Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 30
Текст из файла (страница 30)
де н. э.) 1 = 2дВ. 120. Радианная мера угла Найдем длину дуги окружности, отвечающей центральному углу в и' (рис. 289). Развернутому углу соответствует длина полуокружности дВ. Следовательно, углу в 1' соответствует дуга длины дВ а углу в и' соответствует дуга длины хн 1801 ча Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что и 180е т. е. радианная мера угла получается из градусной Я умножением на ..
В частности, радианная мера угла 180' равна д, радианная мера прямого угла равна —. 2 Рис. 289 Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это угол, у которого длина дуги равна радиусу (рис. 290). Градусная 180' мера угла в один радиан равна = 67 . Рис. 290 177 Мн,е,н,;сеьеихе Задача (50). Найдите радианную меру углов треугольника АВС, если ~А = 60', ~В = 45'.
Решение. о к л Радианная мера угла А равна 60 ' ~ 3 Радианная По теореме о сумме углов треугольника х х бк ~С=к — — — — = —. 3 4 13 178 в класс 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. а к л мера угла В равна 45 Контрольные вопросы Что такое ломаная, длина ломанойу Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, со- единяющего ее концы.
Что такое многоугольник, выпуклый многоугольнику Что такое плоский многоугольнику Что такое угол выпуклого многоугольника при данной верши- неу Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольни- ка. Что такое внешний угол выпуклого многоугольникау Докажите, что правильный многоугольник является вписан- ным в окружность и описанным около окружности. Что называется центром многоугольникау центральным углом многоугольникау Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной ок- ружностей правильного п-угольника. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шес- тиугольника.
Как построить правильный выпуклый шестиугольник, тре- угольник, четырехугольник, восьмиугольнику Докажите, что правильные выпуклые и-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны. Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т.
е. одно и то же для всех окруж- ностей. По какой формуле вычисляется длина окружностиу По какой формуле вычисляется длина дуги окружности7 Что такое радианная мера углау Чему равны радианные меры углов 180' и 90 7 Задачи Пункт 113 Даны две окружности с радиусами В~ и В и расстоянием между центрами д > В, + В . Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками Х и У этих окружностей? Решите задачу 1 прн условии, что д < В, — Вэ (рис. 291).
Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина лома- ной больше длины отрезка, соединяюще- го ее концы. Докажите, что у замкнутой ломаной рас- стояние между любыми двумя вершина- ми не больше половины длины ломаной. Докажите, что у замкнутой ломаной дли- на каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев. Может лн замкнутая ломаная иметь зве- нья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объ- ясните ответ. Докажите, что если концы ломаной ле- жат по разные стороны от данной пря- мой, то она пересекает эту прямую (рис.
292). Рис. 291 3. А, 8. 9. 10. Пункт 115 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135", 2) 150? Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каж- дый из внешних его углов равен: 1) 36", 2) 24'? Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2л-угольника являются вершинами правильного п-угольника. Докажите, что середины сторон правильного и-угольника яв- ляются вершинами другого правильного п-угольника. 12. 13. 15. ~ 79 Многоуголннинн Пункт 114 Сколько диагоналей у л-угольника? н Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при Рис. 292 каждой вершине? Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4.
Найдите их. Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны. Пункт 116 16. Найдите выражения для стороны а„ правильного и-угольника 17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите. 18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите. 19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в зту окружность. 20.
В окружность радиусом 4 дм вписан правильный треугольник, 21. Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат. Каким может быть наибольший размер стороны квадратау 22. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Каким может быть наибольший размер грани, если диаметр цилиндрической части винта 2 см? 23. Докажите, что сторона правильного восьмиугольника вычисля 24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется Пункт 117 30. Впишите в окружность правильный 12-угольник 31. Опишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник. 1 ВО в к~агс 25 26 27 28 29 через радиус В описанной около него окружности и радиус г вписанной окружности.
Вычислите а„при п = 3, 4, 6. на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окруж- ности, описанной около квадрата. ется по формуле а =В1Г2 — уГ2, где  — радиус описанной окружности. по формуле ам = Я ~Г2 — ~ГЗ, где  — радиус описанной окруж- ности. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса В. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус описан- ной окружности В. Найдите радиус вписанной окружности. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус впи- санной окружности г.
Найдите радиус описанной окружности. Выразите сторону Ь правильного описанного многоугольника через радиус В окружности и сторону а правильного вписан- ного многоугольника с тем же числом сторон. Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус В окружности и сторону Ь правильного описан- ного многоугольника с тем же числом сторон. Пункт 118 32. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правиль- ного л-угольника равны г, и В„а радиус вписанной окружно- сти другого правильного п-угольника равен гз. Чему равен ра- диус описанной окружности другого л-угольника? Пункт 119 Вычислите длину окружности, если ее радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м.
На сколько изменится длина окружности, если радиус изме- нится на 1 мм? Найдите отношение периметра правильного вписанного восьмиугольника к диаметру и сравните его с приближенным значением я. Решите задачу 36 для правильного 12-угольника. Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 м состав- ляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус зем- ного шара увеличился на 1 см? Внутри окружности радиуса В расположены п равных окруж- ностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 293). Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива. 34. 36. 37. 39.
40. 41. 42. Пункт 120 43. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1) 30', 2) 45', 3) 120", 4) 270'. Рис. 293 181 м «-у- 33. Периметры двух правильных и-угольников относятся как а: Ь. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей? 1 Площади фигур 121. Понятие площади Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником (рис. 294).
Примером простой фигуры является выпуклый плоский многоугольник. Он разбивается на плоские треугольники диагоналями, проведенными из какой-нибудь его вершины (рис. 295). В этом параграфе мы рассматриваем только плоские многоугольники и поэтому повторять каждый раз слово «плоский» не будем. Дадим определение площади для простых фигур. Для простых фигур площадь — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) Равные фигуры имеют равные площади. Рис.
294 Рис. 295 ) 82 Э класс 44. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответст- 1 1 1 1 вующая ему дуга составляет: 1) з, 2) «, 3) з, 4) 2 3 5) з,' 6),1 окружности7 45. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, расстояние между которыми равно 1 км7 Радиус Земли 6370 км. 46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
