Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Действительно, пусть А, (х,; у,) и А (х; у ) — начало и конец вектора а. Так как равный ему вектор а' получается из вектора а параллельным переносом, то его началом и концом будут А', (х, + с; у1 + д), А'2 (х2 + с; у2 + д) соответственно. Отсюда видно, что оба вектора й и й' имеют одни и те же координаты: х2 — х„у2 — у,. Докажем теперь обратное утверждение.
Пусть соответствующие координаты векторов А,А2 и А;А' равны. Докажем, что векторы равны. Пусть х', и у', — координаты точки А'„ а х'2, у'2 — координаты точки А'2. По условию теоремы х2 — х, = х'2 — х'„у2 — у, = у' — у',. Отсюда 131 Векторы х' = х + х', — х„у' = уг + у'з — у,. Параллельный перенос, заданный формулами х' = х + х', — х„у' = у + у', — у„ переводит точку А, в точку А'и а точку Аг в точку А', т.
е. векторы А,А и А;А' равны, что и требовалось доказать. Задача (7). Даны три точки А (1; 1), В ( — 1; 0), С (О; 1)з Найдите такую точку Р (х; у), чтобы векторы АВ и СР были равны. Решение. Вектор АВ имеет координаты — 2, — 1. Вектор СР имеет координаты х — О, у — 1. Так как АВ = С.Р, то х — 0 = — 2, у — 1 = -1. Отсюда находим координаты точки Р: х = — 2, у = О. 94. Сложение векторов Суммой векторов а и Ь с координатами а„аг и Ь„Ь называется вектор с с координатами а, + д„аг + Ь„т. е. а (а,; аг) + Ь (Ь,; Ьг) = с (а, + Ь,; аг + Ьг). Для любых векторов а (а,; аг), Ь (Ь,; Ьг), с (сд, сг) а + Ь = Ь + а, а + (Ь + с) = (а + Ь) + с. Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны. Теорема А(х,;уз) С(хз'уз) Рис.
215 Каковы бы ни были точки А, В С, имеет место век- торное равенство АВ + ВС = АС. Доказательство. Пусть '1 (хз1 Уг)з В (хг Уг) С (хг~ Уз) данные точки (рис. 21б). Вектор АВ имеет координаты х — х„у — у,, вектор ВС имеет координаты хг — хг, уз — уг. Следовательно, вектор АВ + ВС имеет координаты хг — хп уг — уп А это есть координаты вектора АС. Значит, векторы АВ + ВС и АС равны.
Теорема доказана. Теорема 10.1 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов а и Ь. Надо от конца вектора а отложить вектор Ь', равный вектору Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь', будет суммой двух векторов а и Ь (рис. 216). Такой способ получения суммы двух векторов называется «правилом треугольника» сложения векторов. Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах («правило параллелограмма», рис. 217).
Действительно, АВ + ВС = АС, а Рис. 216 ВС = АЮ. Значит, АВ + АЛ = АС. Разностью векторов а (а,; а ) и Ь (Ь,; Ьс) называется такой вектор с (с,, "с ), который в сумме с вектором Ь дает вектор а: Ь + с = а. Отсюда находим координаты вектора с = а — Ь: с, = а, — Ь,; с, = а, — Ь,. Задача (11). Даны векторы с общим началом: АВ и АС (рис.
218). Докажите, что АС вЂ” АВ = ВС. Решение. Имеем АВ + ВС = АС. А это значит, что АС вЂ” АВ = ВС. Отсюда получается следующее правило для построения разности двух векторов. Чтобы построить вектор, равный разности векторов а и Ь, надо отложить равные им векторы а' и Ь' от одной точки. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора д', а конец — с концом вектора а', будет разностью векторов а и Ь (рис. 219). В С В Рис.
218 Рис. 219 1 33 В««тори Рис. 217 Теорема Абсолютная величина вектора Ха равна !И !а. Направление вектора Ха при а Ф 0 совпадает с направлением вектора а, если Х > О, и противоположно направлению вектора а, если Х ( О. Доказательство. Построим векторы ОА и ОВ, равные а и ).а соответственно (Π— начало координат). Пусть а, и аз — координаты вектора а. Тогда координатами точки А будут числа а, и а, а координатами точки В будут ).а„Хат (рис. 222).
