Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 28
Текст из файла (страница 28)
265 9 класс Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана. Задача (18). Докажите, что в теореме синусов каждое а ь с из трех отношений:,и г „пб е „.„„— равно 2В, где  — радиус окружности, описанной около треугольника. Решение. Проведем диаметр ВР (рис. 266). По свойству углов, вписанных в окружность, угол при вершине Р прямоугольного треугольника ВСР равен либо а, если точки А и Р лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 266, а), либо 180' — а, если они лежат по разные стороны от прямой ВС (рис. 266, б). В первом случае ВС = ВР в(п а, во втором ВС = = ВР в(п (180' — а). Так как з1п (180 — а) = в1п а, то в любом случае а = 2В з1п а. Следовательно, а вгп а б) Рпс.
266 что и требовалось доказать. 111. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами а) С В треугольнике против большего угла лежит ббль- шая сторона, против большей стороны лежит боль- ший угол. Пусть а и Ь вЂ” две стороны треугольника и а, Д вЂ” противолежащие им углы. Докажем, что если а > ~3, то а > Ь. И обратно: если а > Ь, то а > 8.
Если углы а и ~3 острые (рис. 267, а), то при а > 6 будет в1п а > в1п ~3. А так как вВпа вгп6 а ь то а > Ь. Если угол а тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180' — а острый (рис. 267, б). Причем угол 180 — а больше угла Д как внешний угол треугольника, не смежный с углом ~3. Поэтому вш а = = в1п (180' — а) > в1п 6. И мы снова заключаем, что а>Ь. В б) С А В Докажем обратное утверждение.
Пусть в > Ь. НВДО Доказать, что а > 8. ДОпустим, что а < 6. Рис 267 1 63 решение треугольников Если а = р, то треугольник равнобедренный и а = Ь. Если а < р, то по доказанному а < Ь. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а > Ь, значит, а > Д, что и требовалось доказать. Задача (17). Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая. Решение. В треугольнике может быть только один тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных углов.
А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника. 1 1 2. Решение треугольников Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам. Будем обозначать стороны треугольника через а, Ь, с, а противолежащие им углы через а, р, у (рис. 268).
Задача (26). 1) В треугольнике даны сторона а = 5 и два угла Д = 30', у = 45'. Найдите третий угол и остальные две стороны. Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180', то третий угол а выражается через заданные углы: а = 180' — р — у = 180' 30 45 105 Рпс. 268 Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны: в1п 0 ввп 30' 0,000 ы100. 5 о,осе =2,59, в!пу 0,707 с = а „и и = 5 о,ооо = 3,66. Задача (27). 1) В треугольнике даны две стороны а = 12, Ь = 8 и угол между ними у = 60 . Найдите остальные два угла и третью сторону, Решение.
Сторону находим по теореме косинусов: 144+64 — 2'12'8 0,500 = 7112 = 10,6. Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинусы двух неизвестных углов и сами углы: ЬВ+ св — аа сова= =0,189, откуда а = 79', 8 = 180' — а — у = 41'. Задача (28). 5) В треугольнике даны две стороны а = 6, Ь = 8 и противолежащий стороне а угол а = 30'.
Найдите остальные углы и сторону. Решение. По теореме синусов находим 61п )3: 81п~3= — ° 61па = — ° з1п 30 =0 667. Ь . 8 а 6 Этому значению синуса соответствуют два угла: Ц = = 42' и !32 = 138'. Рассмотрим сначала угол !3! = 42'. По нему находим третий угол у! = 180' — а — 8 = 108' и по теореме синусов третью сторону: а ° ваву! в!и 180 0,051 с= в=6 ° в!а а в!в 80' 0,500 Аналогично по углу !32 = 138' находим у = 12 и св = 2,49. Замечание.
Мы видим, что зта задача в отличие от предыдущих имеет два решения (рис. 269). При других численных данных, например при а > 90', задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь решений. Задача (29). 1) Даны три стороны треугольника: а = 2, Ь = 3, с = 4. Найдите его углы. Решение. Углы находятся по теореме косинусов: Ьв+ св- ав 7 сова= = — =0,875, откуда а = 29'. 2Ьс 8 Аналогично находится соз 8 = 0,688, откуда !3 = 47' и у = 180' — 47' — 29' = 104'.
