Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 21
Текст из файла (страница 21)
195). Пусть произвольная точка А (х; у) фигуры г переходит в точку А' (х'; у') фигуры г'. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек А и А' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: х' = — х. Возьмем две произвольные точки А (х,; у,) и В (хз; уз).
Они перейдут в точки А' ( — х,; у,) и В' ( — х~', уз), Имеем: АВ = (х — х ) + (у — у~)~, А'В' = ( — хз + хд) + (уз — р~) . ) 1 9 деимсение Отсюда видно, что АВ = А'В'. А это значит, что пре- образование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана. 86. Поворот Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном н том же направлении (рис. 196). Это значит, что если при повороте около точки О точка Х переходит в точку Х', то лучи ОХ и ОХ' образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка Х. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.
Задача (25). 1) Постройте точку Аи в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60' по часовой стрелке. 2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 60' по часовой стрелке. Решение. 1) Проведем луч ОА и построим луч ОМ так, что ~АОМ = 60' (рис. 197, а). Отложим на луче ОМ отрезок ОА„равный отрезку ОА. Точка А, является искомой. 2) Построим точки А, и В,, в которые переходят при заданном повороте точки А и В, являющиеся концами отрезка АВ (рис. 197, б). Отрезок А~В, является искомым, поскольку при повороте отрезок переходит в отрезок.
Рис. 196 а) 87. Параллельный перенос и его свойства Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 198). Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение «в одном и том же направлении», которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение. Рис.
197 120 з к»а«с Введем на плоскости декартовы координаты х, у. Преобразование фигуры У, при котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку (х + а; у + Ь), где а и Ь вЂ” одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным переносом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами х' = х + а, у' = у + Ь. Эти формулы выражают координаты х', у' точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе. Параллельный перенос есть движение. Действительно, две произвольные точки А (х,; у,) и В (х; у ) переходят при параллельном переносе в точки А' (х, + а; у, + Ь), В' (хз + а; у + Ь). Поэтому 4В = (хс М + (уз у1) А'В' = (хс — х,) + (уз — у,) . Отсюда АВ = А'В'. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.
Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. Действительно, пусть точки А (х„у,) и В (хз; уз) переходят в точки А' (х, + а; у, + Ь) и В' (хз + а; у + Ь) (рис. 200). Середина отрезка АВ' имеет координаты х1»хз»с у1»уз»ь х,у Рис. 198 Рис. 399 Те же координаты имеет и середина отрезка А'В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны АА' и ВВ' параллельны и равны.
Заметим, что у параллелограмма АА'В'В В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ и А"В'. Отсюда следует, что Рис. 200 при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя). Замечание. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА'. В случае, когда точка В лежит на прямой АА', точка В' тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ' совпадает с серединой отрезка ВА' (рис. 201).
Значит, все точки А, В, А', В' лежат на одной прямой. Далее, = 1Га~+ Ь ВВ' = Таким образом, в этом случае точки А и В смещаются по прямой АВ на одно н то же расстояние "~а +Ь, а прямая АВ переходит в себя. 'Га а 88. Существование и единственность параллельного переноса Теорема Каковы бъи ни были две точки А и А', существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'. Доказательство.
Начнем с доказательства существования параллельного переноса, переводящего точку А в точку А'. Введем декартовы координаты на плоскости. Пусть аы аз — координаты точки А и а',, а' — координаты точки А'. Параллельный перенос, заданный Формулами х = х + О1 яп р = р + Оз ам переводит точку А в точку А'. Действительно, при х = а1 и у = а получаем х' = а'„у' = а' . Докажем единственность параллельного переноса, переводящего точку А в точку А'. Пусть Х вЂ” произвольная точка Фигуры и Х' — точка, в которую она переходит при параллельном переносе 1 22 з класс Рзс.
202 Так как точка (1; 1) переходит в точку (-1; 0), то — 1 = 1 + а, 0 = 1 + Ь. Отсюда а = — 2, Ь = — 1. Таким образом, наш параллельный перенос, переводящий точку (1; 1) в точку ( — 1; 0), задается формулами х' = х — 2, у' = у — 1. Подставляя в зти формулы координаты начала (х = О, у = 0), получим х' = — 2, у' = — 1. Итак, начало координат переходит в точку ( — 2; — 1).
