Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Разложение вектора по координатным осям Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Мы будем их обозначать е, (1; 0) на оси х и е (О; 1) на оси у (рис.
227). Так как координатные векторы отличны от нуля и не коллинеарны, то любой вектор а (а„аз) допускает разложение по этим векторам: а = Хе, + ре,. (*) Найдем коэффициенты Х и р этого разложения. Умножим обе части равенства (*) на вектор е,. Так как а (а,; аз) е, = а,, е, ° е, = 1, ез е, = О, то а, = Х. Аналогично, умножая обе части равенства (*) на вектор ез, получим аз = р. Таким образом, для любого вектора а (а,; аз) получается разложение а = а1е~ + азез. 1' е, Рис. 227 1. 2. 4. 5.
6. 10. 11. 12. 139 вг. ор Контрольные вопросы Что такое вектор? Как обозначаются векторы? Какие векторы называются одинаково направленными (проти- воположно направленными)? Что такое абсолютная величина вектора? Что такое нулевой вектор? Какие векторы называются равными? Докажите, что равные векторы одинаково направлены и рав- ны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направлен- ные векторы, равные по абсолютной величине, равны. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, рав- ный данному вектору, и только один. Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная вели- чина вектора с координатами а,, аз? Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координата- ми равны.
Дайте определение суммы векторов. Докажите, что для любых векторов а и Ь а + Ь = Ь + а. Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с а + (Ь + с) = (а + Ы + с. 13. Докажите векторное равенство АВ + ВС = АС. 14. Докажите, что для получения суммы векторов а и Ь надо от конца вектора а отложить вектор Ь', равный Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь', равен а + Ь.
16. Сформулируйте «правило параллелограмма» сложения векторов. 16. Дайте определение разности векторов. 17. Дайте определение умножения вектора на число. 18. Докажите, что абсолютная величина вектора Ха равна Ы ~а~, направление вектора Ха при а а О совпадает с направлением вектора а, если Х > О, и противоположно направлению вектора а, если Х < О. 19. Какие векторы называются коллинеарными7 20. Докажите, что если векторы а и Ь отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор с можно представить ввидес =Ха+рд. 21. Дайте определение скалярного произведения векторов. 22.
Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с (а+Ь)с =ас+Ьс. 23. Как определяется угол между векторами7 24. Чему равен угол между одинаково направленными векто рами7 25. Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. 26. 'Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скаляр- ное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Задачи Пункт 91 1. На прямой даны три точки А, В, С, причем точка В лежит между точками А и С.
Среди векторов АВ, АС, ВА и ВС назовите одинаково направленные и противоположно направленные. Пункт 92 Четырехугольник АВС — параллелограмм. Докажите равенство векторов АВ и ВС. Даны вектор АВ и точка С. Отложите от точки С вектор, равный вектору АВ, если: 1) точка С лежит на прямой АВ; 2) точка С не лежит на прямой АВ. 140 а класс Пункт 93 Векторы а (2; 4), Ь (-1; 2), с (с,; с ) отложены от начала ко- ординат. Чему равны координаты их концов? Абсолютная величина вектора а (5; т) равна 13, а вектора Ь (и; 24) равна 25. Найдите т и л. Даны точки А (О; 1), В (1; 0), С (1; 2), Ю (2; 1).
Докажите ра- венство векторов АВ и С1). Даны три точки А (1; 1), В (-1; 0), С (О; 1). Найдите такую точку О (х; у), чтобы векторы АВ и СР были равны. Пункт 94 8. Найдите вектор с, равный сумме векторов а и Ь, и абсолют ную величину вектора с, если: 1) а (1; — 4), Ь ( — 4; 8); 2) а (2; 5), Ь (4; 3). Дан треугольник .4ВС. Найдите сумму векторов: 1) АС и СВ; 2) АВ и СВ; 3) АС и АВ; 4) СА и СВ.
Найдите вектор с = а — Ь и его абсолютную величину, если: 1) а (1; -4), Ь (-4; 8); 2) а (-2; 7), Ь (4; -1). Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите, что АС вЂ” А.В = ВС. В параллелограмме АВСВ диагонали пересекаются в точке М. Выразите векторы АВ и С.0 через векторы а = АМ, Ь = ВМ (рис. 228). Начертите три произвольных вектора а, Ь, с, как на рисунке 229. А теперь постройте векторы, равные: 1) а + Ь + с; 2) а — Ь + с; 3) -а + Ь + с.
1) Докажите, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место не- равенство 1АС! < ~АВ~ +!ВС1 2) Докажите, что для любых векторов а и Ь имеет место не- равенство!а + Ь1 < !а! + !Ь|. 10 12 13 Пункт 95 К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом Р.