Уравнение прямой ОА имеет вид: ах + ))у = О. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки А (а„а ), то ему удовлетворяют и координаты точки В ().а„; Хаз). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой ОА. Координаты с, и с любой точки С, лежащей на полупрямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты а, и аз точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полу- прямой, дополнительной к ОА, имеют противоположные знаки. Поэтому если Х > О, то точка В лежит на полупрямой ОА, а следовательно, векторы а и ).а одинаково направлены. Если Х ( О, то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы а и Ха противоположно направлены. Абсолютная величина вектора Хи равна: Теорема доказана.
Рис. 222 135 в- .г. Задача (17). Даны две точки А (х,; у1) и В (хз; уа). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены. Решение. Вектор АВ имеет координаты хс — х, и уа — у,. Вектор ВА имеет координаты х1 — ха и у1 — уа. Мы видим, что АВ = ( — 1) ВА. А значит, векторы АВ и ВА противоположно направлены. 97. Разложение вектора ~о двум неколлинеарным векторам Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 223). Коллинеарные векторы направлены либо одинаково, либо противоположно.
Рис. 223 Пусть а и Ь вЂ” отличные от нуля коллинеарные векторы. Докажем, что существует число Л, такое, что Ь =Ла Допустим, векторы а и Ь одинаково пав й ~1 правлены. Векторы Ь и а одинаково направле- ~ ~а~) ны и имеют одну и ту же абсолютную величину ~Ь!. Значит, они равны: )ь| )ь| Ь= — а =Ла Л=— Я! 1!' В случае противоположно направленных векторов а и Ь аналогично заключаем, что (ь| (ь| Ь= — — а=Ла ° Л=— Я! Р! ' что и требовалось доказать. Пусть а и Ь вЂ” отличные от нуля неколлииеарные векторы.
Докажем, что любой вектор с можно представить в виде с =Ла+рЬ. Пусть А и  — начало и конец вектора с (рис. 224). Проведем через точки А и В прямые, рис. 224 параллельные векторам а и Ь. Они пересекутся в некоторой точке С.
Имеем: АВ = АС + СВ. Так как векторы а и АС коллинеарны, то АС = ).а. Так как векторы СВ и Ь коллинеарны, то СВ = рЬ. Таким образом, с = Ха + рЬ, что и требовалось доказать. 98. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов а (а1; а2) и Ь (Ь,; Ьз) называется число а,Ь, + азЬ . Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение а а обозначается а и называется скалярным квадратом. Очевидно, а =!аР.
Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов а(а„аз), Ь('Ь1; Ьз), с(с1; сз) (а + Ь) с = ас + Ьс. Действительно, левая часть равенства есть (а,+ Ь,) с, + (аз+ Ьз) см а правая а,с,+ азсз + + Ь,с, + Ь с . Очевидно, они равны. Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и Ь называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю. Теорема Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть а и Ь вЂ” данные векторы и д угол между ними. Имеем: (а + Ь)~ = (а + Ь) (а + Ь) = = (о + Ь) а + (о + Ь) Ь = = аа + Ьо + оЬ + ЬЬ = =а +2аЬ+Ь~, 1 37 Вектарв или |а + Ь|~ = |а|~ + |Ь! + 2аЬ, Отсюда видно, что скалярное произведение аЬ выражается через длины векторов а, Ь и а + Ь, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.
е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 22б. При таком выборе системы координат координатами вектора а будут |а! и О, а координатами вектора Ь будут |Ь!сов у и |Ь|в)п ср. Скалярное произведение: аЬ = |а||Ь|сов ср + О|Ь|в1п ср = |а||Ь|сов <р. Теорема доказана.
Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Задача (38). Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Решение. Пусть четырехугольник АВС — парад- А лелограмм (рис. 228). Имеем векторные равенства АВ+А0 =АС, А — АЮ = .0В. Возведем эти равенства в квадрат. Получим: АВ~+ 2АВ.АЮ+АЮ~ =АС АВ~ — 2АВ А0 + АЮ~ = ВВ . Сложим эти равенства почленно. Получим: Рис. 226 2АВ~ + 2АЮ~ = АС + ВВ . Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать. 138 З класс 99.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