89 Сонаправленность полупрямых Две полупрямые называются одинаково направленными или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом, т. е. существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую. Если полупрямые а и Ь одинаково направлены и полупрямые Ь и с одинаково направлены, то по- лупрямые а и с тоже одинаково направлены (рис. 203). Действительно, пусть параллельный перенос, задаваемый формулами х'=х+т,у'=у+и, (*) переводит полупрямую а в полупрямую Ь, а параллельный перенос, задаваемый формулами х" = х' + еип у" = у' + и,, переводит полупрямую Ь в полупрямую с. Рис.
203 1 23 деижеиие (рис. 202). Как мы знаем, отрезки ХА' и АХ' имеют общую середину О. Задание точки Х однозначно определяет точку Π— середину отрезка А'Х. А точки А и О однозначно определяют точку Х'„так как точка О является серединой отрезка АХ'. Однозначность в определении точки Х' и означает единственность параллельного переноса. Теорема доказана полностью.
Задача (30). Прн параллельном переносе точка (1; 1) переходит в точку ( — 1; 0). В какую точку переходит начало координат7 Решение. Любой параллельный перенос задается формулами х' = х + а, у' = у + Ь. Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами х" = х + т + т,, у" = у + и + и,. (***) Утверждаем, что этот параллельный перенос переводит полупрямую а в полупрямую с. Докажем это. Пусть (х; у) — произвольная точка полу- прямой а.
Точка (х + т; у + и) принадлежит полупрямой Ь согласно формулам (*). Так как точка (х + т; у + п) принадлежит полупрямой Ь, то согласно формулам (**) точка (х + т + т1; у + п + пд) принадлежит полупрямой с. Таким образом, параллельный перенос, задаваемый формулами (***), переводит полупрямую а в полупрямую с. А это значит, что полупрямые а и с одинаково направлены, что и требовалось доказать.
Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одина- ново направлена с полупрямой, дополнительной к другой (рис. 204). Задача (32). Прямые АВ и СР параллельны. Точки А и Р лежат по одну сторону от секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и СР одинаково направлены. Решение. Подвергнем луч С.Р параллельному переносу, при котором точка С переходит в точку В (рис. 20б). При этом прямая СР совместится с прямой ВА. Точка Р, смещаясь по прямой, параллельной СВ, остается в той же полуплоскости относительно прямой ВС.
Поэтому луч СР совместится с лучом ВА, а значит, эти лучи одинаково направлены. 90. Равенство фигур Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись Р = Р' означает, что фигура Р равна фигуре Р'. В записи равенства треугольников: ААВС = АА,В,С, — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах.
При таком условии 124 8 класс равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно н то же. Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
Докажем оба зти утверждения. Пусть треугольник АВС совмещается движением с треугольником А,В,С,, причем вершина А переходит в вершину А„ — в В, и С вЂ” в С,. Так как при движении сохраняются расстояния и углы, то для наших треугольников АВ = А,В,, ВС = В,С„АС = А,С, Л.А = Л.АР ~В = ~Вы ~С = Л.С,. Пусть теперь у треугольников АВС и А В,С, АВ = А В,, ВС = В,С,, АС = А,С„~А = ~А„ ~В = ~В,, ~С = ~С,. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину А,,  — в В,, С вЂ” в С,.
Подвергнем треугольник АВС преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной к отрезку АА~ и проходящей через его середину (рис. 206). Получим треугольник А,В С . Если точки В, и Вз различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой Ь, которая проходит через точку А1 и перпендикулярна к прямой В,Вз. Получим треугольник А,В,Сз. Если точки С, и Сз лежат по одну сторону от прямой А,В,, то они совпадают, Действительно, так как углы В~А,С, и В,А,Сз равны, то лучи А,С, и А,Сз совпадают, а так как отрезки А,С, и А,Сз равны, то совпадают точки С, и С . Таким образом, треугольник АВС движением переведен в треугольник А1В,С,. Если точки С, и Сз лежат по разные стороны от прямой А,В„то для доказательства надо еще применить симметрию относительно прямой А1в,.
С,ГС,) В Рие. 206 1 25 двимсение Контрольные вопросы 1. Какое преобразование фигуры называется движением? 2. Докажите, что точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. 3. Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении? 4. Докажите, что при движении сохраняются углы. б. Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
