Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не'параллелен оси у, т. е. х, т х . Проведем через точки А, В, С прямые, параллельные оси у (рис. 173). Они пересекут ось х в точках А~ (х; О), В, (хс; О), С, (х; О). По теореме Фалеса точка С, будет серединой отрезка А,В,. Так как точка С, — середина отрезка А,В,, то А,С, = В1С„а значит,!х — х,! =!х — хз~.
Отсюда следует, что либо х — х,= х — х, либо х — х, = = — (х — хз). Первое равенство невозможно, так как Рис. 172 Рис. 173 ДекартоВы координаты на нлоскоети х, х х . Поэтому верно второе. А из него получает- Х11.Х2 ся формула х= 2 Если х, = хз, т. е. отрезок АВ параллелен оси у, то все три точки А,, В„С, имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остается верной и в этом случае. Ордината точки С находится аналогично.
Через точки А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается формула ул т у2 у= Задача (15). Даны три вершины параллелограмма АВСВч А (1; О), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты вершины Р и точки пересечения диагоналей. Решение. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Поэтому она является серединой отрезка АС, а значит, имеет координаты 1+3 О+2 х= 2 ' 2 =2 у= = 1. Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, находим координаты х, у четвертой вершины В. Пользуясь тем, что точка пересечения диагоналей является серединой отрезка ВР, имеем: 2ьх 3+у 2 ' 2 Отсюда х = 2, у = — 1. 7З. Расстояние между точками Пусть на плоскости ху даны две точки: А1 с координатами х„у, и Аэ с координатами хэ, уз.
Выразим расстояние между точками А, и А через координаты этих точек. Рассмотрим сначала случай, когда х,~ ха и у1 х уз. Проведем через точки А1 и Аз прямые, параллельные осям координат, и обозначим через А точку их пересечения (рис. 174). Расстояние между точками А и А, равно ~у1 — у ~, а расстояние между тОЧКаМИ А И Аз раВНО ~Х1 — Х ~. ПрИМЕНяя К ПряМО- рвс.
П4 102 В класс угольному треугольнику АА„А теорему Пифагора, получим: (' = (х, — х,)' + (у, — у,)', (*) где е( — расстояние между точками А, и А . Хотя формула (*) для расстояния между точками выведена нами в предположении х, ~ х, у, ~ у, она остается верной и в других случаях. Действительно, если х, = х, у1 ~ у, то д равно ~у, — у ~, Тот же результат дает и формула (*). Аналогично рассматривается случай, когда х~ ~ хм у, = ум При х, = хм у1 = уз точки Ап Аз совпадают и формула (*) дает д = О. Задача (19). Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1; 2) и (2; 3).
Решение. Пусть (х; 0) — искомая точка. Приравняв расстояния от нее до данных точек, получим: (х — 1)з + (Π— 2)з = (х — 2)и + (Π— 3)~. Отсюда находим х = 4. Значит, искомая точка есть (4; 0). 74. Уравнение окружности Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры. Составим уравнение окружности с центром в точке Ае (а; Ь) и радиусом В (рис.
17б). Возьмем произвольную точку А (х; у) на окружности. Расстояние от нее до центра Ае равно В. Квадрат расстояния от точки А до точки Ае равен (х — а) + + (у — Ь)~. Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению (х — а) + (у — Ь) = В~. (*) Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению (и), принадлежит окружности„так как расстояние от нее до точки Ае Рвс. 175 )оз Декиртоиы коордикиты ки илоскости равно В. Отсюда следует, что уравнение (*) действительно является уравнением окружности с центром Аа и радиусом В.
Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид: хг + у = Вг. Задача (ЗО). Какая геометрическая Фигура задана уравнением а Ьг х2+ у 2+ ах+ Ьу+ с = О, — + — — с > 07 4 4 Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом: г а' 2 Ь' а' Ь' х +ах+ — +у +Ьу+ — = — + — — с. 4 4 4 4 Видим, что рассматриваемая Фигура — оокружность а2 Ь2 с центром ~ — —; — — ~ и радиусом В = — + — — с . 75.
Уравнение прямой Докажем, что любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах+Ьу+с=О, (е) где а, Ь, с — некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а, Ь не равно нулю. Пусть Ь вЂ” произвольная прямая на плоскости ху. Проведем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой Ь, и отложим на ней от точки пересечения С с прямой Ь равные отрезки СА„и СА2 (рис.