Определите силы натяжения нитей (рис. 230). С какой силой Р надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз? 15. Рис. 230 Рис. 228 Рис. 229 Пункт 96 Даны две точки А (х,; у ) и В (х; у ). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены. Докажите, что векторы а (1; 2) и д (0,5 — 1) одинаково направлены, а векторы с (-1; 2) и д (0,5; — 1) противоположно направлены. Даны векторы а (3; 2) и Ь (О; — 1). Найдите вектор с = — 2а + 4Ь и его абсолют- С ную величину.
Абсолютная величина вектора 1а рав- Рис 231 на 5. Найдите Х, если: 1) а, (-6; 8); 2) а (3; -4); 3) а (5; 12). В треугольнике АВС проведена медиана — 1 АМ. Докажите, что АМ = — (АВ + АС). А Точки М и )т' являются серединами отрезков АВ и СЮ соответственно. Докажи— 1 те векторное равенство М)т = — (АС + 2 + В.0) (рис. 231).
Дан параллелограмм АВСВ, АС = а, ВВ = = Ь (рис. 232). Выразите векторы АВ, СВ, 232 СВ и АЗ через а и Ь. 17. 18. 19. 20. 21. 22. В С 23. Пункт 97 24. Докажите, что у коллинеарных векторов соответствующие ко- ординаты пропорциональны. И обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то эти векторы коллинеарны. 25. Даны векторы а (2; -4), Ь (1; 1), с (1; — 2), Ы ( — 2; — 4). Укажи те пары коллннеарных векторов.
Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направле- ны? 26. Известно, что векторы а (1; — 1) и Ь ( — 2; т) коллинеарны. Найдите, чему равно т. 27. Даны векторы а (1; О), Ь (1; 1) и с ( — 1; О). Найдите такие числа Х и р, чтобы имело место векторное равенство с = Ха + рЬ. Пункт 98 Докажите, что для любых векторов а и Ь (аЬ)~ < а~Ь~. Найдите угол между векторами а (1; 2) и Ь|1; — — ). 28. Даны векторы а и Ь. Найдите абсолютную величину вектора а + Ь, если известно, что абсолютные величины векторов а и Ь равны 1, а угол между ними 60'.
Найдите угол между векторами а и а + Ь задачи 30. Даны вершины треугольника А (1; 1), В (4; 1), С (4; б). Най- дите косинусы углов треугольника. Найдите углы треугольника с вершинами А(0; к'3 ), В(2; к'3 ), с( —',; —,'). Докажите, что векторы а (т; п) и Ь ( — и; т) перпендикулярны или равны нулю.
Даны векторы а (3; 4) и Ь (т; 2). При каком значении т эти векторы перпендикулярны? Даны векторы а (1; 0) и Ь (1; 1). Найдите такое число Х, что- бы вектор а + ХЬ был перпендикулярен вектору а. Докажите, что если а и Ь вЂ” единичные неколлинеарные век- торы, то векторы а + Ь и а — Ь отличны от нуля и перпенди- кулярны. 30 31 32 33 36 37 38. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 39.
Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите его медианы еп,, ел„еп,. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки. Векторы а + Ь и а — Ь перпендикулярны.
Докажите, что !а! = 1д!. Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны. Даны четыре точки А (1; 1), В (2; 3), С (О; 4), Р (-1; 2). Докажите, что четырехугольник АВСР— прямоугольник. Даны четыре точки А (О; 0), В (1; 1), С (О; 2), .Р ( — 1; 1). Докажите, что четырехугольник АВСР— квадрат. 40. 42. 43. Пункт 99 / 3,41 — Г2 21 — е'3 41 46. Среди векторов а ( — —; — ), Ь | —; — ), с (О; -1), с~( —; — — ) найдите единичные и укажите, какие из этих векторов колли- неарны.
143 векторы 46. Найдите единичный вектор е, коллинеарный вектору а (6; 8) и одинаково с ним направленный. 47. Даны координатные векторы е, (1; О) и е (О; 1). Чему равны координаты вектора 2е, — Зе 7 48. 1) Даны три точки О, А, В. Точка Х делит отрезок АВ в отношении 1: и, считая от точки А. Выразите вектор ОХ через векторы ОА = а и ОВ = Ь. 2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2: 1, считая от соответствующих вершин. 49.
Докажите, что проекция а вектора с на ось абсцисс с координатным вектором е1 (1; О) задается формулой а = йе, где а = се,. 50. Докажите, что проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось. Подобие фигур 100. Преобразование подобия Преобразование фигуры г в фигуру Р' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки Х, У фигуры г при преобразовании подобия переходят в точки Х', У' фигуры Р', то ХУ = йХУ, причем число й одно и то же для всех точек Х, У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