а) 27. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если: 1)а=12,Ь=8, 7=60', 2)а=7, Ь=23,7=130', 3)Ь=9, с=17,а=95', 4) Ь = 14, с = 10, а = 145", 5)а=32, с=23, ~) =152'; 6) а = 24, с = 18, р = 15'. В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон.
Найдите остальные углы и сторону тре- угольника, если: 1)а=12,Ь= 5, а=120", 2)а=27,Ь=9, а=138', 3) а = 34, д = 12, а = 164", 4)а=2, Ь=4, а=60'; 5)а=6, Ь=8, а=30'. Даны три стороны треугольника. Найди- те его углы, если: 1) а = 2, Ь = 3, с = 4; 2) а = 7, Ь = 2, с = 8; 3) а = 4, Ь = 5, с = 7; 4) а = 15, Ь = 24, с = 18; 5) а = 23, Ь = 17, с = 39; 6) а = 55, Ь = 21, с = 38. 28. б) А, А, 29. Рис. 273 Многоугольники 113.
Ломаная Ломаной А,АзАз ... А„называется фигура, которая состоит из точек А„А, ..., А„и соединяющих их отрезков А,Ам АзАз, ..., А„,А„. Точки А„А, ..., А„называются вершинами ломаной, а отрезки А,Ам АзАз ..., А„,А„— звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.
На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б — ломаная с самопересечением (в точке В). Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. ) 68 а класс Теорема Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединя- ющего ее концы. Аз Рис. 274 114. Выпуклые многоугольники Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины Рис.
275 169 М„с„а.с ...„„. Доказательство. Пусть А,АзАз ... А„ — данная ломаная (рис. 274). Заменим звенья А,Аз и А А одним звеном А,Аз. Получим ломаную А,АзА4 ... А„. Так как по неравенству треугольника А1 4з < А1А + АзАз, то ломаная А,А А4 ... А„имеет длину, не большую чем исходная ломаная. Заменяя таким же образом звенья А,Аз и АзА звеном А,А, переходим к ломаной А,А Аз ...
А„, которая также имеет длину, не большую чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы придем к отрезку А,А„, соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка А1А„. Теорема доказана. Задача (1). Даны две окружности с радиусами В, и Вс и расстоянием между центрами д > В, + В .
Чему равны наибольшее и наименьшее расстояяия между точками Х и У этих окружностей2 Решение. Для ломаной О,ХУОз по теореме 13.1 О~О < 01Х + ХУ + УОз (рис. 275). Значит, с( < В,+ + ХУ + Вз. Отсюда ХУ > с( — В~ — Вм Так как АС = д — В, — Вм то наименьшее расстояние между точками окружностей равно д — В, — В . Для ломаной ХО~ОзУ по той же теореме ХУ < В1 + Ы + Вз.
Так как ВВ = д + В1 + Вм то наибольшее расстояние между точками окружностей равно д + В, + Вс. ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с и вершинами, а значит, и с и сторонами называется к-угольником. Плоским многоуголъником, или многоутолъной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277). Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости.
На рисунке 278, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине. Ас А А Ам Ас А~ Рис. 276 Рис. 277 Теорема Сумма углов выпуклого и-угольника равна 180' (и — 2). а) б) Рис. 278 чо Э клисс Доказательство.
В случае л = 3 теорема справедлива. Пусть А,А ... А„— данный выпуклый многоугольник и и ) 3 (рис. 279). Проведем п — 3 диагонали: А1Аз, А,А4, ..., А,А„Р Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на л — 2 треугольника: ЬА,АэАз, ЬА,АзА4, ..., ЬА,А„,А„. Сумма углов многоугольника А,А ... А„совпадает с суммой углов всех этих треугольников.
Сумма углов каждого треугольника равна 180', а число этих треугольников есть п — 2. Поэтому сумма углов выпуклого п-угольника А,А ... А„равна 180' (п — 2). Теорема доказана. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом многоугольника при этой вершине. Задача (9). Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине7 Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180'.
Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180' ° и. Но сумма всех внутренних углов равна 180' (и — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180' и— — 180' (и — 2) = 360'. 115. Правильные многоугольники Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Теорема А, Рве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