176). Пусть ап Ьг — координаты точки А, и аг, Ьг — координаты точки Аг. Как мы знаем, любая точка А (х; у) прямой Ь равноудалена от точек А, и А . Поэтому координаты ее удовлетворяют уравнению (х — а,)' + (у — Ь,)' = (х — аг)' + (у — Ь,)' (ва) рвс. 1тб 104 В класс — а + Ь + с = О, а + с = О. Из этих уравнений можно выразить два коэффициента, например а и Ь, через третий: а = — с, Ь = — 2с. Подставляя эти значения а и Ь в уравнение прямой, получим: — сх — 2су + с = О.
На с можно сократить. Тогда получим: -х — 2у+1=0. Это и есть уравнение нашей прямой. 76. Координаты точки пересечения прямых Пусть заданы уравнения двух прямых: ах+Ьу+с=О, а,х + Ь,у + с, = О. Найдем координаты их точки пересечения. Так как точка пересечения (х; у) принадлежит каждой из прямых, то ее координаты удовлетворяют и первому и второму уравнению. Поэтому координаты точки пересечения являются ре- Декартовы коордииаты ка алоскости 105 Обратно: если координаты х и у какой- нибудь точки удовлетворяют уравнению (**), то эта точка равноудалена от точек А1 и А, а значит, принадлежит прямой Ь. Таким образом, уравнение (**) является уравнением прямой Ь. Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести все члены уравнения в левую его часть, то оно примет вид: 2(а, — а,)х + 2(Ьа — Ь,)у + (а~ + Ь, — аз~ — Ь~~) = О.
Обозначая 2(аз — а,) = а, 2(Ьз — Ь1) = Ь, а~ + Ь1з — азз — Ьзз = с, полУчаем УРавнение (*). По крайней мере одно из чисел а, Ь не равно нулю, так как точки А, и Аа различны. Утверждение доказано. Задача (Зб). Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки А ( — 1; 1), В (1; 0). Решение. Как мы знаем, наша прямая имеет уравнение вида ах + Ьу + с = О. Точки А и В лежат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставляя координаты точек А и В в уравнение прямой, получим: шепнем системы уравнений, задающих прямые.
Рас- смотрим пример. Пусть уравнениями данных прямых будут: Зх — у+2=0, бх — 2У+ 1 =0. Решая эту систему уравнений, находим х = — 3, у = — 7. Точка пересечения прямых ( — 3; — 7). Задача (43). Докажите, что прямые, задаваемые урав- нениями у = Йх + („у = Йх + )г, при 1, ~ 1г парал- лельны. Решение. Допустим, прямые не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке (х,; уг). Так как точка пересечения принадлежит каждой из прямых, то для нее Уг = )гхг + 11 Уг = )гхг + (г.
Вычитая эти равенства почленно, имеем 0 = 1, — ( . А это противоречит условию (1, ~ 1 ). Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано. 77. Расположение прямой относительно системы координат Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение ах+Ьу+с=О имеет тот или иной частный вид. 1. а = О, Ь х О. В этом случае уравнение с прямой можно переписать так: У = — — . Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же орди/' с~ нату Гц; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 177, а). В частности, если с = О, то прямая совпадает с осью х.
2. Ь = О, а ~ О. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси у (рис. 177, 6) и совпадает с ней, если н с = О. 3. с = О. Прямая проходит через начало координат, так как координаты (О; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рнс. 177, в). б) в) Рис. 177 1 06 В класс Задача (4б). Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси х и проходит через точку (2; — 3).
Решение. Так как прямая параллельна оси х, то она имеет уравнение вида у + с = О. Так как точка (2; — 3) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: — 3 + с = О. Отсюда с = 3. Следовательно, уравнение прямой у + 3 = О.
78. Угловой коэффициент в уравнении прямой Если в общем уравнении прямой ах + + Ьу + с = О коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим: а с у =- — х — — ° ь ь а с Или обозначая — — = й — — =1 получим: у = йх + 1.
1 ь ' ь Выясним геометрический смысл коэффициента Й в этом уравнении. Возьмем две точки на прямой А (х1,' у1), о) В (х; у2) (х, < х2). Их координаты удовлетворяют уравнению прямой: У, = Йх1 + 1, У2 = Йхз + Вычитая эти равенства почленно, получим у2 — у, = й(х2 — х,). Отсюда У2- У1 х2 — Х1 В случае, представленном на рисунке У2 У1 б) 178, а, „„=2ко..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
