтально, называется основанием, а две другие — боковыми сторонами, как в данной задаче.
99 теорема пифогоро У прямоугольного треугольника АВС угол А больше угла В. Какой из катетов больше — АС или ВС7 У прямоугольного треугольника АВС катет ВС больше катета АС. Какой угол больше — А или В7 Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у = О), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (х = О). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю. Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью ху.
Произвольную точку на этой плоскости с координатами х и у будем иногда обозначать просто (х, у). Введенные на плоскости координаты х и у называются декартовыми по имени Р. Декарта, который впервые применил их в своих исследованиях. Задача (9). Даны точки А ( — 3; 2) и В (4; 1). Докажите, что отрезок АВ пересекает ось ординат, но не пересекает ось абсцисс.
Решение. Ось у разбивает плоскость ху на две полуплоскости. В одной полуплоскости абсциссы точек положительны, а в другой — отрицательны, Так как у точек А и В абсциссы противоположных знаков, то точки А и В лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок АВ пересекает ось у. Ось х также разбивает плоскость ху на две полуплоскости. В одной полуплоскости ординаты точек положительны, а в другой — отрицательны. У точек А и В ординаты одного знака (положительны). Значит, точки А и В лежат в одной полуплоскости. А следовательно, отрезок АВ не пересекается с осью х. 72. Координаты середины отрезка Пусть А (х,; у1) и В (хз; уз) — две произвольные точки и С (х; у) — середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у точки С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
