Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Действительно (см. рис. 152), по теореме Пифагора АВ~ + АС = ВС~. А Х Р В б) С В Х А Р Рис. 153 87 Теореии Пифиеоро Отсюда видно, что ВС ) АВ. При данном АВ чем больше АС, тем больше ВС, Задача (19). На стороне АВ треугольника АВС взята точка Х. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней мере одной из сторон АС или ВС. Решение. Проведем высоту СР треугольника. В любом случае отрезок РХ меньше либо АР (рис. 153, а), либо ВР (рис.
153, б). По свойству наклонных, проведенных из одной точки, следует, что отрезок СХ меньше по крайней мере одного из отрезков АС или ВС. Что и требовалось доказать. 66. Неравенство треугольника Если точки А и В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю. Теорема (неравенство треугольника) Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы рас- стояний от них до третьей точки. Это значит, что каждое из этих расстояний меньше суммы или равно сумме двух других.
Доказательство. Пусть А, В, С вЂ” три данные точки. Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. В этом случае АВ + ВС = АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других. Допустим теперь, что точки не лежат на одной прямой (рис.
154). Докажем, что АВ < АС + + ВС. Опустим перпендикуляр С0 на прямую АВ. По доказанному АВ < А1) + ВР. И так как АЮ < АС и В)) < ВС, то АВ < АС + ВС. Теорема доказана. Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что а) А В(В) б) Рис. 154 Задача (23). Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром. Решение (рис. 155). По неравенству треугольника АВ < ОА + ОВ = 2В, причем если центр О не лежит на отрезке АВ, то не- равенство строгое. Равенство имеет место только в случае, когда хорда проходит через центр, т. е.
яв- ляется диаметром. Рис. 155 в любом треугольнике каждая сторона меньше сум- мы двух других сторон. Рис. 156 Синус и тангенс угла, так же как и косинус, зави- сят только от величины угла. Действительно, по теореме Пифагора ВС-~Ы~ АС а = с вша Ь = с сова а=бсца вс По определению з1па = Так как соз а зависит только от величины угла, то и зш а зависит только от величины угла.
вс По определению сяа=А .Разделим числитель н знаменатель на АВ: Рис. 157 ВС АС в!о а АВ ' АВ сова Значит, Ья а зависит только от величины угла. Из определения з1п а, сов а и $я а получаем следующие правила: Катет, противолежащий углу а, равен произведе- нию гипотенузы на в(п а. Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на сов а. Катет, противолежащий углу а, равен произведе- нию второго катета на $д а. 39 теоре.чо 17офогоро 67. Соотношения между сторонами и углами н прямоугольном треугольнике Пусть АВС вЂ” прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а (рис. 156).
Согласно определению сов а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе. Синусом угла а (обозначается з)п а) называется отношение противолежащего катета ВС вс к гипотенузе АВ: е)п а = —. АВ ' Тангенсом угла а (обозначается $я а) называется отношение противолежащего катета ВС вс к прилежащему катету АС: 66а=— АС Рис. 158 АС = АВ сов а = с сов а; ВС = АВ вш а = с в1п а; ВР=ВСв(па=свш а; А0 = АС сов а = с совв а; СЮ = АС в1п а = с вгп а сов а. Для в1п а, сов а и Фй а составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу а найти вш а, сов а и $я а или по значениям в1п а, сов а, тя а найти соответствующий угол.
В настоящее время для этой цели обычно применяют микрокалькуляторы. 68. Основные тригонометрические тождества Одно тождество вы уже знаете: в!па сова Докажем следующие тождества: в1п а+соева=1, 1+15 а=, 1+ 2 1 1 сова вв а в!с а Возьмем любой прямоугольный треугольник АВС с углом при вершине А, равным а (рис. 159). По теореме Пифагора ВС + АС = АВ2. Разделим обе части равенства на АВ2. По- Рис. 159 лучим:,19 + ВС , АС Но =в1па, — „=сова. Таким образом, в1п а + сов а = 1. 90 з класс Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить острые углы (рис. 157). Задача (47). В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а.
Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу. Решение (рис. 158). Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла а. Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного тождества на совв а. Получим: в!п а 1 2 +1=, или 1+16'а = оо ' о савва ' сов а Коли обе части тождества вш а + соева = 1 разделить на в1п а, то получим третье тождество: 1 1 1+ вва в1па Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин в1п а, сов а или $я а, найти две другие. Задача (63). Вычислите значения в1па и Зяа, если 5 сова = —.
1З ' Решение. Так как в1па+ сова = 1, то /51 12 в1па= 1 — сов а = 1 — ( — ) 2 1,12) 1з ' в1п а 12 Фяа= сова 5 Рис. 160 69. Значения синуса; косинуса и тангенса некоторых углов Теорема ЕИИ Для любого острого угла а в1п (90' — а) = сов а, сов (90' — а) = в)п а.
Доказательство. Пусть АВС вЂ” прямоугольный треугольник с острым углом а при вершине А (рис. 160). Тогда острый угол при вершине В равен 90' — а. По определению ВС АС в1па = —, сова = АВ* АВ' АС вс в1п(90' — а) = —, сов(90' — а) =— АВ ' АВ ' 9 1 теоре.ио Пифагора 1 ~Г2 »2 з(п 45' = а 1Г2 1 'Г2 соз 45' = а "1'2 гя 45' = — =1. Яг 2 Найдем синус, косинус и тангенс угла 30'. Возьмем равносторонний треугольник АВС (рис.
162). Проведем в нем медиану АР. Она будет биссектрисой и высотой. Поэтому треугольник АВР прямоугольный с острым углом при вершине А, равным 30'. Пусть а — сторона равностороннего треугольника. Тогда ВР= —. По теореме Пифагора 2 ' В г,г АР= А — В1» = а — ~ — ~ г г г 'а' а1Г3 2 2 Значит, з(п30 = — ':а= а 'ГЗ 1(З соз 30'= :а= —, 2 2 30 вса 30' 1 1сз 1 вЗ сов ЗО 2 2 Я 3 Так как з1п а = соз (90' — а), то ~Гз зш 60' = соз 30' = А а С Рис. 161 В соз 60 = з1п 30 = —, 1 2 ' 60в в1с 60' „(3 сов 60 Рис.
162 Из второго и третьего равенств получаем в(п (90' — а) = соз а. Из первого и четвертого равенств получаем соз (90' — а) = з)п а. Теорема доказана. Найдем синус, косинус и тангенс угла 45'. Для этого построим прямоугольный треугольник с острым углом 45' (рис.
161). Второй его острый угол тоже равен 45', поэтому треугольник равнобедренный. Пусть катеты треугольника равны а. По теореме Пифагора гипотенуза будет а с'2 . Находим: 70. Изменение синуса, косинуса и тангенса ири возрастании угла Теорема Ий~ При возрастании острого угла зш а и $я а возрастают, а соз а убывает.
Доказательство. Пусть а и ~) — острые углы, причем а < р. Отложим углы а и р от полупрямой АВ в одну полуплоскость (рис. 163). Проведем через точку В прямую, перпендикулярную АВ. Она пересекает стороны наших углов в точках С и Р. Так как а < р, то точка С лежит между точками В и Р. Поэтому ВС < ВР. А значит, по свойству наклонных, проведенных из одной точки к прямой, АС < АР. АВ АВ Так как соз а = —, соз ~) = —, то соз а > соз ~), т.
е. при возрастании угла косинус убывает. В Рзс. 163 т, .; -'Й-.," . ° уб . вает при возрастании угла, то з)п а возрастает. мпа Так как Фба =,,„и з)п а возрастает, а соз а убывает при возрастании а, то 18 а возрастает при возрастании а. Теорема доказана. 93 теорема пифагора Контрольные вопросы 1. Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. 2.
Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. 3. Докажите теорему Пифагора. 4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов. б. Докажите, что соз а < 1 для острого угла а. 6. Докажите, что если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра.
Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. 7. Докажите неравенство треугольника. 8. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. 9. Дайте определения синуса и тангенса острого угла. Докажите что они зависят только от градусной меры угла.
10. Как выражается катет прямоугольного треугольника через ги потенузу и острый угол, через острый угол и другой катет? 11. Докажите тождества: а(п а + соз а = 1; 1+сй а=; 1+ в 1 1 1 сов а 1я а в1а а 12. Докажите, что для любого острого угла а з(п (90' — и) = соз а, соз (90' — а) = з1п а 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
